lini, — hm^} {x — x,) {x — x

(39) { 4- Wj (?3>Mj — ijîHj) {x — 0:3) {x — x^)

P ='-Pi ih^^h — h "h) (^ — ^ï) (« — ^3) 4- p, (Zj»?, — l^ms) (x — x^) (x — Xj)

+ Pi (^»"2 — ^»'i) G'« — a^i) (3? — -V;

Les points dune droite décrivent les plans tangents d'un cylindre parabolique.

Ces formules montrent que lorsque le point x varie sur l'axe Ox, le plan qu'il décrit change, mais reste tangent à un cylindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à l'axe OZ.

Nous avons donc le théorème suivant :

«Si trois points A, A', A' d'une même droite décrivent trois plans formant un prisme, tout point M de la même droite décrit n)i plan parallèle aux arêtes de ce prisn^e. Lorsque le point M change sur la droite, le plan qu'il. décrit change en oiveloppant un cylindre parabolique qui est }}aturelleme)it tangent attas trots faces du pHsme.

Il pourrait arriver que les trois plans II, II', II' non seulement fussent parallèles à une même droite, mais fissent partie d'un même faisceau. Alors les principes les plus élémentaires de la théorie du rapport anharmonique rendent évident ce fait que tout point de la droite A A' A" décrit un plan de ce même faisceau.

Cas général où 15. Examinons maintenant le cas où quatre points décrivent

quatre points quatre plans formant un tétraèdre. Si l'on désigne gènériquement

décrivent ^^^ ^,^^ ^^^ .^ j^g coordonnées de l'un des points et par ?,, >»,, n^, p;

''"forma^ilr^ les coefficients de l'équation du plan qu'il décrit, on devra avoir

un tétraèdre, quatre identités de la forme ' .

! P,. =: l. (a + ax, + a'î/i + /r,) + »;,• (6 + ^x^ + ^'y^ + ^'z^)

(40) + >ii (c + yXi + y'!/, + ï'^.) + Pi = ^ [ (i = l,2,3,4).

En éliminant a, b, c entre ces quatre équations, il restera une équation linéaire entre les neuf cosinus, c'est-à-dire une relation quadratique entre les paramètres a, tx, v, p d'Olinde Rodrigue.'?.

Soit

cette relation quadratique.

Les équations (40) fourniront en même temps pour a, b, c des expressions linéaires en x, x, x% p, p', ^\ y, yS yS c'est-à-dire des fonctions homogènes et du second degré en X, [a, v, p

Dès lors, les formules qui représentent le mouvement s'écriront

[ T = <I>, = )x' 4- iJ.' -H v' + OÙ *„ tl>j, 4I3, *« sont des fonctions homogènes et du second degré

de X, [j., V, p. Seulement ces paramètres X, ;/, v, p se trouvent liés par l'équation

On doit observer que ce mouvement est unicursal. En effet, l'équation 6^=0 représente en coordonnées homog-ènes X, [x, v, p une quadrique pour laquelle les coordonnées d'un point courant sont exprimables sous forme de fonctions homogènes et du second degré de trois paramètres u, V, IV. On reconnaîtra aisément que les courbes qui représentent sur le plan les seclions planes de la surface, quand on emploie les paramètres «, i', w, sont des courbes du quatrième ordre ayant deux points doubles en commun et ne se coupent dès lors qu'en huit points variables.

Les surfaces décrites sont donc du huitième degré. Si l'on fait varier X, \j., v, p de manière à se déplacer sur une droite de la quadrique 0 =: 0, X, [j., v, p sont des fonctions linéaires d'un paramètre; les coordonnées absolues X, Y, Z, T du point décrivant sont des fonctions du second degré d'un paramètre et l'on voit ainsi qu'aux génératrices rectilignes de la quadrique 0 = 0 il correspond deux familles de coniques tracées sur la surface du huitième ordre (*). Cas de Tout ceci est dit dans le cas où la relation 0 = 0 entre les cosinus

écomposition. ne se décompose pas. Si cela avait lieu, si 0 était égal au produit de deux fonctions linéaires en X, [j-, v, p

il y aurait évidemment deux mouvements à surfaces de Steiner (no 6) qui satisferaient aux conditions imposées. Dans chacun d'eux il y a six autres points (du moins en général) qui décrivent des plans. Retour H est intéressant de se rendre compté si quelque chose d'analogue

a cas général, peut se produire, même dans le cas où l'équation 0 = 0 ne se décompose pas, et si, dans ce cas encore, le fait que quatre points décrivent des plans entraîne la même chose pour un cinquième.

Soient a?, y, z les coordonnées de ce cinquième point et l, 7n, n, p les coefficients de l'équation du plan qu'il décrit.

L'équation de condition

P =z l {a -i- ax -^- a' y -m'z) -+- »i (6 + ^as -4- P' y -i- ^'z) -i- n(c-{- yx + y'y + y'z) + p=0

doit être une conséquence des quatre équations (40). Comme nous nous

(1) Voir ma note aux Comj)tes rendus en 1881. Plus récemment, M. Kœnigs a étudié ces surfaces dans le&Ântuiks scientifiques de l'Érole normale supérietire.

plaçons hors du cas de décomposition, on verra, comme au n^ 14, qu'il doit exister entre les P^ et P une identité de la forme

Cette identité se décompose dans les relations

m = l^ifUij

n= lOiiii,

xl = l^iXili,

xm = ZfiiXjmi,

xn = l^iXiHi,

yl = Zfi,yili,

y m =z Zfiiyi)i)i,

yn = l^iy-Hi,

zl=lfi,zj„

zm = ZdiZ.mi,

zn z=z ZOiZiUi.

Ces treize équations expriment que le système d'équations en «., u„ w,, u.

x^U^ + a?jM, 4- X^u^ -+■ X^U^ = xu, î/i"i + !/îMj + J/3M3 + y^u^ = yu,

Zll,

admet trois systèmes de solutions

Ces trois systèmes de solutions sont linéairement indépendants, sans quoi les cinq plans considérés sont parallèles à une même droite, cas que nous écartons tout d'abord. Il faudra donc que le système des équations (45) se réduise seulement à deux et que tous les déterminants à trois lignes et à trois colonnes tirés de la matrice

soient nuls. Cela équivaut à dire que les quatre points (x^, y^, z,) et le f»oint (ce, y, z) sont sur une même droite.

Nous pourrons supposer que l'axe Ox est cette droite. Les î/,, z,sont nuls ainsi que y et z, ce qui réduit aux deux premières le système des équations (45).

Alors, par un calcul entièrement analogue à celui du numéro précédent, et en désignant par \^ le déterminant Z ± lim^n^ et par A,, A3, A, les quatre déterminants analogues, on trouve que le point M d'abcisse égale à x sur l'axe Ox décrit un plan qui a pour équa-

tion

(47) \{l.X-i- mj -4- nj. + p,) -A- = 0.

■^ X ~ Xi

Quand le point M varie sur l'axe Occ, le plan qu'il décrit change en restant tangent à une développable parabolique de la troisième classe, ainsi que le prouve l'équation (47) qui donne la représentation de ce plan en fonction du paramètre variable x.

Ainsi, si quatre points A, A', A", A'" en ligne droite, décrivent quatre plans II, II', H", II'" formant un tétraèdre, tout autre point M de cette droite décrit un cinquième plan. Si le point M vient à changer sur la droite, le plan qu'il décrit change, mais en restant tangent à une surface développable de la troisième classe, parabolique.

Mais il faut bien se rendre compte que, dans ce mouvement, les points A, A', A", A'", ..., M ne décrivent plus la totalité des plans II, IV, ..., ils décrivoit des coniques dans ces plans.

La chose est bien différente, comme on voit, de celle qui se présente dans le mouvement à surface de Steiner où la totalité du plan (aux imaginaires près) se trouve décrite.

La démonstration directe de cette proposition peut être simplifiée par la remarque suivante. On a vu au n» 98, page 297, que si trois points en ligne droite A, A', A" décrivent les faces d'un trièdre, tout autre point M de la droite décrit un ellipsoïde. Si donc le point M se trouve, par surcroît, devoir rester dans un plan, il décrit forcément l'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde et du plan.

On observera que tous nos raisonnements supposent simplement que l'élimination de a, b, c entre les équations (40) n'a donné qu'une seule équation 0 =: 0 entre les cosinus. Or, cette supposition subsistera tant que l'un des déterminants à 9 termes tirés du tableau

7>lj

sera différent de zéro, c'est-à-dire tant que trois au moins des quatre plans n, ir, n', n'" formeront un vrai trièdre.

îasoùles 16. Il nous reste donc à examiner le cas où les quatre plans

latre plans jy, H', II", W" forment un prisme. n ' n " n '"

forment ^'^ pourra alors supposer que ces plans sont tous parallèles à OZ,

n prisme. ^*^ 'l*^' donnera

Cinématique. 35

Les équations (40) s'écrivent

/ p. = li(a + aXi + a'*/; + a"z;) + m^ {b + ^x^ -h ^'y^ 4- (5"r,)

(48) ' ^ i'i = 0 ( (iz^l,2,3,4) •

l'équation (43) qui exprime que le point x, y, z décrit le plan (Z, m, n, 2J) devant être une conséquence des équations (48), on voit que la variable c ne doit pas y figurer; n est donc nul et le plan décrit par le point (x, y, z) est lui aussi parallèle à OZ. L'équation (43) s'écrit alors

(49) Pr=: i(a + ax + a'y + a"-) + m {h + ^jx 4- 13' y + ^"z) + 2^ = 0.

En éliminant a, h entre les é([uations (48), on obtiendra deux équations linéaires entre les cosinus

en portant alors les valeurs de a, h, tirées de deux des équations (48), dans l'équation (49) on obtiendra une relation linéaire entre les cosinus, que je représente par

Si l'on fait encore abstraction du cas où il y aurait décomposition, cas qui donnerait encore une relation linéaire entre X, \)., v, p et conduirait à un mouvement à surfaces de Steiner, il faudra que W soit une combinaison linéaire de 6 et de H, en sorte qu'en définitive il existera encore une relation identique de la forme

comme précédemment, équation (44).

L'équation (51) se décompose encore dans les suivantes :

l = 10 -l-, m = lOimi, p=zlOiPi,

xl = Z^iXili, xm = 20iXimi,

yl=z-L()iyi li, ym z=10i Vi m^,

zl = li)iZiliy zm r=l(iiZimi.

Ces relations expriment que le système d'équations déjà formé (45) admet les deux systèmes de solutions indépendantes

( {(hh> ^hh ^3^3, 0,?„ 60,

^^^ ( i^h'^'v f^2'"2» ^3»"3» ^K^i, OW).

Il faudra donc que tous les déterminants à quatre lignes et à

NOTES DE M. DARROUX.

quatre colonnes tirés du tableau déjà considéré 1111 1

soient nuls.

Cela revient à dire que les points A, A', A", A'" sont dans un même plan.

On peut alors supposer que ce plan soit justement le plan xOij; on aura alors z^^= z^-=:zz^=: z^=l z = 0^ ei les relations précédentes se réduisent à

xm = l^^iXiiTii,

, xm =z SôfCCim^,

On peut remplacer ces équations par les suivantes :

10, {x — X) l, = 0, Idi (x — xi) m, = 0, ^0, (y - 7/,) /, = 0, 10, {y - y,) m, = 0, (55) l = 10ili, m = 10imi, p=zlOiP,.

Les quatre premières équations sont surabondantes pour déterminer les valeurs des 0,; en exprimant leur compatibililé, on trouve qu'il faut avoir

>Hi(x- — Xj) m^(x — x^) m^{x — x^) m^{x — x^)

hiu-Vi) h(y~y,) h(y-y,) h{y-y,)

m^iy — y^) m,(y — y^) m,{y — y,) ,a,{y~y^)

Cette équation est du second degré en x, y, elle représente une conique G sur laquelle doit se trouver le point M. Les équations (54) donnent alors les valeurs des 0, en fonction des coordonnées x, y du point M et en portant ces valeurs dans les équations (55) on aura les expressions l, m, p des coefficients du plan décrit par M.

On peut se rendre compte que ce plan enveloppe lui-même un cylindre parabolique de la troisième classe.

Si, en effet, on élimine x, y entre les équations (53) on trouve les cinq équations suivantes :

l = 10ih, >n = 10imi, p=zl0ip,y 0 = 10iXi{hiJ — l,m), O=10,u,(>»,l^1,tn),

d'où, en éliminant les 0,

x^ {m^l — l^m) y^ (mj— J^m) l^

x^{mj — l^m) Viii^iJ— h>^i) h 0 0 l

Pi

Wj

Pi

Ps

Cas où Un même plan

est décrit par plusieurs

points.

Cas où une

droite balaie

un plan et où

tous les points

d'une autre

décrivent des

plans.

Cas

où deux droites

balaient des

plans.

équation du troisième ordre en ?, m, p qui est vérifiée par l = 0, m = 0.

Ainsi, lorsque quatre points A, A', A", A'" pris dans un même plan décrivent quatre plans U, II', II', IV" parallèles à une même droite et formant un prisme, tous les points d'une certaine conique G passant par les points A, A', A", M" possèdent la inême propriété. Tous les plans décrits par les divers points de cette conique enveloppent un cylindre parabolique de la troisième classe.

A rencontre de ce qui a lieu au n^ d6, chaque point de la conique G décrit la totalité du plan.

17. Les raisonnements qui précèdent supposent essentiellement qu'un même plan ne se trouve pas décrit par plusieurs points de la figure.

Si cela a lieu pour trois points non en ligne droite, on est dans le cas où un plan de la figure glisse sur lui-même.

Si cela a lieu pour deux points d'une droite, il en est de même pour tous les points de la droite.

Supposons qu'une droite D de la figure balaie un plan II et qu'en outre un point A^ décrive un plan 1I^ non parallèle au premier. II n'arrivera jamais qu'un second point M, pris en dehors de la droite D, décrive aussi un plan comme conséquence des conditions précédentes.

Si le plan IIj est parallèle au plan H, un plan de la figure glisse sur le plan II.

Supposons maintenant qu'une droite D balaie encore un plan Q et que deux autres points Aj, A, décrivent des plans II,, II, formant un prisme avec le plan II. Si la droite A, \^ coupe la droite D, tout point de la droite A,Aj décrit un plan, et l'ensemble do ces plans enveloppe un cylindre parabolique du second degré.

Il y a enfin un cas où deux droites D, D' du corps balaient deux plans II, II', non parallèles. (Si n, II' étaient parallèles, un plan de la figure mobile glisserait sur chacun d'eux).

Prenons pour axe 0^ la perpendiculaire commune aux droites D, D' et en choisissant convenablement les deux autres axes Ox, Oy, amenons D, D' à être représentées par des équations de la forme

y=.— qx, y = qx.

Prenons pour ZOX, ZOY les plans bissecteurs des plans n, n'. Ces plans auront pour équation respectivement

(59) X + kY = 0, X — kY = 0.

Si on exprime que la droite D décrit le plan II et la droite D' le plan n'jon est conduit très aisément aux équations qui définissent ce mouvement,

a-hhk'^" = 0, kh+hoi." = 0, a — feq[^'~0, qa' — k^=0.

En dehors des cas où les relations entre les cosinus se décomposent, il n'y a pas de points autres que ceux des droites D, D' qui décrivent des plans.

Nous nous arrêterons à ces indications qui montrent combien il y aurait intérêt à étudier à fond les mouvements algébriques et quelles ressources offrent pour cette étude les paramètres d'Euler et d'Olinde Rodrigues.