DE DA DÂ "■ DG

et achevons le contre-parallélogramme ADEF, articulé lui aussi en ses sommets. Ce nouveau contre-parallélogramme sera, d'après la proportion précédente, semblable au premier, et la tige AF ou A' fera avec A' le même angle que A' fait avec A.

Le réverseur de Kempe peut servir à réaliser la symétrie par rapport à une droite A'. Supposons, en effet, qu'avec deux de ces appareils on ait réalisé, outre le couple de tiges A, A' un second couple Aj, Aj indépendant du premier, mais dans lequel les tiges Aj, Aï s'articulent encore en A, tout en restant symétriques par rapport à A'. Il est clair que l'on peut construire sur A et A^ d'une part, sur A" et Aj d'autre part, deux parallélogrammes qui ne cesseront pas d'être symétriques par rapport à A' . Les sommets P, Q de ces parallélogrammes opposés au sommet A seront sans cesse symétriques par rapport à la droite A'.

Le réverseur peut être considéré à un autre point de vue; il permet de guider une tige A' qui fasse avei une tige A un angle double de celui que fait avec A une autre tige A'. A cet égard, il peut donc servir de duplicateur d'angles.

Mais on peut aller plus loin ffig. 74J. Sur le contre -parallélogramme ADEF, construisons-en un second AFGH comme ADEF avait été construit sur ABGD, c'est-à-dire en prenant

FG AF ÂF"~FÊ'

la tige AH ou A'" fait avec A un angle triple de l'angle 0 de A' avec A. En continuant, on aperçoit la possibilité de guider une tige A'"' articulée en A, et faisant avec A un angle égal à nO.

Enfin, le réverseur permet encore d'obtenir l'addition ou la sous-, traction des an'des.

Supposons, en effet, que l'on ait, par l'emploi de deux réverseurs, obtenu que les tiges A, 1" demeurent symétriques par rapport à une

tige A', ainsi que deux autres Al, Ai'. Si l'on appelle 0, ç les angles de ^^, ![ avec A, il est clair que A" fait avec A un angle égal à 0 + ç.

Si donc les tiges A„ A^, A sont données, on pourra, par l'introduction de la tige auxiliaire A' et par le moyen de deux réverseurs guider une tige A" qui fasse avec A

Fig. 75

un angle égal à la somme des angles de A,, AJ avec A.

Si, au contraire, on regarde comme données les tiges A, A', A , on pourra, par l'introduction de la tige auxiliaire A', guider une ti'^e A" qui fasse avec A un angle égal à la différence des angles que font avec A les tiges A" et A^; on a, en effet,

a;aa = a''aa-\aa.

Sur la considération de ces simples appareils, Kempe a fondé la démonstration de ce remarquable théorème :

On peut toujours trouver un système articulé dont un point décrive une courbe algébrique donnée à l'avance.

La démonstration de cette proposition offre un exemple curieux des raisonnements généraux que l'on peut faire sur les systèmes articulés. Soit donc une courbe algébrique C, P un de ses points, 0 un point fixe du plan et Oa;, Oy deux axes rectangulaires.

Construisons un parallélogramme articulé dont les côtés p, q

auront des longueurs bien déterminées et dont 0, P seront deux sommets opp(îsés. Quand le point P décrira la courbe C, le parallélogramme se déformera et les angles 0, ç que font ses côtés avec l'axe Ox varieront en restant liés par une certaine relation facile à Fig. 16. former.

Soient x, y les coordonnées du point P, on a

X = p cos 6 + g cos 9, y = p s'm <) + q s'in o;

si donc f(x, y) = 0 est l'équation entière et rationnelle en x, y de la courbe, f{x, y) pourra s'écrire sous la forme d'un polynôme entier en cos 6, sin 6, cos o, sin ç et, remplaçant partout les puissances des sinus et cosinus par des cosinus ou des sinus des multiples des arcs, nous arriverons à mettre cette équation sous la forme

(15) V A cos (mO ± n<f + a) = 0,

où m, n sont des entiers, A un coefficient positif constant et a

désigne soit zéro, soit ± ^) soit ::.

Gomme 6 est l'angle de OM avec Ox et o celui de ON avec le môme axe, nous saurons, au moyen de réverseurs employés comme multiplicateurs, additeurs ou soustracteurs, réaliser le guidage d'une droite A, , . qui s'articule en 0 et fasse avec Ox l'angle w6 ± nç + a, tandis que OM, ON tournent autour de 0 (^).

Supposons donc construits tous les axes qui correspondent ainsi chacun à un terme de l'équation (15), et portons sur chacun d'eux, à partir de 0, un segment OH. ^^ ,^ dont la longueur soit proportionnelle au coefficient A du terme cos (mO dr nç + a) dans l'équation (15).

L'équation (15) exprime que la somme des projections sur Ox de tous ces segments est nulle.

Pour éviter la complication des notations précédentes, dénotons par OGj, OGg, ..., OG^. les segments précédents.

Sur OGi construisons le parallélogramme articulé OG,LjKj et puis le parallélogramme articulé LjKjO'GÎ; le segment O'G^ est constamment égal, et parallèle à OGj. De même, construisons les deux parallélogrammes articulés OGjLjK, et K^LjGgGJ, le segment G^Gj sera constamment équipollent au segment OG^. On pourra

(1) Si a est égal à + -, il faudra supposer la tige A„, +„^^ calée perpendiculai-

rement à la tige A,„, + ,j, qui fait avec Oa; l'angle wO + «ç, et dont le guidage est obtenu au moyen de réverseurs. Si a = u, on devra substituer à A„,+„ son prolongement.

Fig. 77.

continuer ainsi et construire une figure polygonaleO'G[G2...G[!i iG[i,

dont chaque côté sera équipoUent à l'un des segments OGi, OG^, ... ÔG'^.

On pourra sans gêner le mouvement des tiges 0G„ 0G„ ..., OGu fixer le point initial 0' . Cela posé, pour que l'équation (15) soit satisfaite, c'est-à-dire pour que le point P décrive la courbe C, il sera nécessaire et suffisant que le point extrême G'^ décrive la droite issue de 0', perpendiculaire à Ox. Si, en effet, cela a lieu, la somme des projections du contour 0'GiG2 ... G^ sur Ox sera égale à zéro. Or, nous allons voir qu'on peut toujours réaliser par un système articulé le guidage rectiligne d'un point, et, par suite, obliger le point G^ à décrire la droite considérée. Le théorème est donc démontré.

A une époque on a pu douter même de la possibilité du guidage rectiligne d'un point. Le théorème de Kempe résout donc par l'affirmative une question qui, a fortiori, pouvait être l'objet d'un doute (i), celle du guidage d'un point sur une courbe algébrique d'ordre quelconque. Il faut, du reste, bien remarquer que jamais un système articulé ne permettra de décrire une courbe transcendante, puisque toutes les relations qui existent à chaque instant entre les lignes et les distances des points du système sont d'ordre essentiellement algébrique.

Du guidage exact ou approché du mouvement rectiligne d'un point.

Balancier et 95. Le guidage approché du mouvement rectiligne d'un point se

contre- trouve réalisé dans l'un des plus anciens systèmes articulés, le paraibalancier.

(1) Voir la Cinémati'jue de Laboulaye, 3« édition, p. 546. Lire notre remarque de la page 279.

Cinématique.

lélogramme de Watt. Ce mécanisme offre une application du mouvement du trois-barres, combinée avec le panlographe de Scheiner.

Le dispositif que l'on désigne sous le nom de balancier et contrebalancier nous fournira tout d'abord le cas du trois-barres utilisé

dans le parallélogramme de Watt.

Figurons deux tiges horizontales égales OBq, GAq, reliées à leurs extrémités par une tige plus courte que la distance OC. La tige OB^, mobile autour du point 0, constitue le balancier, tandis que la tige CAq, mobile autour de G, constitue le contre- / balancier. Le milieu M

F'ig. 18. de la bielle A B décrit

une courbe qui a reçu le nom de courbe à longue inflexion.

Nous allons former en quelques lignes l'équation de cette courbe en prenant pour origine la position M^ du point M correspondant à la position A^B^ de la bielle; les axes de coordonnées seront M^a; l'horizontale et M^y la verticale du point M^.

Comme M^ est le milieu de OC, si (/i, h) sont les coordonnées du point 0, celles du point G seront ( — h, — k); désignons encore par a la longueur commune du balancier et du contre-balancier. On constate aisément que la bielle A^B^ a pour longueur

Supposons que OB^ s'élève en OB et OA^ en OA, en décrivant respectivement les angles 6, o. Les coordonnées des points B, A seront

a;' = — h + a cos ç,

( X := h — a cos 0, ( y =z k -h a s'm 0,

d'où, pour la distance AB

a sm ç,