Dilatation cubique en un joint. Équation de continuité

Désignons par 1 le déterminant

an âz dv âz

dont le carré, formé par la règle de multiplication des déterminants, s'exprime, en fonction des composantes de la déformation au point P, au moyen de la formule

âx

au à y

D (.»!, Vi, Zj) D {X, y, z)

dv âx dw

âx

ây âw

ày

Yî

L'élément de volume dx dy dz, tracé autour de P {x, y, z), devient après déformation

(|A| + r,) dx dy dz,

Tj tendant uniformément vers zéro avec les dimensions de l'élément, en sorte que

0= iA| -1

est la dilatation cubique au point P.

Il en résulte également que, pour un milieu dont la densité est p avant déformation au point (x, y, :), et p, après déformation au point (x'j, y^, z^), on a la relation

P = Pi X |A|,

qui est une des formes de l'équation de continuité considérée en Hydrodynamique.

10. — Transformation des composantes de la déformation en un point. Invariants de la déformation. Cas particuliers de déformation en un point : extension simple et glissement simple.

La définition adoptée pour les composantes de la déformation en un point du milieu dépend des axes coordonnés. Si l'on considère de nouveaux axes, on aura six nouvelles composantes, qu'il est facile

d'exprimer au moyen des anciennes. Supposons que les directions des nouveaux axes soient définies par le tableau du n° 1 et soient a;', y', z'; x[, y[, z[ les coordonnées, par rapport à ces nouveaux axes, des points {x, y, z), {x^, y^, z,)- On a

dx\' + dy[^ + dz[^ = dx\-^dy\+dz\ = {\-¥lt,)dx^ + {\+1t^)dy^ + (1 + 1t^ dz^ + ^Y.dî/ dz + 1-!^dzdx + Sv^dx dy

dx=zadx' + hdy' + cdz',

dy = a'dx' + h'dy' + c'dz', dz z= a'dx' + h"dy' + c'dz'.

On a donc

dx\' + dy[' + dz[' = (i + 2s;) dx'' +{i + 2s;) dy""

+ (1 + 2s;) dz" 4- 2y; di/'dz'+ 2y; dz'dx'-h^Ys dx'dy',

en posant

e; = ty- + s,a'* + Sjtt"* 4- vja'a" + Y,a"« + Ts^»'' v; = 2sibc + 2s..?yc' + 2S36V + Yi {b-C + h'c')

et quatre formules analogues.

Il résulte de ce qui précède que les expressions

£, -f- cj + Î3,

y1 + yl + ïl — ^ (=2^3 + £3=1 + siO.

4£,£jS3 + Y1T2Y3 — ^iTi — '2Y5 ^sYs

restent inaltérées par une transformation de coordonnées.

Parmi les déformations homo^^énes, deux sont particulièrement intéressantes.

Dans la première, appelée extension s'impU, les lignes parallèles à une direction donnée sont dilatées et toutes les lignes perpendiculaires restent invariables en longueur. D'après ce qui précède, les conditions pour que la déformation en un point soit une extension simple sont :

y! + y1 + yI - ^ (^2^3 + 2*%+ '^r-^\ = ^' . 4 s, s, s, + YiYsYs — 2iYÏ — ^îTî. — ^sYs = ^>

et la grandeur de cette extension simple est

Dans la seconde, appelée glissement simple, tous les points dans un certain plan restent dans ce plan après la déformation, avec leurs

positions primitives, et tous les points dans un plan parallèle au premier restent dans leur plan, mais y sont déplacés, dans des directions parallèles à une ligne donnée dans le premier plan, proportionnellement à leurs distances à ce plan.

Les formules définissant un glissement simple des plans y'= const. parallèlement à l'axe des x' du triédre coordonné O'x'y' z' sont :

x[ = x'+gtj', y[ = y', z[ = z',

g étant la grandeur du glissement. Les composantes de la déformation sont :

et les formules (15) du n" 5 donnent :

La grandeur d'un glissement simple pour des axes de coordonnées quelconques est donc

(7 = ± K Y^ + ïl + Yl — ^* i^,h + ^3^1 + h-ù,

et les conditions pour que la déformation en un point soit un glissement simple sont :

4 SiS^Sg + T1Y2Y3 — £lïl — £2Ïi — -3Ï3 = 0>

Y? + ïl + ïl - 4 (^.^3 + ^3^1 + e,S,) = 2 (s, + £, + S3).

IIL — De la déformation infiniment petite.

H. — Définition de la déformation infiniment petite.

Considérons un milieu qui se déforme d'une façon continue, et supposons, pour fixer les idées, que dans les formules (10), qui déterminent les coordonnées a?,, y^, c, de la nouvelle position du point (x, y, z), les quantités u, v, w soient fonctions de x, y, z et d'une nouvelle variable t; le milieu proposé correspondra, par exemple, à la valeur zéro du paramètre t.

Lorsque t sera infiniment petit, les quantités variables en même temps que la déformation, telles, par exemple, que les fonctions s,, Yo différeront de leurs valeurs primitives de quantités infiniment petites;

l'étude de la déformation infiniment petite du milieu considéré n'est autre que celle de la partie principale de tels infiniment petits.

Supposons que u, v, w, fonctions de la variable t en même temps que de x, y, z, puissent être développées suivant les puissances entières positives de t par des séries qui soient absolument et uniformément convergentes, ainsi que celles dont les termes s'en déduisent par différentiation par rapport à x, y, 2; u, v, w devant se réduire respectivement à zéro pour t = 0, nous aurons

u = w + Mj + tt, + •••

W = iv + w^ 4- IV2 ■+" •••■>

en désignant par i(, v, w les termes de ces développements qui renferment t en facteur, et généralement par rt„, v„, iy„ ceux qui renferment i"+' en facteur.

12. — Dilatations linéaires et glissements relatifs à la déformation infiniment petite.

Avec les notations précédentes, nous aurons :

dw dv

' ^'—dy'^dz'^

du div ' '' ~ dz '^ dx'^

div

dv du ' ^^''-J^'^ dy^

les termes non écrits renfermant en facteur une puissance de t supérieure à la première.

Les dilatations linéaires au point P suivant 0x,0y,0z seront :

du dv dw

dx dy dz

et les dilatations angulaires au même point :

dw dv du div dv du

dy dz dz dx dx dy

Lorsque t est suffisamment petit, les six composantes de la défor-

mation en un point ont sensiblement pour valeurs les expressions

au àv dw

\ ^ âx ày ^ âz

I dw ôv du dw âv du

( ^'"^ du ' dz ''- dz ' dx' ^'—dx'dy

Les trois premières e^, e^, e^ sont aussi sensiblement les dilatations linéaires au point {x, y, z) suivant Occ, Oy, Oz; nous les appellerons les dilatations linéaires relatives à la déformation infiniment petite. Les trois autres ffy, gr,, g^ sont de même sensiblement les valeurs des dilatations angulaires; nous les appellerons les dilatations angulaires ou encore les glissements (n° 10) relatifs à la déformation infiniment petite.

Lorsque t tend vers zéro, le déterminant A du n" 9 tend vers 1; pour t suffisamment petit, la dilatation cubique est

„ du dv dw e = — + -- + -- + ....

dx dy az

Sa valeur approchée

du dp dw

dx dy dz

que nous appellerons dilatation cubique relative à la déformation infiniment petite, est égale à la somme des valeurs approchées des dilatations linéaires suivant les trois axes.

d3. — Rotation relative à la déformation infiniment petite.

Passons à la rotation en un point du milieu ; pour t = 0, elle se réduit évidemment à zéro, en sorte que des neuf cosinus a, h, c, ... qui figurent dans les équations (18) du n» 8, trois, a, h' , c" se réduisent à 1 pour t = 0 ; les six autres se réduisent à zéro.

Si l'on pose

\ /dw dv\ \ /du dw\ \/dv du\

^'~'^\d^~dzP '''~^\d^~"d^y ^''~2\d^~dii)'

on trouve immédiatement, au moyen des relations (21) et (22), les développements suivants :

il + -^

a=z\ ' Q ' + •••> b=— T, + ..., Cr=:Tj+...,

les termes non écrils renfermant en facteur une puissance de t supérieure à celle qui entre dans les termes mis en évidence.

Si l'on définit la rotation par un segment porté sur l'axe de rolation et égal à la grandeur de la rotation, les formules (18) montrent alors que les projections de ce segment sont

La rotation définie, de la manière qui vient d'être indiquée, par le segment dont les projections sont Tj, -,, Tj, est la rotation relative à la déformation Infiniment petite au point (.f, »/, z); si t est suffisamment petit, elle ne dilTère pas sensiblement de la rotation au même point (x, y, z).

14. — Proposilion se rapportant au cas où les dilatations linéaires et les glissements relatifs à la déformation infiniment petite sont nuls.

Cherchons ce que deviennent dan;> le cas de la déformation infiniment petite les propositions énoncées au n» 4.

La notion du sysliime auxiliaire de M. Darboux va nous conduire facilement aux résultats que nous avons en vue.

Nous avons établi au no 4 que le système d'équations aux dérivées partielles

an dx

d\x\ dxj

dv/

àU

dv dz

d^w dx

dv dx

ày

du du dy dz du du dzdx "^ du du

dx dy

dv dv

âv/ .

dy dz

rf:=''-

dv dv dz dx

dv/ dz

âx

dv dv dx dy

dv/

àu~^'

définissant trois fonctions inconnues u, v, w, admettait une solution et que cette solution correspondait au déplacement d'ensemble le

plus général d'un corps invariable, combiné ou non avec une iransformation par symétrie (*).

Appliquons au système précédent la notion du système auxiliaire de M. Darboux, en partant de la solution de ce système, qui est formée de fonctions toutes nulles.

Le système auxiliaire sera formé des six équations

du ^ dv - âw - 0 IV âv

(25) ' -^ ày àz

* du d w ^ dv du

dz dx dx dy

définissant trois fonctions inconnues ii, v, w; sa solution générale correspond aux solutions infiniment petites du système (24), et elle sera, par conséquent, définie par les formules

u = t(Q + 6z — cy, v = i\-t ex — az, w = tVQ-\- ay — hx,

où Wq, l'o, iCq, a, h, c sont des constantes, et qui déterminent la vitesse d'un point (x, y, z) d'un système invariable à un instant donné.

Pour parler autrement, la solution générale du système (25) correspond au déplacement infiniment pelit d'un point (x, y, z) d'un système invariable, dans un mouvement infiniment petit de ce système.

On pourra rapprocher les considérations précédentes de celles qui se trouvent pages 107 et suivantes.