ARTICULÉ PLAN
C'est un ensemble de plaques ou figures planes assujetties à rester dans un seul et même plan, parmi lesquelles un certain nombre sont reliées entre elles par des charnières ou pivots normaux au plan commun.
Nous avons ajouté l'épithète plan parce que l'on rencontre aussi des systèmes articulés sphériques, ou plus généralement gauches, ainsi que nous l'indiquerons plus loin.
Si deux plaques d'un système articulé sont reliées par deux pivots, elles sont invariablement liées et ne forment qu'une seule et même plaque.
Si trois plaques A, B, G sont reliées deux à deux par des pivots formant un triangle, elles constituent un système indéformable et ne
forment qu'une seule et même plaque. Si donc on met de côté le cas peu intéressant de trois plaques montées sur un même pivot, on voit qu'il n'y a pas de système articulé comportant moins de quatre plaques ou membres, car tel est le terme que nous emploierons désormais.
Quadi'ilatèro ailiculé.
Trois formes
de
quadrilatères
articulés.
Systèmes à quatre membres.
88. Les systèmes à quatre membres sont ainsi les plus simples des systèmes articulés. Ils ont, du reste, une importance réelle par l'usage constant que l'on en fait dans les systèmes plus compliqués. Conformément aux remarques précédentes, nous pourrons réduire par la pensée chaque membre à la tige rigide qui joint les pivots auxquels s'articulent les membres adjacents.
Supposons donc que nous disposions de quatre tiges de longueurs a, b, c, d, que nous articulons entre elles par leurs extrémités dans l'ordre même qui précède, savoir, la tige a avec la tige h, puis h avec c, puis c avec d et enfm d avec a.
Nous formons ainsi un quadrilatère articidé.
Il est à remarquer que le quadrilatère que l'on obtient ainsi est déformable et que sa forme dépend d'iui seul paramètre. U.n quadrilatère articulé peut présenter trois formes d'aspects différents. Il est toujours possible, en premier lieu, de former avec les tiges
se suivant dans l'ordre ahcd, un quadrilatère convexe tel que ABCD;
Soit C le symétrique de C par rapport à la diagonale BD, le quadrilatère ABCD ainsi obtenu est ici uni-concave, il est formé par les mêmes tiges se suivant dans le même ordre ahcd; soit enfin D' le symétrique du point D par rapport à la diagonale AC, le quadrilatère ABCD', que nous appellerons hi-concave, est également formé par les tiges précédentes se succédant dans l'ordre ahcd. Discussion do Du reste, nous allons discuter les conditions de construction du la constniction quadrilatère articulé.
uadrUatèro Considérons les tiges « et d qui s'articulent au point A (fig. 63), articulé. soit B l'extrémité de la tige a et D celle de la tige d. Appelons 0 l'angle BAD, que nous pouvons toujours supposer compris entre 0 et 180". Le triangle BAD nous donne
BD' = a* + d- — 2ad.cos 0.
La tige h doit s'articuler en B et la tige c en D ; pour avoir le point G où s'articuleront b et c il faudra prendre un point de rencontre des cercles de centres respectifs B et D et de rayons h, c. Il faut, avant tout, que ces cercles puissent se couper, ce qui se traduit par les inégalités
(b — cf < BD* < (6 -f- c)% ou encore
(h c)2 < a* + d^ — 2ad cos 6 < (b + c)'.
On peut encore écrire
,« L rii
d*^(h + cY ^ a- + d- — {h — cf
(1) -— < cos 0
2ad 2ad
Ces conditions limitent en général la valeur du cosinus de l'angle des tiges a et d, en sorte que la révolution relative des tiges autour de leur pivot commun est limitée.
Pivots Mais si l'on a
^"■^ j g» + d' - (b - ey
[ 2ad — '
le cosinus peut recevoir toutes les valeurs comprises entre — 1 et
à rt'volulion
coniplt'te. i PTZTj " — — ^
+ 1 ; nous dirons alors que le pivot est à révolution complète, car le quadrilatère est, dans ce cas, constructible pour toute valeur de l'angle 0.
Les conditions précédentes s'écriront
(a + df — (h + cy ^ 0, {d — a)« — (h — cf > 0,
ou encoi-e, en supprimant le facteur a -\- h + c + d dans la première inégalité,
Condition pour On peut toujours appeler a le plus petit des côtés a, d; supposons,
q";"'\ de plus, pour fixer les idées & < c (le cas de & > c se discute de quadrilatère » \ i r . ,
ait des pivots k même); le facteur d—a + c—he&i positif et les inégalités ci-dessus
révolution se réduisent à
complète.
La première inégalité s'écrit . .
(a — î>) + (d — c) < 0 et la seconde
La première inégalité est donc incompatible avec l'hypothèse a^-h, car alors a — h et d — c seraient positifs; leur somme ne pourrait être négative.
On a donc forcément a < &, et comme ?><;c, onaa<?><:c; on a supposé d'ailleurs a <; d, donc a est le plus petit côté du quadrilatère.
Amsi, quand un pivot est à révolution complète, il appartient à la plus petite tige du quadrilatère.
On peut ajouter que dans ce cas la somme du plus petit et du plus grand côté est au plus égale à la somme des deux autres.
Si d est le plus grand côté, cela résulte de la condition supposée remplie
supposons, au contraire, que ce soit c, on a alors h -<: c, et nous avons vu que l'on a dans cette hypothèse
OU
ce qui démontre encore le théorème.
Même démonstration si h est le plus grand côté.
La réciproque de ce théorème est vraie et elle va nous conduire à un résultat complet.
Supposons que le plus petit côté a, ajouté au plus grand, donne une somme au plus égale à celle des deux autres côtés ; on va prouver que les deux pivots situés sur le plus petit côté a sont à révolution complète.
Soit, en effet, d un côté s'articulant au côté a; il suffit de prouver
les inégalités
(d — af — (& — c)^ > 0,
qui expriment que le pivot où d et a s'articulent est à révolution complète; car la même démonstration s'appliquerait à l'autre pivot porté par a.
Supposons d'abord que d soit la plus grande des quatre tiges, on a alors, par hypothèse,
c'est justement la première inégalité à vérifier; si l'on suppose, pour fixer les idées, & <: c, comme on a d :> c, a <: 6 on trouvera
où d — a, c — h sont positifs, et en élevant au carré,
ce qui est la seconde condition. De même si on avait b >- c.
Faisons maintenant une autre hypothèse et supposons que la plus grande tige soit h on c, c par exemple; on a par hypothèse
a + c — h — d<0 ou encore
comme c — d est positif, il faut bien que a -^ d — h — c soit négatif,
ce qui est la première inégalité à démontrer. On a ensuite, d'après
l'hypothèse,
Quadrilatères
qui ont
■trois pivots
à révolution
complète.
OÙ c — h et d — a sont positifs, donc
(c hy < (d a)\
ce qui est la seconde inégalité qu'il fallait prouver. Le cas où h est le plus grand côté se traite de même.
Ainsi, en résumé :
SI un pivot d'un quadrilatère est à révolution complète, il en existe un second qui se trouve dans les mêmes conditions, et ces deux pivots sont aux extrémités de la plus petite tige; de plus, la somme de la plus grande et de la plus petite tige est alors égale au plus à la somme des deux autres tiges. Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu'il existe des pivots à révolution complète.
Nos raisonnements n'excluent pas les cas limites, en sorte que le théorème est vrai même s'il y a égalité entre les deux sommes de l'énoncé.
Cherchons maintenant s'il y a des quadrilatères articulés admettant plus de deux pivots à révolution complète. Dans ce cas, deux pivots opposés, A, G par exemple, sont à révolution complète.
Or, nous avons trouvé les conditions suivantes pour que A soit à révolution complète (fig. 63) :
a -h d — h — c<0, (d—ay — {b — cy-^0;
pour que C soit aussi à révolution complète il faudra avoir, do même,
(b — cy -(d-ay^O;
le rapprochement de ces inégalités nous prouve que
(d — ay — {b — cy = 0.
11 y a deux cas à distinguer :
( a + (/ — fe — c = 0,
Le premier cas nous donne a = h, d = c. Nous trouvons donc un quadrilatère dans lequel les côtés sont égaux par deux, les côtés opposés étant] inégaux. Un tel quadrilatère s'appelle un rhomboïde, il a une forme convexe appelée kite ou cerf-volant par les Anglais et une forme uniconcave appelée spear-head ou fer de lance.
Quadrilatères
qui ont tous
leurs pivots
à révolution
complète.
