X- ■= (Ui sin 0; + a'i sin G,') cos cp

Ui = {'^i sin 0; + a'i sin 0,') sin s,-,

Zi = a,, cos 6j + a'i cos ô,'.

La relation algébrique prendra alors la forme

0= 2 A sin'"ô, ... sin""0„ sin^'Ol ... sin''"0; cos"0, ... cos'"^»

cos'"Oi ... cos''"e;, sin'î, ... sin'"^^ cos'''!p, ... cos'"9„.

Or, en faisant usage d'une transformation déjà utilisée dans le théorème de Kenipe, nous mettrons cette équation sous la forme

fîpâ ... p', l 7t 7^ ... 7„;

sin (ZpiOi+lp'id'i + X) cos (^7, 5, + 1^.),

ou pV P2 •••' Pn') ?15 f2j •••? .'"5 ^1»

OU négatifs et X, ;j. les quantités 0,

A^\ pi p2 ... p'n

L7, 72 ... 7„ [Xj

2 2 il est essentiellement positif.

„ sont des entiers positifs ; quant au coefficient

Nous allons maintenant considérer un plan IT passant par 0 j, plan qui sera lié invariablement à un corps A auxiliaire libre de tourner autour de cet axe.

Nous articulerons en 0 sur ce corps A et dans le plan IT, pris comme plan commun d'articulation, n tiges l^, A,, ..., A„, que nous assujettirons, par le procédé du lemme I^ à faire avec Oz les mêmes angles 6„0„...,0„ que T^T^, ..., T,.

Après avoir construit les parallélogrammes sur T,, Ti, T,, Ti, ... articulés respectivement dans les plans II,, IF,, ..., 1I„, ce qui nous donne les tiges ïï, 11, ..., TJJ équipollentes à Tl, Ta, ..., T,',, mais articulées en 0 aux corps A,, Aj, ..., A„ respectivement, nous pourrons guidei- dans le plan II n autres tiges Al, Aâ, ..., A,', articulées en 0 au corps A et faisant avec Oz les mêmes angles b[, Os, •••, 0,', que Tï, Ta, ..., T,' ou que Ti, Tô, ..., T,'..

Nous saurons alors, par le moyen d'un multiplicateur et addifeur

de Kempe, guider dans le plan II une tige 1^^ '"f ' ' ," ' 1 faisant avec 0: l'angle Ip^O, + 1 pi fil -{- A.

/Pl, p2, •••, Pn) A\

Considérons maintenant un corps A i pi, ps, ..., p', i mobile

autour de Taxe 0 7 et dont nous représenterons parQ | pi,pj, ,.., p,'„ 1

ySj, -j, ..., 7„, \J. /

un prolongement en forme de tige situé dans le plan des xy, en sorte que cette tige matérialise la trace sur le plan des xy d'un plan

/?!) Pî> •••' Pn5 'A

Jl 1 pi, Pj, ..., çi'„j ) lié invariablement au corps et passant par

/pu p2? •••5 ?n1 ^ \

0-; dans ce plan II I pi, pâ, ..., p,',, 1 articulons en 0 une tige

\7p ffj, ..., 7„, ;x/

/?!' ?2' •••> ?'" "^A /Pl' ?2' *••' ?"' ''\

T ( pi, ?;, .••, p», ) sur le corps A I pi, p;, ..., p,',, | ; on pourra,

en application du lemme f, relier cette lige avec la tige

(p,, P2, ..., p,„ A Pj, P2, ..., P„, "l5 ^2) •••> ^nJ I-''

de sorte que les in linaisons de ces tiges sur Oz demeurent égales. On pomra ensuite, par des additeju's et des multiplicateurs, relier

/Pn ?2' •••> P»y ^\ la lige Q pi, pl, ..., p,',, j aux ti-es Q,, <]„ ..., 0„ de façon

'u '2? ••• J '^«5 1^'/ qu'elle lasse avec Ox l'angle ::ji9i 4- p..

(Pn f2' •••? Pn' ^A Pn ?25 •••, P'n, ) fait avec Oz ^l^ ^î> ■••, -n, IV

l'angle 1 p, 0,- + Z pi 0,' 4- >., tandis que son azimut est égal à i p,9; 4- ;x.

/PlJ ?2' •", Pn, >^\

Si l'on donne à cette tige la longueur Aj I p[, p;, ..., p,;, j l'équa-

tion (E) exprime que la somme des projections de toutes ces tiges sur Ox est nulle.

On est alors conduit à appliquer le lemme IV. Par des arliculations on guidera un polygone articulé formé de tiges équipoUentes

/Pli ?25 •••? Pnj 'A

aux tiges T ( pj, p-, ,.., pi, j et l'origine F de la première tige de

Xffj, s^, ..., J„, [J./ ce polygone étant maintenue fixe, il sera nécessaire et suffisant que l'extrémité de la dernière décrive le plan normal à l'axe Ox mené par le point F, ce que l'on réalisera au moyen d'un planigraplie. Le théorème est démontré.

Cas Si la condition géométrique imposée à l'ensemble des points M^,

"^Vu^'iiZT ^^" '■■ ^^ traduit par plusieurs équations entre leurs coordonnées, chacune de ces équations se trouve représentée par un système articulé. II suffira de joindre ponctuellement entre eux ces divers systèmes aux points M„ M,, ... pour que ces points se trouvent être assujettis à la fois à l'ensemble des conditions exprimées par les équations proposées. Le théorème est donc acquis quel que soit le nombre des équations de condition.

Dosciiption Plusieurs cas particuliers de cette proposition sont dignes d'une

des surfaces mention spéciale.

t des courbes . , vi , • j,

algébriques ^' abord s il s agit d une condition unique imposée aux coordonnées

gauches. d'un seul point M, ce point décrit une surface algébrique, et l'on a alors ce théorème :

Tonte surface algébrique })eut être décrite 'par le moyen d'un système articulé.

Si l'on a deux équations algébriques entre les coordonnées d'un point unique, ce point décrit une courbe gauche algébrique. Donc :

Toute courbe gauche algébrique peut être décrite par le moyen d'un système articulé.

Ciné>natique. 20

Mouvements On peut se rendre compte aussi qu'il n'est point de mouvement algébriques, algébrique d'un corps qui ne puisse être réalisé au moyen de simples articulations.

Observons, en effet, que la position d'un corps solide est connue si l'on connaît celle de trois de ses points.

Une condition algébrique imposée au mouvement relatif de deux corps se traduira par une ou plusieurs relations algébriques entre les coordonnées de trois points liés à l'un et de trois points liés à l'autre. Donc, tout état de gène, représenté par des conditions algébriques, existant entre deux corps est réalisable par le moyen d'un système articulé.

De même, s'il s'agit d'un système de corps .■solides.

Les mêmes remarques s'étendent à des conditions plus abstraites.

Considérons deux points qui soient constamment conjugués par rapport à une surface du second degré. Il existera un système articulé qui réalisera cette relation.

Pareillement si la droite de jonction de deux points P, Q fait partie d'un complexe donné, algébrique, il y aura un système articulé qui assujettira le segment PQ à cette condition.

Les transformations géométriques algébriques sont dans le même cas. Il y a, par exemple, des systèmes articulés qui réalisent l'boniographie la plus générale. Nous avons eu occasion de donner à la page 264 un cas particulier, celui de l'bomothétie jointe à un déplacement (').

Il est clair que l'introduction de simples articulations ne peut fournir que des liaisons de nature algébrique, c'est-à-dire se traduisant par des quantités algébriques entre les lignes ou les lignes trigonométriques des angles des figures assujetties à ces liaisons. Des relations de nature transcendante ne sauraient être réalisées par leur moyen.

Mais il était permis de se demander si les systèmes articulés fournissent réellement le moyen d'établir toutes les liaisons algébriques concevables ou bien si les liaisons qu'ils permettent d'établir ne forment pas une classe particulière dans l'ensemble des liaisons algébriques.

(') Dans le Bv.lletiii des Sciencts mathématiques (novembre 1895), M. Delaunay a fait connaître un système articuli'- propre à réaliser la projection orthogonale.

Le raisonnement tiré du nombre suffisant des paramètres, que permet d'augmenter à volonté l'addition de nouveaux corps et de nouvelles articulations, ne saurait passer pour satisfaisant. Dans l'article des Nouvelles Antiales, où M. le général Paucellier a publié sa belle découverte do l'appareil à ligne droite, l'auteur fait remarquer que le nombre des paramètres dont on dispose dans un système articulé plan peut être aussi grand que l'on veut, pourvu que l'on complique suffisamment le système, et il en déduit que l'on pourra toujours, grâce à ce nombre indéterminé de paramètres, faire en sorte qu'un point du système décrive un arc de courbe algébrique donné a priori.

Cette remarque rend probable le théorème, mais elle laisse subsister ce doute que les courbes qui naissent du mouvement d'un système articulé sont peut-être marquées d'un caractère particulier.

Il n'en est rien, c'est vrai, mais la démonstration de Kempe était nécessaire pour le mettre hors de doute. Ainsi en est-il des théo. rèmes plus généraux que nous venons de démontrer.

Pour finir, une réflexion concernant les systèmes articulés. L'intérêt qui s'attache à leur étude n'est point justifiable a priori. Des avantages de précision, de facilité de construction, de légèreté, de mobilité en ont rendu l'emploi précieux aux praticiens. Leur usage dans les machines est indispensable; on les rencontre dans les mécanismes les plus primitifs, comme aussi dans les plus modernes; aussi est-il permis de prédire à leur théorie un développement incessant. Jusqu'à ce jour, on ne peut dire qu'elle ait été poussée très loin, malgré les travaux si ingénieux de Tchebicheff et de tant d'autres géomètres. Les principes généraux de la théorie des systèmes articulés n'ont pas encore été éclaircis et on est réduit à un ensemble de recherches isolées et de résultats curieux sans liens apparents entre eux. C'est une raison de plus pour engager les géomètres à éclairer cette question encore obscure; les progrès de la science se font parfois par les côtés les plus inattendus.