yv des expressions ci-dessus, et on aura simplement

A = (c — 6) ;av 4- p (X' 4- [j.* 4- v«) 4- p' (aX' 4- 6[^.' 4- cv'), B = (a — c) vX + g (X* 4- [j.* 4- v') 4- g' (aX* 4- &:a* 4- cv'), G = (6 — a)X;x 4- r {V + i^' + v*) + r' (aX' + fe;j.» 4- cv').

374 LECjONS DE CINÉMATIQUE.

On peut simplifier encore davantage en observant que si l'on efTectue un transport des axes fixes, ce qui revient à changer X — pT, Y — ^T, Z — vT en X, Y, Z, on fait disparaître les seconds termes.

On a donc finalement

A = (c — h) [j,v + p' (a A* + b[j.* 4- cv'), B = (a— c) vX + g' (aX* + b[j.* + cv*), G = (b— a) X[;. + r' (aX* + 6;j.^ + c/).

Les équations (21) (22) deviennent alors,

Bv — GîJ. == P' (aX* -+-&[;,'' + cv*) = 0,

GX — Av == Q' (aX* + bi^* + cv*) = 0,

Aîj,— BX =: B' (aX* + &iJt* + cv*) = 0,

En dehors des quatre solutions qui correspondent à aX* + &tj.* + cv* = 0 il n'y en a pas d'autres ; car les équations

ne sont pas compatibles, leur déterminant 4 + p'* + g'* + )*'* étant différent de zéro, quand il s'agit d'un mouvement réel.

Les quatre solutions qui sont les seules existantes sont données par les formules ' ; i

et si (X', \jJ , v') est l'une d'elles, les trois autres seront

(-X', + /, + v') . (+X',-i.', + v') (+X', + ix',-v').'

Les quatre plans isotropes correspondants dont les points décrivent des surfaces du troisième degré seront définis par les équations

/ X' [jJ v' + 2X' X + 2ij.' y + 2v' z = 0,

\ — X'iJ.'v' — 2X'.T + 2[jl'i/ + 2v'.- = 0, ■

^^^ ^ — X'iJ.'v' -t-2X'a; — 2[;.S/ + 2v'c = 0,

\ — X' [j,' v' + 2X' X + '2ix'y — 2^'z = 0.

Bs forment un tétraèdre dont les sommets décrivent des plans. Les points des arêtes décrivent des quadriques. B convient d'observer que deux seulement de ces arêtes sont réelles.

B y a sur chaque arête un point qui décrit un plan. Cela nous fait six points de plus qui décrivent des plans et, par suite, en tout dix points, comme dans le cas général des mouvements à surfaces de Steiner.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ce point de détail.

Remarque sur 11. Pour terminer ce qui a trait aux mouvements généraux dans le mouvement lesquels les surfaces trajectoires sont des surfaces de Steiner, nous ^ . ^ ferons remarquer que, si l'on assujettit un des points du corps à décrire sur sa surface de Steiner une courbe unicursale du quatrième ordre, cela revient à prendre pour a, [x, v des polynômes du second degré d'un paramètre arbitraire u, ou encore à assujettir X, [j., v à une équation du second degré de la forme

Q (a, ,x, v) = a a'' + a' ;j.' + a'v' + 93;xv + 2;^' jxv + 2P"X;a = 0.

II est très aisé de se rendre compte que, dans ce cas, il existe une infinité de points qui décrivent une courbe plane sur leur surface de Steiner.

On a, en effet, dans ce cas général, et conformément aux équations (8), où l'on fait t ^ 1,

+ 2bjij.v + 2 (?>1 + z) vX 4- 2 (&^ + y) X;j.,

X = {a,- y) V + (a; + //) ij} + {al - y) v^

+ 2 {h\ + z) ixv -I- 2?>:vX + 2 (6; + x) X-x,

z =r (aj — 2) X^ + (a,; — c) ^} + {al + z) v«

+ 2 (&3 + y) ;j.v + 2 (bg + x) vX + ^ih^k'^.,

Si donc la forme quadratique l\ + mY4- nZ+pT se trouve identique à Q, le point (ce, i/, c, t) décrira une courbe contenue dans le plan ÏX + wY + ... =: 0. Or, pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que les déterminants à 5 colonnes compris dans la matrice

tti + x

al — y

al + z

soient nuls. Gela a lieu pour tous les points {x, y, z) situés sur une certaine courbe du sixième ordre. Cette courbe passe par les dix points qui décrivent des plans

Sur les mouvements dans lesquels certains points du corps décrivent des plans ou des courbes planes.

12. Les développements qui précèdent ont manifesté l'intérêt qui s'attache à la recherche des conditions dans lesquelles un nombre

fini ou infini de points du corps décrivent des plans ou des courbes planes.

Je terminerai celte étude en reproduisant les indications que j'ai

données autrefois sur ce problème, dans mon enseignement à la

Faculté des sciences, en 1881.

Examen du cas Supposons, par exemple, que l'on assujettisse un certain nombre

où deux points Je points à décrire des plans; il pourra se faire que, par le fait môme,

décrivent d'autres points décrivent également des plans.

Examinons, par exemple, le cas de deux points A, A' qui décrivent deux plans II, II'. On peut supposer que A est l'origine du trièdre mobile et A' un point de l'axe 0 a?. On peut prendre le plan II pour le plan Z ^ 0, tandis que II', s'il n'est pas parallèle au plan II, sera pris passant par l'axe OX, de sorte que Y + AZ = 0 sera son équation.

Soient alors

' X = a + 7.x + cl' y + a"c,

(26) Y =: b + ftj^ 4- ^'y + 3"c, ( Z = c + Y^ + t'^ + t"^»

les équations qui représentent le mouvement.

Dire que le point A décrit le plan II, c'est dire que l'on a

et comme les coordonnées absolues du point A' sont

où h est V X du point A', l'équation

b + /i,3 + /c (c + /iy) = 0

exprime que le point A' décrit le plan II'. Ces équations s'écrivent encore

(27) h = — hi^ + fev), c = 0.

Si, en vertu de ces conditions, un troisième point x, y, : doit décrire le plan LX + m Y -f- nZ + js = 0, il faut que l'équation de condition

(28) ? (a + ace 4- a'y + a'O + "» (^ + ^x + ^' y + ^' z)

+ n{c -h yx + y' y -t- v"r) -^ p = 0

résulte des équations (27) ou qu'elle devienne une identité lorsque l'on y remplace h, c par leurs valeurs (27). Or, on trouve ainsi l'équation

la + l {xx + a' y + a"r) + m [(x - h) p + x' y + ^" :]

— mhky + n {^x -+- y' yy'z) + p =0.

Pour que cette équation n'établisse aucune relation nouvelle entre a et les cosinus {x, y, z ne pouvant être nuls, sans quoi le nouveau point coïnciderait avec A, ni être égaux à h, 0, 0, sans quoi il coïnciderait avec A'), il faudrait avoir l = 7n = n = p = 0, solution inacceptable.

Le problème ne comporte donc pas de solution si les plans FT, n' ne sont pas parallèles.

Par contre, si II et II' sont parallèles, il est clair que tout autre point de la droite A A' décrit un plan parallèle aux précédents.

xamcnducas 13. Examinons de même le cas où trois points A, A', A' décri- 11 trois points ygj^j l^^^jg plans jf^ Ji'^ H". On pourra supposer que ces trois points

, . ^ sont dans le plan r = 0, en sorte que leurs coordonnées seront

•lans formant t ' i

untrièclre. (^^i» î/n 0) (Xj, T/^, 0) (a^s, t/g, 0). Soient /jX + m, Y -h «iZ + p = 0, ?,X + w,Y + )i,Z -h p^=z 0, ZjX + mjY + n/l + p, = 0, les équations des trois plans II, 11', II", que nous supposerons d'abord former un trièdre. Il est aisé de se rendre compte que, dans cette hypothèse, il n'arrivera jamais qu'un quatrième point décrira un plan, comme conséquence de ce que A, A' A' décrivent les plans

II, ir, II".

En effet, les équations qui expriment ces dernières conditions s'écrivent

/ Pj = /j (a -t- aa-i + a' y,) -h m^ib + (3a-, + Ç^'y^)

[ +«i(c + Y^i +t'Vi) +Pi = 0,

P, = /, (a + XX, + a'î/,) + m, (b + px, + ^'y,)

+ n, (c + Y^j + v'i/^) + p^ = 0, P, = l^{a -h xx^ 4- a' 1/3) + mg (6 4- pa;, + P' j/J

+ »Î3 (c + yaîs + ï'j/s + i^s = 0-

Supposons que, comme conséquence de ces équations, l'équation

^ M + n(b4-Ya; + Y'j/-H Y''-) + i'=0,

qui exprime que le point {x, y, z) décrit le plan LX + m Y + 7iZ + p :^ 0, se trouve vérifiée.

Comme le déterminant ^ ± l^m^n^ n'est pas nul, puisque les plans II, ir, n" forment un vrai trièdre, on pourra tirer a, &, c des équations (29) et, en portant ces valeurs dans l'équation (30), il restera une relation linéaire entre a, a', a", 13, (î', ^" , y, y', y", qui devra être une identité.

Gela exigera que les coefficients de a, a', ... dans cotte relation i;len-

tique soient tous nuls. On a donc entre Pj, Pg, Pj une relation identique de la forme

où 61, O2, 0, sont des constantes dont aucune n'est nulle; sans quoi, si 63, par exemple, était nul, l'équation P = 0 résulterait des équations P^ = 0, Pg = 0, ce qui ne se peut puisque, les plans li, II', H" formant un trièdre, les plans II, II' ne peuvent être parallèles.

Nous sommes donc amenés à discuter l'identité (31).

Cette identité se décompose dans les équations suivantes :

(32) I 6jWfj + 62 m^ + ôgîJïj = m, [ Oi^i -f O^n^ + 63^3 =:n,

, I Oi^i./, -hO^x^.l^ +030:3/3 =lx,

(32)' , \ ^^x^ . Wj 4- OgOJg . m^ + (^^x^m^ = mx,

'.V . ( 0^x^.n^ +%x^.n^ + O^x^n^ =nx,

(32)" 9i?yiW, + 031/2^^2 + Ô3 1/3 m3 = m?/,

( Oi^iMi + Ojt/^H^ -^ G3î/3?r3 =mj,

(32)'" j Q = mz,

( 0 = nz,

(32)iv 0,^1 + 62^2 + 03P3 = p.

Les équations (32)'" entraînent la relation z = 0, car l'hypothèse l = m 1=.' n = 0 est inacceptable.

Les équatioiis (32) (32)' (32)' prouvent que les équations homogènes en Mp u^^ W3, M

Il^n^ + l^n,^ -\- l^Ug = lu, ' «îjMj + m^u^ + ^^'a^a = mu, n^^l^ + 7i^u^ -h 7i^u^ ■=nu,

admettent les trois systèmes de solutions ■

(Oi, O2, O3, 1) (OiOîi, O^Xg, OgCCg, x) (0,?/i O^t/,, 03?/3, 1/).

Deux au moins de ces systèmes de solutions sont distincts, car il faudrait sans cela que l'on eût à la fois

^1 — — ^2 — - "^3 —— ^} Vi —— Vf ^^— y 3 ~~ y j

tous les points coïncideraient.

Le système linéaire (33) est donc indéterminé et les déterminants à 9 termes compris dans la matrice

sont nuls, ce qui est impossible, puisque les plans II, II' , II" forment un vrai trièdre.

Ainsi : jamais la condition que trois points A, A' , A' décrivent les faces d'un trièdre n' entraînera le fait d'un quatrième point décrivant lui aussi im plan. ; :

ïamenducas 14. Supposons donc que les plans FI, FI', U" soient parallèles à

i trois points yjjQ même droite; on peut supposer que ce soit la droite OZ et alors

décrivont ^

trois plans 1 2 j ...

parallèles à Les équations (29) deviennent ' ...

une mémo , , , , , i \ ' /n m \ /-v

droite. Mi« + Wi?' + ^1 («a^i + a'î/i) + Wj (P.T, + ^'tj,) + ^, = 0,,

(34) l^a + m^h + /, (ccx^-h a'y^) + m^ {^x^ + ^'y^) + P^^O,-

L'équation qui exprime que le point (ce, y, z) décrit le plan

(If m, n, p). "~ L- - " .-• •'-' ■ • '•' '■■ ^- ■ i-^"--«- .-';

la + mh + ne + l (ax + a' y + a'z) + 7n{^x + (3't/ + ^"z)

( +7l(.yx4-y'y-hy''z)+p = 0,

doit être une conséquence des équations (34). Gomme on écarte le cas déjà traité où les trois plans seraient parallèles, l'un au moinsides déterminants /g r>? 3 — m,^!^, l^m^ — w^ij, l^m^ -^ ^^ih ^st difTérent de zéro, et deux au moins des équations (34) forment un système résoluble par rapport à a, h.

En portant ces valeurs dans la troisième équation on trouvera

{ + (l^m, — l,m^) [l, (ax, + x'y,) + m, {^x^ + g't/,) + p,] = 0.

tandis que l'équation (35) se réduira à une relation entre e et les cosinus. Or, cette relation devant être une conséquence de (36), la quantité c ne saurait y figurer; elle no doit pas figurer non plus dans l'éqUation (35) et, par suite, l'on a n = 0.

Le plan décrit par le point {x, y, z) est donc parallèle à OZ, comme les trois plans ,11, Il ', ir. . . . : .

Par la substitution des expressions de a, h dans l'équation (35), celle-ci devient donc une relation linéaire entre les cosinus directeurs qui doit être une conséquence de l'équation (36). Il ne faudrait pas se hâter d'en conclure que ces deux relations linéaires entre les cosinus directeurs doivent être proportionnelles ternie à terme. Si, en effet, on exprime dans (36) les cosinus directeurs en fonction des paramètres A, ;j,, V, p d'Olinde Rodrigues, le premier membre de cette équation prend la forme d'une fraction dont a' -+- [j.- + v' + p- est le dénominateur et dont le numérateur est une forme quadratique en X, ;j., V, p.

Si celte forme quadratique est décomposable en un produit de deux facteurs linéaires, l'équation (36) se trouvera décomposée, et il suffit que l'un de ces facteurs divise l'équation linéaire entre les cosinus qui résulte de (35) (les cosinus étant encore exprimés en \, [>., v, p) pour que l'équation (35) soit une conséquence de (36).

Si l'on fait abstraction de ce cas de décomposition, alors les deux équations linéaires sont bien proportionnelles terme à terme, et en conservant les notations du numéro précédent en aura encore une identité de la forme

P = 0,Pj + G,P, + O3P3,

seulement on a maintenant Wj = n^ =in^:=.n =z 0, en sorte que les équations (32) et suivantes se réduisent à

i fi^l^x^ + Ôj^oCj +03^3X3 = Ix, ^ ^ l H^m^x^ + ejWjXj + 03*^30:3 =mx,

équations qui expriment que le système linéaire en «j, w„ w,, ti,

/.,Wj -+- /jMî + ?3«3 = ">

wî-jt*! -t- ?WjWj -h m^u^ = u

admet les trois systèmes de solution

(0„0„e3, 1) (OiXi, e,a?„ 63X3, x) (Ojî/j, 0,t/„63y3, y).

Ces trois systèmes ne sauraient être linéairement indépendants, car les déterminants /;>»;. — /^J»; ne sont pas tous nuls; on a donc

quatre relations de la forme

6, {KX^ + [j.?/, + v) = 0, 6j (Xx, + j;,î/, 4- v) = 0, O3 (Xac, + sj.1/3 + v) = 0, A- 03 4- [;.J/ + V = 0.

Aucun des 0^ n'est nul, car si l'on avait O3 = 0, les équations Pj = Pj = 0 entraîneraient P = 0 et l'on serait dans le cas que nous avons étudié au numéro 13. Aucun des 6; n'étant nul, on voit que les équations ci-de.^sus expriment que les points A, A', A' et le point (j-, y, z) sont sur une même droite du plan z =0.

Il est toujours permis de supposer que cette droite est l'axe Oo;, ce qui réduit à zéro y^, y^, t/3, y.

Le système des équalions (37) et suivantes se réduit alors au suivant :

( (iJi +0,1, -h%l, =1,

\ OlPt -«- %P2 + ^3^3 = P,

' ( 0,mjCc, ■+• Oj^jOjj 4- fi^ni^x^ = mx.

La première des équations (38), jointe à la première des équations (38)' permet d'éliminer l; on élimine de même m entre la seconde équation (38) et la deuxième équation (38)'. On trouve ainsi les deux équations suivantes :

0 Ji (x — x^) 4- % l, (x — X,) + O3 /3 (x — X,) = 0,

B^m^ (x — a;,) -h (i^m, {x — x,) 4- O^/Wj (x — x^) = 0,

d'où l'on tire pour 6,, Oj, O3 les valeurs proportionnelles à

(i,m3 — /3m,) (js — x-,) (ce — a?,),

(^3'"i — ^»h) (x — X3) {^ — a?,), (/jW?j — ^jW>j) (ce — a^i) (x — £c,).

En transportant ces valeurs de 0,, Oj, 0, dans les équations (38) on

obtiendra les expressions de l, m, p en fonction de x,

+ h ih^^h — h^^h) (« — ^3) i^ — ^1)