AB

•a cos — — — cos

a cos — — -^ sin

Exprimons que AB = A^Bg = 21 \^{a — /))* + /c% il viendra, après quelques simplifications,

(16) a sin* — ^ + 2 ( /i ces — — : — k sm — — ^ j cos — -^^ = 2/1.

Or, d'autre part, les coordonnées du point M ont pour valeurs (17)

x= - (cos ç — cos 0) = a sui

y = - (sm 0 + sm «f) r= a cos — - — ' sm — — -' •

Il est, dès lors, très facile d'introduire x, y dans la relation (16). On trouve

(18) (x^ + if — '2ahy(x'^ + 7/) = i(hy — kxy{a^ — x' — y').

On obtient donc une courbe tricirculaire du sixième degré (fin du paragraphe 91) qui a pour centre et pour point double le point M^. Elle a la forme d'un huit allongé dont une branche touche en Mj, la verticale de ce point et y présente une inflexion. Elle coupe la verticale, outre le point Mg, en deux autres points M^, Mj situés de part et d'autre de M^ à une distance 2 |//i (a — h) de ce point.

Si l'on va de Mj à Mj en suivant la branche qui touche en M^ la verticale, on passe par trois points d'inflexion, dont le point M^ et deux autres points symétriques par rapport ù M^. De là le nom de courbe à longue m flexion. ,

Nous allons montrer que si l'on suit la branche en question, l'écart de la courbe avec la verticale est extrêmement petit.

Nous nous servirons pour cela du principe de l'échange de bielle et manivelle.

Je construis le parallélogramme CDBA en introduisant les tiges articulées CD, DB, et je prolonge DB d'une quantité égale, BN = DB. Le point N est par rapport au point G l'homothétique de M, le rapport d'homothétie est égal à 2. Le point N décrit donc une courbe à longue inflexion, qui a au point 0 une tangente d'inflexion verticale, ON, et qui coupe cette verticale en un point N^ homologue du point Mj ci-dessus défini.

Joignons D, N au point 0; comme BO = DB = BN, il en résulte que l'angle DON est droit; abaissons NP perpendiculaire sur ONj et

DH perpendiculaire sur ODq. Les triangles DHO, NPO sont semblables et nous avons ] N,