X. = — - — sin 0 4- ce cos 0 — y sin G, o
yi = xsinO + y cos 0,
Cj = A: [« sin 0 — & (1 — cos 6)] + z.
Représentation Pour nous faire une réprésentation de ce mouvement, nous allons
du chercher les surfaces lieux des axes du mouvement hélicoïdal
mouvement, tangent, surfaces qui, nous le savons, roulent l'une sur l'autre en
glissant suivant la génératrice le long de laquelle elles se raccordent.
Observons que le plan des x^0^y, ayant une direction invariable dans la ligure mobile comme dans l'espace, la projection de la figure mobile sur ce plan est une figure de forme invariable dont le mouvement accompagne le mouvement de la figure de l'espace.
Les deux premières équations (4) représentent ce mouvement, et c'est un exercice facile de démontrer que les lieux du centre instantané dans la figure et dans le plan fixe sont deux cercles Q et Q^, le isecond do rayon double de celui du premier et qui se touchent intérieurement.
On peut encore remarquer que le point x = Oy y = 0 décrit l'axe OjaCj, tandis que le point xz=z a^y =zh décrit la droite
On est donc bien dans le cas du mouvement de l'ellipsographe décrit à la page 164, et ce mouvement résulte du roulement intérieur sans glissement d'un cercle û sur un cercle de rayon double Q,.
Maintenant, pour passer du mouvement de la projection de la figure sur le plan x^O^])y au mouvement de la figure olle-mème dans l'espace, il suffira de lui imprimer un glissement suivant l'axe O^z^. Si donc on considère les deux cylindres T, T^ qui ont leurs génératrices parallèles à Oj z^ et qui ont respectivement Q et Q^ pour bases, ces deux cylindres constituent précisément les deux surfaces qui, suivant la locution de Reuleaux, virent au cours du mouvement. Ces cylindres sont à chique instant tangents suivant une génératrice et roulent l'un sur l'autre en glissant, mais avec cette circonstance expresse (jue le glissement a lieu suivant la génératrice de contact.
La loi de ce glissement est donnée par la condition qu'un point
de la droite appelée D (et, en conséquence, tous les points de cette droite) décrive un segment de droite, nécessairement situé dans le plan que décrit la droite D.
Le mouvement ainsi défini est une extension naturelle du mo\ivement de l'ellipsographe, mouvement que l'on retrouverait d'ailleurs si, dans les formules (4), on prônait k = 0.
Signalons, pour terminer ce sujet, ce fait qu'une droite quelconque de la figure mobile engendre dans ce mouvement une surface du quatrième degré. Il en sera de même évidemment dans le njouvement inverse, d'après un théorème énoncé au début.
Examen 3. Il reste à examiner le cas où les plans des trajectoires, au lien
des C3S écartés d'être quelconques dans l'espace E, seraient des plans exceptionnels au début. dépendant seulement de deux ou même d'un seid paramètre.
Il faudrait alors qu'un même plan II Contînt les trajectoires d'une infinité de points de la figure mobile. S'il en était ainsi, et si, de plus, trois des points A, B, G dont les trajectoires sont dans le plan IT formaient un triangle, nous nous trouverions dans le cas où un plan de la figure glisse sur lui-même. Alors, en effet, tous les points de la figure mobile décrivent des courbes planes ; et les plans de ces courbes sont parallèles.
Le raisonnement cesserait de s'appliquer si les points A, B, G, ... de la figure mobile qui décrivent un même plan n étaient en ligne droite. Alors les points de la figure mobile se trouveraient distribués sur des droites A et chacune de ces droites A décrirait un plan. En menant par un point fixe 0 des parallèles à ces droites A, on aurait autour de ce point une infinité de droites formant entre elles des angles invariables et qui devraient décrire chacune un plan fixe passant par le point 0. Un tel mouvement est impossible.
A ce raisonnement échappe, il est vrai, le cas où les droites A seraient toutes parallèles entre elles. Mais alors les plans balayés II doivent être tous parallèles à une même droite A^ à laquelle resteraient aussi parallèles toutes les droites A qui décrivent chacune un plan n. Si l'on appelle <I> un plan normal à Aq, ce plan <^ aura une dii*ection invariable dans l'espace aussi bien que dans la figure mobile; et si l'on considère alors la projection de la figure sur ce plan, on obtiendra une figure plane do forme invariable dont les divers points décriront les projections des trajectoires des points de l'espace. Or, ces trajectoires sont dans des plans II normaux au plan «l>; leurs projections sont donc les traces mômes de ces plans; et nous avons ainsi un mouvement plan dans lequel tous les points
Conclusion de cet examen.
décrivent des droites. Il ne peut s'agir, dès lors, que d'un mouvement de translation ; tous les plans H sont parallèles, puisque leurs traces sur le plan <I> doivent l'être.
Dans le mouvement dans l'espace tous ces plans II vont donc glisser, chacun sur lui-même, puisque, pour passer du mouvement en projection au mouvement dans l'espace, il suffit d'introduire un glissement normal au plan *^ et parallèle, par conséquent, aux plans n. Nous retombons donc dans un cas de ligure mobile dans laquelle une famille de plans parallèles glissent sur eux-mêmes.
En résumé, en dehors du mouvement étudié dans le paragraphe 2 et du mouvement d'une figure de forme invariable dont un plan glisse sur lui-même, il n'y a pas d'autre mouvement dans lequel tous les points de la figure décrivent des courbes planes.
Emploi des formules d'Olinde Rodrigues dans rétude des mouvements algébriques.
Formules du mouvement
rapporté à des pai-amètres rationnels.
Mouvements algébriques unicursaUx.
4. Le problème que nous venons de traiter nous a offert un cas particulier intéressant de mouvement algébrique. Les variables d'Olinde Rodrigues se prêtent d'une façon particulière à l'étude de ces sortes de mouvements.
Si l'on introduit les paramètres homogènes X, [/,, v, p qui permettent d'exprimer rationnellement les 9 cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle mobile par rapport à un trièdre fixe, les formules générales du mouvement continu d'une figure dans l'espace, mises sous la forme d'une transformation homographique entre coordonnées homogènes, peuvent s'écrire
(\=:M-h H[(p* -f- a' — 1/.*— v')rB -^2(X:a— vp)y - )Y = BtH-H[2(Asi.-J-v?)x-t-(?'-A'-4-iJ.*-v»)î/
2(Xv- -2(i;lv-
i Z =Ct 4- H[2(Xv-i/p)x-f-2(iAv + Xp)j/ +(.s'— X«— {;i«4- v«)c], (T=H(X' + ;^.»-i-v' + ?•)<;
dans ces formules, A, B, C, H, p, X, ;/, v représentent des paramètres indépendants. En prenant pour ces paramètres des fonctions algébriques de une ou plusieurs variables, on définira des mouvements algébriques, et les mouvements algébriques les plus généraux.
Par exemple, en prenant pour ces paramètres des fonctions rationnelles d'une même variable, on obtiendra les mouvemenls algébriques
Mouvement cubiques gauches.
unicursaux, c'esl-à-dire ceux dans lesquels tout point de !a figure décrit une courbe unicursale.
En prenant des fonctions rationnelles de deux variables, on obtiendra les mouvements unicursaux à deux variables, dans lequel tout point de la figure décrit une surface unicursale ou, comme on le dit encore, une surface représentable sur un plan point par point, de même que les courbes unicursales sont représentables point par point sur une droite.
Il est, par exemple, aisé d'obtenir des mouvements dans lesquels lous les points de la figure décrivent des cubiques gaucbes. Il suffira de prendre pour X, ja, v, p, H des fonctions linéaires entières d'un paramètre w, et pour A, B, C des polynômes du troisième degré en m.
Lorsque X, [t., v, p sont fonctions linéaires entières d'un même paramètre w, comme dans le cas actuel, il existe entre X, [)., v, p deux équations linéaires et homogènes. Grâce à une transformation de coordonnées, qui se traduit par les formules (*)
X' = — Ip — rX — ny. + mv, p.' = — mp — r[i. — h -f- ?iX, v' = — np — rv — mX + l[t.j p' = rp — IX — m[j. — nv,
on peut toujours supposer que l'on ait ramené l'une de ces deux équations à la forme p = 0.
Lorsque p = 0, les formules (5) représentent un renversement (voir la formule (6) de la note I) suivi d'une translation ; la droite autour de laquelle s'effectue le renversement passe à l'origine du trièdre fixe et a des cosinus directeurs proportionnels à X, [t., v. Puisque, dans le cas actuel, il subsiste une relation linéaire entre X, ii,,v, c'est que cette droite décrit un plan fixe, et on peut alors supposer que ce soit le plan des oc^0^y^f en sorte que v se trouvera nul.
En un mot, nous pouvons supposer que l'on ait v = 0, p = 0. Alors, par une transformation homographique portant sur le paramètre «, on pourra supposer que l'on a
X = i, 11. = Uy v = 0, p = 0;
les formules (5) se simplifient et donnent
X = f{u)t -h{a + hxt) [(1 — u») a: -t- Su?/], Y = ç (m) t -^ (a -f- bu) [2m . x — (1 — u*) j/], Z = «; (u) e 4- (a -f- bu) (1 + u*) z, T ={a + hu){i + tt») t,
(•) Voir la note tur la composition de» rotations et les juaternions.
/", (f, tt désignent des polynômes du troisième degré en u. En développant les expressions de X, Y, Z, T, on trouvera
Jbi
