DF

Si l'on appelle a l'ang'e FDG et r le rapport — - ' on voit qu'en

menant par A deux axes rectangulaires Ax, Ay, et regardant E, F comme les points représentatifs de deux variables imaginaires Z, Z^, l'appareil précédent réalise la transformation

Zj = HZ,

où H est une constante imaginaire dont r est le module et a l'argument.

Réalisation Le même appareil permet de réaliser une rotation. Si, en efTet, le

d'une rotation, triangle GDF et, par suite, le triangle GBE sont isocèles, AF est

égal à AE. Dès lors, lorsque le point E décrira une figure, le point F

décrira la même figure, qui aurait seulement tourné d'un angle

a = FDC.

Application On trouve une intéressante application du pantographe de Syl-

a la courbe yester dans la démonstration d'un très remarquable théorème dû clecnte par un

point à ^' Roberts, et d'après lequel la courbe décrite par un point

d'une bielle, lié à une bielle peut être engendrée de deux autres manières au moyen de deux autres trois-barres.

Reportons-nous à la figure 69; supposons que le point E décrive un cercle de centre G et de rayon GE, le point F décrira un autre cercle de centre H et de rayon H F. Gonstruisons les parallélogrammes ECKG et GFHL. Joignons les points L et K, nous formons ainsi un triangle dont l'angle KGL est égal à l'angle constant;

a=:FDG = FAE. En effet, les deux rayons homologues GE, H F font entre eux l'angle a; or,, ils sont parallèles à KG et L G. De plus, les côtés KG, CL de ce triangle sont constants; le triangle a donc une forme invariable; on peut même remarquer qu'il est semblable aux triangles GDF et EBC, car FH, EG sont dans le rapport de D F et de DG. On pourra donc, sans introduire aucune gêne au mouvement des points E, F sur leurs cercles, réaliser la plaque triangulaire LKG et l'articuler en G au parallélogramme ABGD, en K et L aux parallélogrammes GEGK, GLHF.

Geci posé, envisageons le mouvement du point G.

Nous pouvons considérer le point G comme sommet du triangle GDF lié à la bielle F D dans le trois-barres AD FH, lequel est, au fond, un trois-barres quelconque.

Mais nous pourrons aussi bien regarder le point G comme étant le sommet du triangle BGE lié à la bielle BE dans le trois-barres ABEG, ou bien regarder le point G comme étant le sommet du triangle LKG lié à la bielle LK dans le trois-barres G KL H.

Principe de l'échange

de bielle et manirello.

Autre

démonstration

du théorème

de Cayley.

Ainsi se trouve établie la triple généi'ation découverte par M. iloberts {').

Le pantographe de Sylvester donne encore lieu à une remarque intéressante connue sous le nom de principe de l'échange de bielle et

,B manivelle.

Soit un trois-barres quelconque ABGD, où DC, AB sont les manivelles et BG la bielle.

Construisons le parallélogramme ^^ DG'BG, dont le sommet D sera fixe.

Nous venons de voir qu'à tout point E lié à BC on peut faire cor- ^^3- '^^- respondre un point F lié à BG' et

tel que les points E, F décrivent des courbes semblables.

Si donc on remplace les deux tiges DG, GB par les deux tiges DG', G' B, ce qui revient à échanger la bielle BG contre la manivelle CD, on voit que l'ensemble des courbes décrites par des points liés à la nouvelle bielle sera composé de courbes semblables à celles que décrivent les points liés à la bielle primitive.

Cette remarque si simple nous fournit une démonstration intuitive du théorème démontré par M. Cayley au moyen du calcul sur les trajectoires dans le cas du rhomboïde. En effet, reportons-nous à la figure 70 qui, pour ne pas multiplier les figures, a été construite dans l'hypothèse où ABCD est un rhomboïde.

Si nous échangeons la bielle BG et la manivelle DG, nous obtenons le contre-parallélogramme ADC B.

Nous savons que tout point lié à BC, dans le mouvement du contre-parallélogramme, décrit une podaire de conique à centre; donc il en est de même, dans le mouvement du rhomboïde, pour tout point lié à BC.

Cette remarque nous permettrait même au besoin de déterminer la conique et le point double de la courbe.

Si BC est plus grand que AD, la conique sera une ellipse; elle sera une hyperbole dans le cas contraire.

(') Cette démonstration est empruntée à l'excellent petit traité Kinematik de M. Petersen. Les trois pivots A, G, H sont les points de rencontre des asj'mptotes isotropes imaginaires conjuguées (foyers singuliers).

Inverseur de Hart.

93. Soit ABGD un confre-parallélogramine et P, Q, R, S quatre points qui, pour une forme du contre-parallélogramme, soient sur une môme parallèle à la direction commune des diagonales AG, BD. On constate facilement que ces points restent toujours sur une même parallèle aux diagonales quand on vient à déformer le contre-parallélogramme.

Les triangles semblables APQ, ADB et DPR, DAG nous donnent