Déformation homogène; ses six composantes

Une déformation quelconque étant définie par les six fonctions s., y^, la déformation la plus simple est celle pour laquelle ces six fonctions sont des constantes non toutes nulles; on l'appelle déformation homogène; les valeurs constantes des six fonctions e,, y^ se nomment ses composantes.

Les six fonctions A,-, B; qui figurent dans la formule (11) étant des constantes, il en résulte que cc^, ^j, Zj sont des fonctions enlières et linéaires de ce, y, z. La déformation homogène est donc définie par les formules

( Xi = a,o + (1 + a,i) X + a,, y + a^^z, (14) < î/j = a,, + a^i-x + (1 + a^,) y + a,^z,

\ ^1 = «30 + «31=» + (tsiU + (1 + «33) 2>

OÙ les coefficients a^j désignent des constantes telles que les valeurs constantes des fonctions s,, y, ne soieiit pas toutes nulles, et dont les seconds membres sont dos fonctions linéaires indépendantes. Posons

et définissons trois angles ai, «2, «3, compris entre 0 et tc, par la formule

(lo) COS iXi = —zn — =r = — ' j

\^kyk, Kl-f-2£, Kl-i-2£,

OÙ 7, J, k désigne une permutation des nombres 1, 2, 3,

W^dx ■=■]/ \ + 2£i dx est l'arc élémentaire de la courbe d'intersection des surfaces y = const., z = const.; de même, H^di/ z=lV \ + 2ej dy est l'arc élémentaire de la courbe d'intersection

des surfaces z = const,, y = const.; U^dz = |/ 1 -h 2z^dz est l'arc élémentaire de la courbe d'intersection des surfaces x = const., y = const. De plus, «j est l'angle sous lequel se coupent les arcs élémentaires U^dy et H^dz; a^ est l'angle des arcs élémentaires H^dz et Hjdx; aj est l'angle des arcs élémentaires B^dx et lï^dy.

L'arc élémentaire H^dx du second espace correspond à l'arc élémentaire dx du premier; par conséquent, dans le cas de la déformation homogène où les H,-, a,- sont des constantes, un segment de droite parallèle à Ox subissant un allongement qui ne dépend que de sa longueur, et non de son origine, nous pouvons parler de l'accroissement de l'unité de longueur prise parallèlement à Ox, c'est-à-dire de la dilatation linéaire suivant la direction Ox; elle a pour valeur :

H,-l= Kl +2£, -1.

Les dilatatio7is linéaires suivant les directions Oy et 0- sont de même :

H,- 1= Kl + 2£, -1,

Pareillement, un angle droit dont les côtés sont parallèles kOy, Oz devient a^ et cela, quel que soit son sommet; un angle droit dont les côtés sont parallèles à Oc, Ox devient «j, et un angle droit dont les côtés sont parallèles à Ox, Oy devient Xj. Nous pouvons donc aussi

introduire la notion des dilatations angulaires ^ — x^, ^ — aj,

m- MM

6. — Déformation en nn point d^un milieu; ses six composantes.

Envisageons une portion du milieu non déformé entourant un point P (ce, y, z). Si cette portion est suffisamment petite, les six fonctions e^, Yi» qui sont des fonctions continues de x, y, z, conserveront, en ses différents points, sensiblement les mômes valeurs, celles qu'elles ont au point P (x, y, z). On est ainsi amené à substituer à la déformation d'une portion du milieu entourant un point P (ce, y, z), lorsque cette portion est suffisamment petite, une déformation homogène dont les six composantes sont les valeurs que

(1) Conformément à l'usage habituel , noua adoptons ces expressions et non leurs valeurs changées de signe.

prennent au point (ce, y, z) les six fonctions associées à la déformation du milieu considéré.

C'est ce que l'on peut encore exprimer de la façon suivante. Si nous considérons un point Q {x -\- dx, y + dy, z + dz) du milieu non déformé, il est clair que les nouvelles coordonnées de ce point ne différeront de

a?! + dx^, 1/1 + J?/i, z^ + dz^,

que de quantités qui seront infiniment petites du second ordre, lorsque dx, dy, dz seront tous trois infiniment petits du premier ordre. Ceci revient à dire que, dans le voisinage de P, la déformation est sensiblement définie par les équations

( ^1 = «10 + (1 + «11) X + «12 Y + a^gZ,

(16) Y, = a,o + a,iX + (1 + a,,) Y + a,,Z,

( Zi = a,, + «giX + a,,Y + (1 + a,,) Z,

où X, Y, Z désignent les coordonnées d'un point Q du milieu non déformé par rapport au point P, c'est-à-dire par rapport à trois axes ayant leur origine en P et parallèles aux axes coordonnés, où Xi,Yj, Zj désignent les coordonnées de la nouvelle position de Q par rapport aux mêmes axes, et où enfin les coefficients a^, qui sont déterminés en même temps que x, y, z, sont donnés par les formules

du

âvL

du

âv

dv

âv

"-' = àz

a.in = w, a,. =:

Ainsi, la déforrnalion subie par la portion du milieu avoisinant un point P {x, y, z) de ce milieu est sensiblement une déformation homogène définie par les formules (16) et (17), et ayant pour composantes les valeurs que prennent au point P les six fonctions s,-, y- qui définissent la déformation du milieu considéré.

Nous désignerons la déformation homogène définie par les formules (16), (17), sous le nom de déformation au point P; les valeurs des fonctions c;, y^ au point P seront dites les composantes de In déformation au point P.

Les résultats acquis au n° 5 nous montrent que nous aurons au 2)oi7it P (x, y, z) trois dilatations linéaires suivant Ox, Oy, Oz, ayant pour valeurs

Kl-f2£i — 1, I/1+2S, — 1, |/l+2£3-l.

Un trièdre trirectangle de sommet P et d'arêtes parallèles aux axes deviendra un trièdre dont les angles aj, a^, a., seront définis par les formules (15).

Aux remarques précédentes s'ajoutent les suivantes, qui introduisent une notion nouvelle, celle de la rotation en un point du milieu.

7. — Les deux ellipsoïdes de déformation et la rotation en un point du milieu. Boformalion pure.

Les formules (16) montrent immédiatement qu'il existe, en général, un trièdre de sommet P, que la déformation au point P transforme dans un trièdre dont les arêtes sont respectivement parallèles à celles du premier.

A un ellipsoïde placé dans l'un des deux espaces, les formules (16)

font correspondre un nouvel ellipsoïde, et à trois diamètres conjugués

de l'un des ellipsoïdes correspondent trois diamètres conjugués de

l'autre. En particulier, à la sphère du premier espace, qui est définie

par l'équation

les formules (16) font correspondre un ellipsoïde 8^ que nous appellerons le premier ellipsoïde de déformation relatif au point P. Cet ellipsoïde étant supposé à axes inégaux, il existe un système et un seul de trois diamètres rectangulaires de la sphère considérée qui se transforment par (16) en trois droites rectangulaires : ce sont les diamètres qui se transforment dans les axes de l'ellipsoïde Bf De même, à la sphère du second espace, qui est définie par l'équation

(X. — a,,y -h (Yi — a^o)' + (Zi — a,,f = 1

correspond l'ellipsoïde g défini par l'équation

(1 + 2c,) X' + (1 + 2s,) Y* + (1 -^ 2S3) Z' + 2yJZ

+ 2Y2ZX + 2v,XYr=l

et que nous appellerons le second ellipsoïde de déformaiio)i relatif au 'point P. Ses axes correspondent à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondante.

Ainsi, en général, il existe un trièdre trirectangle et un seul, celui formé des axes du second ellipsoïde de déformation, qui se transforme en un nouveau trièdre trirectangle, savoir celui formé des axes du premier ellipsoïde de déformation.

On peut, de plusieurs façons, par une rotalion, suivie de la translation («jo, a,„, ajj), appliquer les axes de l'ellipsoïde 8 sur les axes correspondants de l'ellipsoïde T'^. Parmi ces rotations, nous distinguerons celle pour laquelle les trois arêtes d'un trièdre formé avec les axes de 8 s'appliquent finalemeut sur les trois arêtes qui lew corresjtondent par {[6) et qui déterminent un trièdre formé avec les axes de Gj. Cette rotation sera ce que nous appellerons la rotation au point P du milieu.

Pour que cette dernière soit nulle, il faut mais il ne suffit pas que les directions des axes du second ellipsoïde de déformation soient aussi celles que (16) laisse invariables, ce qui s'exprime par

^^23 ^~^ ^^325 ^31 ~~ '^ISJ ^12 ^~ ^21'

La déformation homogène correspondant à ces trois relations s'appelle une déformation pure.

8. — Décomposition de la déformation en un point du milieu en une rotation suivie d'une déformation pure. Bétermination de la rotation en un point du milieu.

Étant donnée une déformation homogène définie par les formules (14) ou (16), où entrent douze constantes, on peut se proposer de la remplacer par une autre déformation homogène équivalente, définie par des équations où entrent des constantes en nombre moindre et, en particulier, en nombre égal à six.

Parmi les solutions en nombre infini de ce problème, on peut en distinguer de particulièrement intéressantes.

La déformation déterminée par les équations (16) peut être remplacée par une rotation définie par les formules

!X' z= a\ + h\ + cl, Y' =a'X + ?>'¥+ c'Z, ^ Z' =a'X + 6'Y-+- c'Z,

où a, h, c, ... désignent les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant -+- 1, suivie de la déformation homogène

Cïnématique. 26

déterminée par les relations

X, = a,, + (l + a\,) X' + ol,Y' + a[,Z' ,

en posant

\\ = a,o + a',i\' + (4 + a;^) Y' + a^JJ, ( Zj = «3„ + a',,X' 4- a;,Y' + (1

dv âx

^* âx

à II

'or

et six équations analogues.

A trois droites rectangulaires quelconques dans l'espace lieu de (X, Y, Z) correspondent trois droites rectangulaires dans l'espace lieu de (X', Y', Z'); par conséquent, si l'on veut (jue la déformation (19) soit une déformation pure, il faut et il suffit que la rotation (18) soit précisément une des rotations dont nous avons parlé au numéro précédent et qui amènent les axes de l'ellipsoïde ë sur ceux de l'ellipsoïde 8,.

La déformation au point P revient donc, et de plusieurs façons, à une rotation suime âfmie déformation pure. Dans Vune de ces décompositions, la rotation n'est autre que la rotation au point P, qui est ainsi définie par les formules (9), où a, 6, c, ... forment une solution du problème consistant à déterminer neuf cosinus qui vérifient, outre les relations

( «"2+ h"^ + c'' =1, .aa' -]- bi>' + ce'

les suivariteè T

qui s'écrivent

âx \ âyj âz âx ây \ âz j

âw , âw

(22) ( a -— ^h b-- + ^ ■' ^ âx âji

.au

au „âu âi/ Oz

âv âz