OD

Calculons ON, , OD,, EF.

On a d'abord, FD, = OD^ — OF = 2a — 2/j = 2 (a — h), car ODo = 2a;doncOD, = OF — FD, = OF = 2 (2/i — a).

Ensuite, puisque la distance D,X, = 2 a, il vient

FD„=2/i — 2(a — /()

ON, = V^D,N,* — OD,* = 4 Vh (a

enfin

etl'on se souvientque Z— 2 |/(a— /i)« + /c% d'où2/c=: Ki* — 4(a — /l)^ On peut donc écrire

mais pour la courbe lieu du point M, qui se déduit du lieu de N en réduisant de moitié, l'écart sera inférieur à la moitié de cette limite.

i J/p 4 (a hy

Si a — h est petit vis-à-vis de l et de h, l'écart c sera lui- môme très petit.

Watt adoptait les proportions suivantes :

Zr=24, a = 37, 2/^ =: 72, d'où

a — h=z\, yh{a — li) = Q, 2/i- — a = 35; on trouve d'autre part

l — Kr — 4 (a — Kf < i, d'où l <; —^ — < L. ^ ^11 11 X 35 64

Supposons, par exemple, que a =: 1™85, ce qui revient à supposer que les nombres précédents expriment des vingtièmes de mètre; on

aura, en mètres, o <: -r^rpr^y c'est-à-dire encore moins qu'un milli- 1280 ^

mètre. Si l'on tient compte du jeu nécessaire au fonctionnement de l'appareil, l'écart doit être regardé comme pratiquement nul.

La figure 78 his, que nous avons tracée pour démontrer la propriété si curieuse de la courbe à longue inflexion représente un mécanisme (tiges CD, OB et DBN) qui fait décrire au point N la courbe à longue inflexion. Or, ce mécanisme a été réalisé par Oliver Evans. On prend l assez grand et h très voisin de a; alors DH reste très petit, et l'arc D^EDi se confond avec sa corde. Le point D se meut sensiblement sur l'borizontale du point 0, tandis que N décrit, approximativement la verticale ONj. On produit donc approximativement le mouvement de l'ellipsographe.

Arrivons au parallélogramme de Watt.

Le système du balancier et du contre-balancier aurait l'inconvénient de ne fournir pour la course du point M, milieu de AB, que de trop petites amplitudes. Une application du pantographe nous a conduit au balancier d'Oliver Evans qui atteint ce résultat; une autre application du même principe nous conduira à l'appareil bien plus ancien et bien plus parfait dû à Watt.

Prolongeons le balancier OB d'une quantité BE = OB et achevons le parallélogramme ABEP; ce parallélogramme sera articulé en ses sommets. Tirons la ligne idéale OP, cette droite passe au milieu M

du côté AB, et d'après la propriété essentielle du pantographe de Scheiner, le point P va décrire une courbe homothétique à la trajectoire de M; le rapport d'homothétie est égal à 2 et 0 est le centre de simi- ^X Fig. 70. litude. Le point P décrira

donc sensiblement une verticale et l'amplitude de son déplacement sera le double de l'amplitude du déplacement du point M.

Dans la pratique, on utilise à la fois le mouvement sensiblement rectiligne du point P et celui du point M (i). Autre guidage On a proposé d'autres guidages

approché. a — a approchés du mouvement recti-

ligne d'un point. En voici un. Soit ABGD un trapèze isocèle articulé dans lequel AB est double de CD, et CMD un triangle isocèle lié invariablement à sa base DC; le point M tombe au milieu de AB. Lorsque le M B système se déforme, le point M dé-

Fig, 80. crit une courbe qui se confond par-

tiellement avec le segment A B. On voit immédiatement que la courbe passe aux points A et B ainsi qu'au milieu de AB.

(•) On trouvera à la fin du volume uno note relatant quelques travaux de Tchebicheff sur le parallélogramme de Watt.

Solutions

exactes

he PeauccUier

et (le Hart.

Le guidage exact du mouvement rectiligne d'un point a été résolu par Peaucellier et puis par Lipkine au moyen d'un même appareil. Observons tout d'abord que tout inverseur fournit le moyen de réaliser le guidage rectiligne d'un point. Il suffit, en effet, au moyen d'une bride d'obliger un point à décrire un cercle passant au centre d'inversion, pour que le point inverse décrive un segment de droite. L'inverseur de Peaucellier et celui de Hart fournissent donc une

solution immédiate du problème. Par exemple, dans le •Q cas de l'appareil de Peaucellier (fig.81), on introduira une bride 0' D articulée en 0' et D, dont la longueur soit égale à 00'. Le point D ^'^9- 8i. décrira un cercle

passant au point 0' et le point B un segment de droite.

Il peut sembler paradoxal qu'un point soumis à des conditions géométriques décrive non une droite entière, mais seulement un segment fini. Le môme fait se produit forcément à propos des courbes algébriques à branches infinies; le théorème de Kempe nous prouve qu'on peut décrire un arc de cette courbe, mais le jeu même de l'appareil articulé exige que cet arc soit limité.

Il n'y a là rien qui doive surprendre, et la géométrie descriptive, à l'occasion des projections des intersections des surfaces, nous offre des exemples analogues.

La remarque suivante explique comment ce fait peut arriver. Supposons qu'un point M d'une figure décrive, par exemple, un segment de droite; un point M' voisin de M décrit alors une courbe fermée allongée, qui, lorsque M' se rapproche de M, va en s'aplatissant de plus en plus jusqu'à se réduire au segment de droite. Tel est le cas du mouvement de l'ellipsographe. Tous les points de la figure décrivent des ellipses qui s'aplatissent indéfiniment et deviennent des segments de droites quand le point décrivant est très voisin de la circonférence qui, dans le mouvement, roule sans glisser dans une circonférence de rayon double.

Double rhomboïde do Konipe.

Autre

appareil

de Keiïipe

Kempe et Hart ont fait connaître plusieurs autres appareils à ligne droite.

Soit ABGD un rhomboïde articulé et prenons EB

AB

articu-

lons en E une tige EF égale à EB et introduisons enfin une tigo CF = BG articulée en F et G. Nous aurons ainsi réalisé un second rhomboïde semblable au premier. Les droites DG et G F sont également inclinées sur le côté AB, car l'angle des côtés opposés du grand rhomboïde, DC, AB, est égal à celui des côtés opposés GF et BE du

petit rhomboïde. La bissectrice de l'angle G du triangle DGF est donc parallèle à AB et, par suite, la base DF de ce triangle est perpendiculaire àAB.

Introduisons alors une bride BG, pivotante autour de G, égale àAB et fixons le point D à une distance de G égale aussi àAB. Le quadrilatère ABCrD est un losange, et dès lors DF restant perpendiculaire à AB, c'est-à-dire à DG, le point F décrit une droite perpendiculaire àGD.

Reportons-nous à la figure 82; imaginons abaissée du point G une perpendiculaire sur AB, et prenons les tiges symétriques des tiges déjà construites (sauf BG) par rapport à cette perpendiculaire. Nous construisons ainsi un second double rhomboïde dans lequel les tiges GD', G F' sont les prolongements des tiges G F, GD. Remarquons alors que si l'on fixe le côté AB du premier double rhomboïde, la tige A'B' demeure dans le prolongement de AB et tous les points de A'B' décrivent ce prolongement.

On peut observer que ce procédé permet de réaliser une translation rectiligne quelconque d'une figure liée au segment A' B' (^).

(1) A l'égard des mouvements réalisables par des systèmes articulés, on peut émettre la proposition g-énérale que voici : Tout mouvement plan algébrique, c'està-dire dont les trajectoires de tous les points &ox^i A\géhv\([Mi^ii. peut être gvidé par lin système ariinilé. On peut, eu effet, comme nous savons, guider par des systèmes articulés le mouvement de deux points de la figure; cela suffit pour établir le théorème. (Voir aussi mes notes de 1S95 aux Comptes reiubts de l'Académie des Sciences.)

Soit un quadrilatère ABC D,

AB = a, BG = b, CD = c, I)A = d.

Prenons E arbitrairement sur AB et construisons le quadrilatère BEFG semblable au quadrilatère primitif; l'angle en B étant le même dans les deux et l'angle en G égal à l'angle en A, l'angle en E égal à l'angle en G et l'angle en F à l'angle en D.

On prend sur AD un point P et sur EF un point Q, tels que

AP ËQ

a.d hTc'

Projetons P en P' et Q en Q' sur AB. La distance P'Q' est constante quand le système se déforme.

P'Q' = AE — (AP' +EQ').

Or, si 1 on pose AP = -— , EQ — — , on a

AP'=APcosA = ?^cosA,

hc

d'où

EQ' = EQ cos (180 G) = - ^ cos G,

AP' + EQ' = - [ad cos A — hc cos G]. D'autre part, le carré de la diagonale BD a cette double expression BD =a' + d^ — 1adco% k = W + c»— '26c cos C,

d'où

a cl cos A — oc cos L =

Hart.

et, par suite,

AF + EQ' =^(a' + d' — h'- c'O, et finalement

P' Q' = AE — ^ («^ + cP — h' — c^).

Ainsi la longueur P' Q' reste constante quand le sextilatère (ABGD, EFG) se déforme. Supposons alors qu'on prenne un point R à une distance de P égale à AB et qu'on relie R à B par une bride RB égale et parallèle à AP; si l'on fixe en même temps le point P par un pivot, A, B, R, P sont les sommets d'un parallélogramme et la droite AB se meut parallèlement à elle-même; la distance du point P à la droite QQ' demeure constante, puisqu'elle égale P' Q', de plus, comme QQ' a une direction constante, elle est fixe dans le plan et le point Q décrit cette droite. Autre ^^ ^oi*^ ^ ^^^^ "^ autre appareil à ligne droite, étudié aussi par

appareil dû à Kempe (Proceedings of the London Mathematical Society), qui a été l'objet d'un mémoire de M. Darboux, inséré au Bulletin des Sciences ^nathématiques (2^ série, t. III), et réimprimé dans la Mécanique de Despeyrous.

Soient OA, OA' deux segments de longueurs a, a' issus d'un point 0, AB, A'B' deux autres segments de longueurs ma, m' a' issus de A, A' respectivement et faisant avec OA, OA' un même angle 0.

Si l'on prend le point 0 pour origine d'un système de coordonnées > rectangulaires, on pourra regarder A, A' comme les points représentatifs de deux variables imaginaires Z.^, Z^' dont a, a' sont les modules et dont nous appellerons 9,. 5' les arguments. Le produit de Za par le facteur me'^ se représente par un point qui est l'extrémité d'un segment d'origine 0, équipollent à AB ; il en résulte que l'affixe du point B sera

Zb = Za 4- Z., . me'^ = Za (1 + me'^) = ae'? (i -+- mé'^);

de même

Zu- = Zv (1 + W e'^) = a' éf (1 + mè%

sera l'affixe du point B' .

Cherchons à exprimer que la distance BB' est constante et égale à une longueur l; si nous appelons Z^, 7.^. les quantités conjuguées de Zjj , Zu' , il faudra écrire que

P = (Za - Z,0 (Z» - z«o

c'est-à-dire

P = «« (1 + me'^) (1 -i- we-*^) + a'* (1 -+- m'e'^) (1 + w'e-'^)

— aa' e'^f-f'^ (1 + we''^) (1 + m'e-'^)

— aa'e-''(î'-î''Hl +we-'^)(l -^ w'e'^),

ou encore, en faisant à = <f — cp' = AOA',

a- (i + m^) + a'* (1 + m'*) — i* + 2 (a* m + a'^m') cos 0 — 2aa' (1 -4- ï7nn') cos <l) — 2aa' m cos {^ + 6)

— 2aa' m' cos (<i — 0) = 0.

Fl'j. 8

Si l'on suppose articulées en 0, A, B, A', B' les cinq tiges OA, OA', AB, A'B', BB', nous obtenons un pentagone articulé dont les angles variables sont liés par la relation précédente, en y ajoutant l'égalité supposée des angles OAB, O'A'B', dont nous avons désigné par 0 la valeur commune. Sans cette égalité supposée la déformation du pentagone dépendrait de deux paramètres.

Cette condition d'égalité d'angles peut être réalisée ici d'une façon très simple; on va prouver, en effet, que deux autres points C, C pris sur AB, A'B' sont à une distance invariable, et dès lors il suffira d'introduire une tige GC articulée en C, C' aux tiges AB, A'B' pour réaliser l'égalité d'angles supposée.

Ce couple de points C, G' , s'il existe vraiment, sera analogue au couple de points B, B', et si l'on désigne par \j., [jJ les valeurs de m, m' qui lui correspondent, par X la distance GC, nous devrons

avoir

«' (1 + ;j.«) + a" (i + 1^;') — K^ + 2 {a\j. + a"ijJ) cos 0 — 2aa' (1 + [j.\j.') cos 'b — 2aa' [). cos (^ + 0)

— laa'i).' cosi'b — 6)=0;

équation qui devra avoir lieu en même temps que la précédente, s'il est vrai "que a soit constant. Or, l'identification nous donne

^ [j.' __ i -\- \j.\)J __ a^y. + g'V w m' 14- mm' a^ra + a''^m'

~ a^(i+m^)+ a'^{[ +m'^) — l'' les trois premières équations se réduisent à

et la dernière équation nous fait connaître 1 par la formule

«2 (1 + |7^î) + a'* {i -h w'*) — i' mm''

qui fournit pour X' une valeur constante

'' ~ îîZDi' w»i' yw m' ] '

nous pourrons donc, au moyen de la tige auxiliaire GG', réaliser

l'égalité conètante des angles OAB, OA'B'. ^

Galculons les carrés des modules de Zn, 1»< ou OB = Zn.Z?,,

ôïv' = z,,.z,v

Nous avons déjà calculé ces expressions en calculant 1% on trouve

Ôb' = a* (1 + w* + 1m cos G), OB'* =:a" (1 + m'* + 2m' cos 0), en sorte qu'entre OB, OB' a lieu l'équation

!!!l^ . ÔB* — — Ôf' = (m' — w) (1 — wm'). a* a'*

Dans ces conditions, si l'on fixe la tige BB' et si l'on déforme le système articulé, on constate que le point 0 décrit un cercle. Cependant si les coefficients — - , -- sont égaux, ce cercle se réduit à une ligne droite perpendiculaire à BB'.

En réalisant ces conditions on a donc le moyen de décrire une droite au moyen de cinq tiges articulées.

C'est à dessein que nous avons choisi la méthode précédente, qui

montre le parti que l'on peut tirer des imaginaires ou, ce qui revient

au même, du calcul des équipollences dans la théorie des systèmes

articulés.

Description On peut s'arranger de sorte que la droite décrite par le point 0

au"movenT ^^"^ ^^^^^^ ^" P°"^* ^' ' ^' ^^"^ P°"^ ^^^^ ^"^ ^'*^" P^^^^e avoir cinq tiges. ^^' = 0, OB =: l, ce qui donne

i* = (m' — m) (1 — mm').

r. -, .a a * boit pose — = — = g\'û viendra m m

Supposons de plus que A'B' égale OA' ou que m' = 1, on a donc 0^ = a% en sorte que

Dans ces conditions, le segment mobile OA' s'appuie par ses extrémités sur une droite fixe B'O et sur un cercle de centre B' dont le rayon B' A' = OA' lui est égal; si donc on prolonge OA' d'une quantité égale jusqu'en K, en sorte que A' est le milieu de OK, le point K décrira une droite perpendiculaire en B' à B' 0, et qui n'est autre dès lors que BB' . La tige OK glisse donc par ses extrémités sur deux droites rectangulaires et un quelconque de ses points décrit une ellipse. Ce système de cinq tiges permet ainsi de décrire une ellipse et de réaliser rigoureusement le mouvement de l'eliipsographe que le balancier d'Oliver Evans réalisait approximativement.

Des mouvements et des transformations que peut réaliser un même système articulé.

Avec

un système

articulé on

peut produire

plusieurs mouvements.

Plusieurs transformations.

Autre usage des inverseurs.

96. Soit un système articulé à liaisons complètes. On peut, avec cet appareil, réaliser plusieurs mouvements et plusieurs transformations.

1° Plusieurs mouvements, car on peut fixer l'un quelconque des membres du système et considérer la trajectoire d'un point de l'un quelconque des autres membres. Par exemple, dans le cas du rhomboïde, suivant que le côté fixé sera un des deux grands ou un des deux petits côtés, le lieu d'un point lié à la bielle sera une podaire d'hyperbole ou bien d'ellipse. Ainsi encore dans le contre-parallélogramme.

2° Plusieurs transformations : fixons, en effet, par un pivot un point 0 d'un membre du système articulé; choisissons ensuite un point M et un point N liés chacun à l'un des membres (ou bien même servant de pivot à deux ou plusieurs membres du système). Le point M sera le point directeur et N le point traceur.

Si l'on fait décrire au point directeur M les contours d'une figure, le point N tracera les contours correspondants de la figure transformée. Or, on voit que l'on peut choisir arbitrairement les points 0, M, N dans le système et réaliser ainsi diverses transformations. Toutes ne seront pas également intéressantes, mais dans certains cas, cependant, on pourra, avec le même système, obtenir plusieurs résultats utiles.

Ainsi reprenons le contre-parallélogramme qui nous a déjà servi à décrire des podaires d'ellipses et des podaires d'hyperbole, nous savons que Hart l'a utilisé comme inverseur en fixant un point 0 sur un côté et prenant sur les deux côtés adjacents deux points M, N qui restent alignés sur le point 0.

On a alors OM.ON = constante.

Mais au lieu de fixer le point 0, fixons le point M, la relation ci-dessus s'écrit

MO (M N — MO) = A; = constante, et la relation entre MO et MN exprime une transformation de la

forme

CttAP. XI. — LES SYSTÈMES ARTICULÉS.

où p, Pj sont les rayons vecteurs MN et MO.

Par exemple, si le point 0, considéré comme point directeur, décrit une droite p cos 9 = p, on trouve que le point N, considéré

Description des cubiques

circulaires iinicursalos à comme traceur, décrit la cubique circulaire

de symétrie.

Utilisation

iiu mouvement

inverso.

cette courbe a un point double et un axe de symétrie; si, k étant négatif, on prend p = V— /c on a une cissoïde, et une strophoïde

droite si p = l/ .

Si, après avoir fixé un membre A d'un système articulé à liaison complète, on constate qu'un point M d'un autre membre décrit une courbe G par rapport au membre A, il est clair qu'en supposaiat cette ligne tracée sur le membre A, elle ne cessera pas de passer par le point M lorsque, ayant rendu libre le membre A, on aura fixé le point M par un pivot; le même appareil nous permettra donc de réaliser le fait d'une plaque plane A assujettie à cette seule condition qu'une courbe C tracée sur cette plaque aille passer par un point fixe du plan.

Exemple. — Nous savons guider au moyen d'un système articulé le mouvement rectiligne d'un point, nous saurons donc, avec le même instrument, réaliser le guidage d'une figure plane assujettie à l'unique condition qu'une de ses droites glisse sur un point fixe.

Prenons l'appareil à ligne droite de Peaucellier; on supposera les deux pivots fixes 0, 0' réunis par une tige qui constituera avec le double rhomboïde {f\g. 85, page 288) et la bride O'B un système articulé tel que si l'on fixe le membre 00' le point M décrira une droite A perpendiculaire à 00' et coupant 00' en son prolongement en un point fixe Q.

Concevons qu'on ait réalisé un segment RR' de cette droite, calé perpendiculairement à 00' (prolongée s'il le faut). Le segment RR' et la tige 00' ne forment qu'un seul et même membre. Si l'on vient à fixer par un pivot le point M et à rendre sa liberté au

Protracteur.

Description

des conchoides.

membre 00', ce membre se trouvera assujetti à cette condition unique que la lige RR' qui lui est liée aille passer au point M.

Fig. 85.

Cet appareil permet alors de réaliser une transformation nouvelle.

Si, en effet, on amène le point R' en un point V du plan, le point R viendra en un point V situé sur le même rayon vecteur MV que le point V , seulement ce rayon vecteur aura été accru d'une quantité constante R' R. Cet appareil réalise donc la transformation qui a pour effet d'augmenter (ou de diminuer) d'une quantité constante tous les rayons vecteurs d'une courbe. Cet appareil a reçu le nom de protracteur.

Si le point R' vient à décrire une courbe, le point R décrit une conchoïde de cette courbe.

Les exemples précédents suffisent pour montrer de quel genre sont les questions qui peuvent se présenter à propos des réalisations des transformations au moyen des systèmes articulés.

Applications des systèmes articulés à la résolution des équations et à la représentation des fonctions.

97. On a fait la remarque que les systèmes articulés pouvaient servir à représenter des fonctions ou à résoudre des équations. Nous

ne dirons que quelques mots de cette application qui est plutôt curieuse que vraiment pratique.

Fixons une tige A d'un système articulé, à liaisons complètes; un point M d'un membre du système décrit une courbe qui coupe A en certains points, dont les distances à un point pris pour origine sur A sont racines d'une certaine équation algébrique. Si donc on a gradué A, il suffira de noter les cotes des points de A où peut être amené le point M par la déformation du système articulé; on connaîtra ainsi les racines de l'équation proposée.

Les coefficients de cette équation sont des paramètres qui figurent dans la définition du système articulé; les racines de l'équation constituent les valeurs d'une fonction algébrique de ces paramètres indépendants, et à cet égard le système articulé fournit une représentation des valeurs de cette fonction algébrique, au moins dans certaines limites de variation des paramètres.

Si l'on sait trouver facilement les longueurs des tiges qui font prendre aux coefficients de l'équation des valeurs numériques données, et contenues entre certaines limites, on aura une classe d'équations résolubles au moyen du système articulé proposé.

A ce procédé de résolution mécanique on peut d'abord adresser le reproche de ne fournir qu'avec une faible approximation les racines cherchées; mais à cet inconvénient s'en ajoute un autre.

Nous avons vu qu'il est des quadrilatères qui, par déformation continue, ne peuvent prendre qu'une partie des formes que l'on peut obtenir en construisant tous les quadrilatères imaginables dont les côtés ont des longueurs données et un ordre de succession déterminé. Imaginons que notre système articulé offre une circonstance analogue; alors, par une déformation continue, le point décrivant M ne décrira qu'une partie de sa trajectoire et il pourra arriver que l'appareil ne fournisse qu'une partie des racines qu'il s'agit de trouver.

97 *«. Soit un quadrilatère ABCD dans lequel nous prolongeons les

côtés AB, CD jus- (fu'à leur renconti'e en E; appelons 0 Tanglo DKA, nous avons

âd'=ëdVëâ'

— 2ED.EACOS 0, Cine)natique. 44

BC' = Ëg' + Ëb' — 2EG.EB cos 0; d'où, en éliminant cos 0, (Ëd' + ËÂ' - AÏ)*) EC.EB = (Ëg' + Ëb' - ÏTc') EA.ED.

On constate facilement que cette équation est générale et indépendante de la disposition des points situés sur une même droite, pourvu qu'on affecte de signes contraires deux segments opposés.

Imaginons que l'on articule en A, B, G, D le quadrilatère et que l'on fixe la tige AB supposée prolongée. Un point E de la tige GD prolongée décrit une courbe qui coupe en certains points la tige AB; nous nous proposons de former l'équation qui admet pour racines les distances du point E au point A.

Appelons «, h, c, d les côtés AB, BC, GD, DA du quadrilatère, f la distance DE, x la distance AE; nous comptons x positivement dans le sens BA; l'équation ci-dessus devient

(/• + c) (x' + r — d') {x + a)=f [(x + cif + (/• 4- cy - h'-\ X,

ou en développant,

ex" -+- a [c - f] x'^ - [c (r 4- rf=) + A«' ~ b' + c' 4- d')] X

On peut identifier cette équation avec n'importe quelle équation du troisième degré

x^ + nx^ -i- px + q =^0.

Plaçons-nous dans le cas particulier où n est nul, il faudra prendre f—c,et les équations d'identification deviennent

On en tire

Ces formules nous font connaître c, d; a et h peuvent être pris constants ; cependant si les valeurs précédentes de c% fP devenaient

CIIAP. XI.

LES SYSTEMES ARTICULES.

négatives, il faudrait pouvoir faire croître h de manière à rendre les seconds membres positifs.

On pourra réaliser ces conditions en insérant les tiges dans des douilles articulées entre elles et dans lesquelles les tiges pourront tantôt glisser, tantôt être fixées au moyen de vis de serrage. Le point A sera fixe sur la tige graduée AB et la tige CD devra aussi être graduée afin qu'on puisse plus facilement prendre le point E qui doit être le symétrique de G par rapport à D, attendu que f=c.

, Systèmes articulés gauches.

98. Nous dirons que deux corps sont articulés s'ils sont réunis par une charnière ou un pivot ne leur permettant pas d'autre mouvement relatif qu'une rotation autour d'un axe, fixe dans les deux corps.

Prenons un ensemble de corps qui sont articulés chacun avec certains autres, de manière à limiter la déformation du système, nous aurons là un système articulé au sens le plus général de ce mot.

Les numéros précédents ne visaient que les cas où les pivots sont parallèles entre eux et où l'on peut se borner à la considération des plaques planes superposées. Ce cas est le plus fréquemment employé, mais les autres sont aussi utilisés. Par exemple, le pantographe de Scheiner a été étendu aux figures gauches et appliqué par M. Collas à la reproduction des statues.

Le joint de Cardan se compose :

1° D'un croisillon, c'est-à-dire de deux tiges égales AB, A'B' nies à angle droit en leur milieu C;

Fig. 87. Fig. 88.

2° De deux tiges Ose, 0' x' qui sont munies chacune d'une fourche

portant à ses extrémités des œils dans lesquels s'engagent les extrémités cylindriques A, B, A', B' des deux tiges du croisillon; les fourches sont construites de telle sorte que les prolongements de 0 a; et de 0' a;' aillent se croiser au point G.

Le joint de Cardan peut être utilisé de plusieurs manières. Si l'on fixe invariablement la tige 0' X', le point C demeure fixe et la tige OX peut prendre tous les déplacements possibles autour du point C. On réalise par là le fait d'un axe géométrique pivotant autour d'un point fixe. Ce dispositif est employé dans nombre d'appareils de mécanique ou de physique et constitue alors le procédé de suspension dit à la Cardan.

Dans certains cas, comme dans le gyroscope, par exemple, on modifie un peu la disposition précédente, mais schématiquement le principe est le même. Bien n'empêche, en effet, de remplacer le croisillon par une couronne métallique armée, aux extrémités de deux diamètres rectangulaires, de prolongements cylindriques faisant le même office que les extrémités cylindriques des tiges du croisillon. Et même, rien n'empêche d'armer les fourches elles-mêmes de ces mêmes pivots, et de pratiquer, par contre, les œils où ils s'engagent dans la couronne elle-même.

Mais le joint de Cardan est encore employé à d'autres usages. Imaginons qu'au moyen de douilles ou autrement on interdise aux axes Ox, 0' x' tout autre mouvement qu'une. rotation sur eux-mêmes. Le système devient à liaisons complètes, et toute rotation de Ox sur luimême entraînera une rotation de 0' x' sur lui-même. Le joint apparaît donc comme un organe propre à transmettre un mouvement de rotation d'un axe à un autre axe qui le coupe.

Désignons par w, m' les vitesses angulaires de ces deux axes Ox, 0' x' et observons que sur la sphère S de centre de C et de rayon CA = a, le point A décrit ffig . H8J un grand cercle (A) dont 0 est le pôle, tandis que A' décrit sur la même sphère un grand cercle (A') de [xMe C. De plus, les points A, A' décrivent leurs cercles avec les vitesses aw, ato'.

Observons que, sur la sphère S, l'arc de grand cercle A A' vaut un quadrant. Le mouvement du croisillon est donc celui d'un quadrant de grand cercle A A' dont les extrémités A, A' décrivent ^]c\\K autres grands cercles.

Désignons ) ar H un des points de lenconlre des deux grands

CHAP. XI. — LFS SYSTÈMES ARTICL'Lï'S. 293

cercles (A) (A'), le triangle A A' H nous donnera

0 = cos A A' = ces H A . cos H A' + sin H A . sin H A' . cos H .

Or, H = 180" — 2x où 2a est l'angle toujours obtus x'Cx. On a donc

cotg HA.cotg HA' r= cos 2a.

Désig'nons HA par 0, HA' par 0' ; le quotient y- est le rapport

des vitesses des points A, A', il est égal au rapport des vitesses angulaires des axes Ox, O'x' . Or, de cotg O.cotg 0' = cos 2a, on tire

f) r in

~ =z — \ cos 2a. sin* 0 -h ■ — --— cos* 0 • ) l cos 2a J

Le rapport en question oscille donc entre — cos 2 a et

cos 2 a

C'est un inconvénient, car si l'axe Ox, par exemple, est animé d'un mouvement uniforme de rotation, l'autre axe sera animé d'une vitesse variable et périodique. On reconnaît en même temps que si 2 a s'approche de 90», ces oscillations augmentent considérablement, et que le mouvement sera rigoureusement impossible pour 2a = 93".

Enfin, si l'appareil est à disposition variable, c'est-à-dire si l'on a l)esoin de faire varier l'angle 2a, les conditions de la transmission varieront avec cet angle.

Dans le joint Goubet, toutes ces imperfections se trouvent écartées et l'on arrive à transmettre une rotation uniforme, toujours la même, quel que soit l'angle constant ou variable des deux axes.

Il y a plus de seize ans que le joint Goubet a été inventé; un modèle figura à l'Exposition universelle de 1878. L'attention des savants a été attirée récemment sur cet ingénieux appareil par l'application remarquable que l'inventeur en a faite à la propulsion et à la direction du bateau sous-marin qui porte son nom. La théorie en a été donnée par M. Résal dans les Comptes rendus de l' Académie des Sciences (tome CXVH). Mais on peut sans aucun calcul se rendre compte de la propriété essentielle de ce joint.

Il consiste, au fond, dans la réanion de deux joints de Cardan.

Reportons-nous à la figure 87 et concevons qu'au point 0' on mène un plan normal à l'axe O'x', puis que par rapport à ce plan on prenne les symétriques de la fourclie A'O'B', soit A"'0' B'"; du croi-

sillon ABA'B', soit A'B"A'"B'"; de la fourche AOB et de l'axe Ox, soit A"0"B" et O'x". De plus, supprimons l'axe 0' x' et soudons entre elles les deux fourches A'O'B', A"'0'B'". Les extrémités A'", B'", A", B" des tiges du croisillon qui a G" pour centre sont engagées dans des œils pratiqués dans les fourches correspondantes. Enfin, si Ox, (Y x" sont engagés dans des douilles qui leur défendent tout autre mouvement qu'une rotation sur eux-mêmes, nous aurons évidemment réalisé un système articulé à liaisons complètes qui reste symétrique par rapport au plan médian mené par 0' perpendiculairement à ce

Si le système des doubles fourches vient à tourner, il est clair qu'à cause de la symétrie, les axes Ox, 0"x" prendront des rotations égales sur eux-mêmes. Donc, inversement, si l'on impose à l'axe O.c une rotation to, l'axe 0''x" prendra une rotation sur lui-même égale à (i). En particulier, si 0.r tourne sur lui-même avec une vitesse constante, 0" x" tournera sur lui-même avec la même vitesse constante.

Ce résultat est remarquable non seulement à cause delà transmission intégrale de la vitesse angulaire de rotation^ mais encore parce que Vangle que font les deux axes n'intervient pas.

Supposons, par exemple, que OX soit l'arbre de couche parallèle à la quille d'un bateau à hélice et Û''X'' l'axe qui porte l'hélice.

A l'état normal, c'est-à-dire dans la marche rectiligne du naviie, 0"x" sera dans le prolongement de Ox. Mais imaginons que, par un système d'engrenages se gouvernant de l'intérieur, on incline la direction de 0" x" tout en conservant la propriété essentielle (i) de la symétrie, l'hélice gardera sa vitesse uniforme, la même que celle de l'arbre de couche, en sorte qu'il n'en résultera aucun choc dans le jeu de la machine, et cependant, grâce à l'inclinaison de l'axe O'x', l'hélice produira l'effet d'un gouvernail, et d'un gouvernail actif, ce qui, on le conçoit, augmente beaucoup la rapidité d'évolution du navire.

Joint Clérnens. Le joint Clémens offre la même propriété que le joint précédent, mais il est moins commode, du moins dans certaines applications.

(') M. Goubet réalise cette conditioij essentielle au moyen d'un engrenage limité à quelques dents.

Il a fi^mré en 187G à l'Exposition de Philadelphie et a fait l'objet d'une note intéressante aux Comptes rendus (tome LXXXIV), par M. Rozé, le distingué Conservateur des collections de l'École polytechnique.

Imaginons deux tiges xO, AB s'arliculant entre elles par leurs extrémités respectives 0 et A; par exemple, xO portera une petile tige formant un T dont les branches cylindriques s'engageront dans les œils d'une fourche terminant en A la tige AB. Concevons un plan fictifs passant par l'extrémité B et ne coupant pas la tige Ox; prenons, par rapport à ce plan, les symétriques des tiges Ox, AB, soit

O'a;', A'B'. Iléalisons ces tiges et articulons-les, comme les précédentes, par leurs extrémités A', 0' .

Munissons l'extrémité B de AB d'une enveloppe sphérique creuse où s'engagera une sphère pleine égale terminant l'extrémité B' de A'B' . Par ce procédé on réalisera la coïncidence permanente des points Flfj. 89. Jr'\ lîj B'. Enfin, engageons les tiges

Ox, 0' X dans des douilles qui leur permettent seulement de tourner sur elles-mêmes. Dans ces conditions, l'ensemble des tiges forme un système à liaisons complètes ; le point B, extrémité commune des deux tiges AB, A' B' , décrit une cercle contenu dans le plan de symétrie :: et la figure reste symétrique par rapport à ce plan. On voit donc, par la môme raison de symétrie que ci -dessus, à propos du joint (loubet, (|ue les tiges Ox, 0' x' auront des vitesses de rotation constamment égales.

Dans la pratique, et pour assurer un guidage plus parfait, on ne se contente pas d'un seul couple de tiges AB, A'B', on en introduit un second.

Comme autre exemple de système articulé gauche nous décrirons l'appareil qui, en application du théorème de M. Darboux démontré à la page 222, permet de décrire le plan ou plus exactement une zone plane.

Il s'agit, comme on sait, de réaliser le fait d'une tige ABC dont trois points A, B, C décrivent des sphères; les centres A,, B,, Cj de ces sphères sont eux-mêmes en ligne droite. Il y a alors un point M

de la tige ABC qui décrit un plan normal à la tige Ajï3jC,. Il suffit donc de relier les points A et A^, B et Bj, C et Cj par trois tiges de longueur invariables s'articulant par leurs exti'émités aux tiges ABC et A, lîjCj. Nous sommes ainsi amenés à réaliser, par le moyen d'un système articulé, le fait de deux liges s'articulant en un point, c'est-à-dire assujetties à l'unique condition d'avoir constamment en commun le même point; par exemple, le point A s'il s'agit des liges A A, et ABC.

Voici comment on peut y parvenir :

Considérons un cylindre F de révolution, dont l'axe figure la droite ABC. Imaginons un anneau assez étroit embrassant le cylindre et pouvant glisser sur lui à frottement doux. Si l'on enfile ainsi plusieurs anneaux dont la largeur totale soit égale à la hauteur du cylindre et si, par des vis à tète placées aux extrémités du cylindre, on empêche les anneaux extrêmes de glisser dans le sens de l'axe, tous ces anneaux se caleront les uns aux autres et ne pourront prendre chacun qu'un mouvement de rotation sur eux-mêmes autour de l'axe du cylindre.

Imaginons maintenant que l'un de ces anneaux soit tel que son plan moyen passe par le point A; il y passera constamment. Dans ce plan moyen munissons l'anneau de deux broches cylindi-iques figurant les prolongements d'un diamètre, qui passe par le point A; puis engageons ces broches dans les œils d'une fourche F identique à celles que l'on utilise dans les joints de Cardan. Désignons par A la droite qui représente l'axe géométrique de la fourche. Par suite de la rotation de la fourche autour de la broche et de l'anneau autour du cylindre, la droite A peut recevoir toutes les orientations possibles autour du point A; l'efTot produit est le même que dans un joint de Cardan dans lequel on aurait fixé l'une des deux fourches.

Figurons-nous maintenant un cylindre de révolution délié, dont l'axe figurerait la droite A et qui serait foudé à la fourche F. Enfilons sur ce cylindre plein un cylindre qui en sera la forme en creux et que nous empêcherons de prendre aucun mouvement de glissement par rapport au cylindre plein dans le sens des génératrices. Ce cylindre {' pourra s'orienter de toutes les façons possibles autour de A et, par rapport au cylindre T, réalisera le fait d'une tige articulée sur une autre en un point.

L'emploi d'un autre anneau dont le plan moyen pa>>e par B et

CIIAP. XI. — LES SYSTEMES ARTICULES.

d'un troisième dont le plan moyen passe en C, permettra d'articuler de même en ces deux points les deux tiges BB^ et GCj.

On fera de même pour la tige A^BjCj et les extrémités A,, B,, C^ des tiges AAj, BB,, CGi-

Fifj. 00.

Tel est l'appareil qui a été construit et que représente la figure 90, Supposons qu'une tige ABC soit assujettie à la condition que trois de ses points A, B, G décrivent des plans formant un trièdre Oxyz; un point quelconque de la tige décrit un ellipsoïde.

Soient, en effet, X, jj,, v les angles des arêtes 0^, Oz; Oz, Ox; O.r, Oy et a, h, c les distances MA, MB, MG, où M est le point décrivant. Désignons par l, m, n les projections sur les axes, faites parallèlement aux plans de coordonnées, d'un segment de longueur 1 porlé par la droite ABC; les coordonnées x, y, z du point M auront les expressions suivantes : x est la projection du segment A M, donc

et de même

Or, /, m, n sont liés, comme on sait, par l'équation l* -+- m* -h n* — 2mncosX — 2nlcos'j. — ilmcos v = 1.

Nous aurons donc, d'après les équations ci-dessus,

— + TT + — — 2 7— COS A — 2 COS ;j, — 2 T cos V — 1 .

a* 0' c* 6 c crt ab

Le point M déci'it donc bien un ellipsoïde.

Or, pour obliger les points A, B, G à décrire cliacun un plan, il suffira d'articuler ponctuellement en A, B, G, sur la tige ABC, les extrémités des tiges de trois planigraphes. On réalise donc de la sorte un système articulé susceptible de décrire un ellipsoïde (*).

Théorèmes généraux sur les systèmes articulés.

Articulation 99, Je terminerai ce chapitre sur les systèmes articidés en démonde deux corps, [p^nt plusieurs propositions que j'ai fait connaître en avril 1895 dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences.

Bappelons que nous appelons articulés deux corps dont le mouvement relatif se réduit à une rotation autour d'un axe, fixe dans chacun d'eux, qui sera Vaxe cV articxdallon .

Si l'un des corps est une tige assimilable à une droite, nous supposerons toujours que la tige coupe à angle droit l'axe d'articulation. Le point de rencontre sera le point d'articulation, et le plan lié au corps dans lequel peut se déplacer la tige sera le/)/an d'articulation. Ce plan est ainsi à chaque instant le plan mené par la tige normalement à l'axe d'articulation.

Lorsqu'il s'agira do deux tiges articulées entre elles, nous supposerons que l'axe d'articulation est perpendiculaire aux deux tiges et que celles-ci coupent cet axe au même point d'articulation; le plan des deux tiges est normal à l'axe d'articulation et constitue le plan d'articulation commun dos deux tiges.

Gcs suppositions n'ont rien d'essentiel, mais elles précisent et simplifient les raisonnements.

Jonction Nous avons rencontré ci-dessus un autre mode d'articulation de

ponctuelle, jgux tiges ou de deux corps, pour lequel nous adopterons la locution de jonction ponctuelle, où la condition imposée consiste dans la coïncidence constante de deux points, fixes dans chacim des corps.

(') Nous avons vu, paj^e 222, que si les plans décrits sont rectangulaires, la tige ABC reste normale à une surface.

On peut modifier le dispositif que nous avons déjà décrit et opérer comme il suit :

Concevons une sphère pleine S, qui porte deux petites broches cylindriques figurant les prolongements d'un diamètre. Ces broches s'engagent dans des œils pratiqués, aux extrémités d'un diamètre D, dans l'épaisseur d'un anneau extérieur et concentrique à la sphère S. L'anneau, à son tour, est muni de broches figurant les prolongements du diamètre perpendiculaire au diamètre D; ces broches s'engagent enfin dans les œils d'une fourche F pareille à celles qui ont été décrites plus haut. Dans ces conditions, l'axe de la fourche F est une droite \ capable de s'orienter de toutes les façons possibles autour du centre 0 de la sphère. En réalisant alors, au moyen d'une douille comme il a été expliqué, un cylindre dont A soit l'axe et libre de tourner autour de A, on aura réalisé le fait d'un corps libre d'évoluer autour d'un de ses points 0.

Que l'on fasse de même pour un second corps en employant la même sphère S, et nous aurons de la sorte un second mode de réalisation de la jonction ponctuelle do deux corps.

L'avantage de ce dispositif est de rendre possible la liaison invariable du point 0, centre de la sphère et point d'articulation, à une figure mobile, sans gêner autrement le mouvement des corps qui se joignent en ce point.

Imaginons, par exemple, que l'on soude la sphère S à un système articulé qui oblige le centre 0 à décrire une dioito, par exemple à un appareil Peaucellier, nous aurons réalisé le fait de deux corps mobiles assujettis à la condition de se joindre en un point qui doit rester lui-môme sur une droite fixe.

Nous allons déduire de là une démonstration de lemmes importants.

Soient A et B deux corps tournant librement et indépendamment l'un de l'autre autour d'un axe fixe Oz. Une tige A s'articule au point 0 avec le corps A et de telle manière que le plan II d'articulation passe par Oz, ce qui fait que l'axe D d'articulation est une droite issue de 0 et rectangulaire avec Or. Une seconde tige A' s'articule dans les mêmes conditions au point 0 avec le corps B et le plan H' d'articulation passe aussi par l'axe Oz. Les azimuls des plans II, M', qui sont aussi ceux des droites A, A', varient d'une façon quelconque, indépendamment ou non. Il s'agit de forcer les tiges A et A' à faire avec Oz le même angle, sans altérer en quoi que ce soit l'état

de liberté ou de dépendance relative des azimuts des plans M et FI'. Je dis qu'on peut y jparvenir à Vaide de systèmes articulés.

En effet, prenons les longueurs OD, OD' sur A, A' égales à une même longueur l. Prenons deux autres tiges DE, D' E égales aussi à î et qui se joindront ponctuellement aux extrémités D, D' des premières. Nous relierons ensuite ponctuellement par une double articulation effectuée sur une sphère les tiges DE, D'E, de sorte que le point E où elles se joignent soit justement le centre de cette sphère et ensuite, en soudant cette sphère à un système articulé de Peaucellier, nous forcerons le point E à décrire la droite Or. Dans ces conditions, l'égalité des triangles isocèles ODE, OD'E entraîne l'égale inclinaison des tiges A, A' sur l'axe Oz, et cela sans que les relations entre leurs azimuts se trouvent en quoi que ce soit altérées. Lemmell. Soient T, T' deux tiges de longueurs a, a' .

La première s'articule en 0 sur le corps A de tout à l'heure, libre de tourner autour de Oz, et le plan d'articulation n contient Oz, en sorte que l'axe D d'articulation est une droite du corps A perpendiculaire à Oz.

La tige T' s'articule avec la tige T à son extrémité, de sorte que le plan d'articulation soit le plan H que nous venons de définir. Ainsi les tiges T et T' se meuvent toutes deux dans le plan II, tandis que ce plan, solidaire du corps A, peut tourner autour de l'axe Oz en même temps que le corps.

Soient 0, 0' les angles avec Oz des tiges T, ï' et s l'angle que fait le plan II avec un plan fixe zOa: mené par Oz.

Je dis que si p, p', a désignent des entiers positifs ou négatifs

et X, [j. l'une des quantités 0, t., -f- ^^ — ^) oyi saura réaliser avec

un système articulé le fait d'une tige T (p, p', a, z, \).) faisant avec Oz V angle pO -H p'ô -f- a et dont zo -\- \>. sera l'azimut.

En effet, nous saurons, d'après Kempe, réaliser le fait d'ui.o tige Aî,î', A articulée au point 0, sur l'axe d'articulation D, avec le corps A (en sorte que II est son plan d'articulation) et qui fasse avec Oz l'angle p6 -^ p'6' -H \. Il suffira d'établir dans le plan :: un système articulé convenable dont feraient partie les tiges TetT'. (Voir page 270.) Grâce à ce système, quand on déplacera T et T' de façon à faire varier d'une façon quelconque leurs angles 0, 0' avec Oz, la

lige \,i',l se placera d'elle-même sous l'angle pô -1- p'O' + a avec l'axe 0-.

Imaginons un second corps A^,(j. tournant aussi librement autour de Oz et articulons une tige T (p,p',X, j,ix) avec ce corps au point 0, de sorte que son plan 11;,^ d'articulation passe par Oz.

D'après le lemme I, nous saurons, par le moyen d'un système articulé, qui reliera les axes ^o,z',l et T (p, p', X, c, \).), obliger les axes à rester également inclinés sur l'axe 0;:: et cela sans toucher à la liberté relative de leurs azimuts qui sont ceux des plans II et Il^.tx. Alors T (p, p', A, 7, '^.) fera avec Oz l'angle pO 4- p'ô' -f- X.

Maintenant, passons aux azimuts, qui sont restés indépendants. Matérialisons en une tige Q, solidaire du corps A, la trace du plan II sur le plan des xy, et soit de même Q^,u. une tige solidaire du corps Aj,.j. représentant la trace sur le plan xOy du plan 11^ ,a. La tige Q fait avec l'axe Ox l'angle 9; on pourra, grâce à un système articulé plan, obliger 0^,^ à faire avec Ox l'angle ao + [x (Kempe).

Dès lors, la tige T (p, p', a, 7, jj.) remplit les conditions angulaires de l'énoncé.

Son azimut est 79 -h [j., et l'angle qu'elle fait avec Oz est pO + p'e' + A.

Soit une tige AB; 07i peut, au moyen d'un système articulé, réaliser le fait d'une tige A'B' équipollenie à AB et dont Vorigine A' peut être prise en U7i point quelco7ique fixe ou mobile de l'espace, sans gêner le mouvement de la tige AB si cette tige est mobile.

En effet, concevons un corps G libre de tourner autour de AB, puis un corps G' articulé avec G, de sorte que l'axe d'articulation soit parallèle à AB, puis un troisième corps G' articulé au corps G', l'axe d'articulation étant aussi parallèle à AB, on pourrait continuer si l'on voulait, mais arrêtons-nous au corps G", et soit A,Bj un segment lié au corps C qui soit, dans une position de ce corps, équipollent à AB, il est clair que A,B, sera équipollent à AB dans toutes les positions du corps G'. Imaginons alors que dans un plan II lié invariablement au corps G", on construise un parallélogramme articulé dont AjBj serait un côté; on pourrait même construire une chaîne de parallélogrammes articulés dans le plan II dont le premier aurait AjBj pour cô!é et dont les autres auraient tous deux côtés équipollenfs à AjBj.

Le dernier de ces côtés dans le dernier de ces parallélogrammes est une tige A'B' qui demeure équipollente à AB, soit quand on fait

tourner les corps C, C , G", soit quand on déforme la chaîne des parallélogrammes articulés ; or, il est bien évident que par ces mouvements combinés on pourra, quelle que soit la position du segment AB et sans gêner son mouvement, amener le point A' en un point arbitraire de l'espace.

Lemmo IV. Soient Tj, Tj, ..., T,„ m tiges s'arliculant au point 0 sur m corps

Aj, A,, ..., A,„ que nous supposerons susceptibles de tourner autour de Oz. Les plans d'articulation passeront tous par Oz et nous désignerons respectivement par 9j, ç,, ..., z>„, les azimuts de ces plans et par 0i5 0^, ..., 0,„ les angles des tiges Tj, T,, ..., T^ avec Oz. Ces divers angles pourront être indépendants ou liés par certaines conditions physiquement réalisées, comme par exemple les tiges T {pp'Ac\i) dans le lemme II.

Je me propose de prouver que l'on peut réaliser par des systèmes articulés ce fait que la somme des projections des tiges T,, T,, .. ., ï,„ sur un axe, Vaxe Ox par exemple, soit nulle.

En effet, par l'emploi de systèmes articulés nous saurons guider une tige Tj équipollente à T, et dont l'origine soit sur un point fixe F [lemme III]. Nous saurons de même construire une tige Ti se joignant ponctuellement par son origine à l'extrémité de TJ et constamment équipollente à T,; puis une tige T^ équipollente à T3 et se joignant par son origine à l'extrémilé de T2 et ainsi de suite.

Nous arriverons finalement à une dernièie tige T^, équipollente à T„ et dont on désignera par P rextr('mité.

La droite FP représente la somme géométrique des segments Tj, Tg, ..., T„,; pour que sa projection sur Ox soit nulle, il faut et il suffit que le point P décrive le plan mené par F perpendiculairement k Ox. Or, c'est ce que l'on saura réaliser en articulant ponctuellement la tige T,'„ par le point P au point décrivant d'un planigraphe.

Le lemme est donc démontré.

Réalisation Ces divers Icmmes nous condufsont à une proposition générale qui

'^^ s'énonce dans les termes suivants :

toute liaison

algébrique Soient M,, M,, ..., M„ 7-i^points liés par une relation algéhrirjiie.

des points. ^'* P^^^ réaliser cette relation algébrique à Vaide d'un système arlicuh'.

Soient, en effet, a-,, y^, z,; x,, y,, z,; x^, y„ r^; ..., x„, y„, z„ les coordonnées rectangulaires des n points- la relation algébrique consi-

dérée se traduira par l'équation

f{Xv Vv "v ■'ï'î' Vi^ "î, •••, •-«», ?/„, 2„) = 0, où /"est un polynôme en x,, ij„ r,, ..., ./■„, »/„, z„.

Je me servirai de tiges T, T' comme dans les lemmes précédents. Ainsi M, sera l'extrémité d'une tige ï- articulée à l'extrémité d'iine tige T^ qui s'articule elle-même en 0 à un corps A^ libre de tourner autour de Oz et le plan d'articulation II.. contient à la fois l'axe Ov et les tiges T^, T;. Une tige Q,, figurant un prolongement du corps A^ dans le plan xOy, matérialise la trace du plan II,; sur ce plan; ç,- est l'angle de Q^ avec Ox; 0„ 6', les angles de T,., i; avec Oz; enfin si a„ a'i sont les longueurs des deux tiges, on a pour les coordonnées du point M,,