KU'" = KU'.KU

En repassant aux bi-radiales R, R' et désignant par KR, KR' leurs conjuguées, on voit que l'on a

K(R.R') = KR'.KR,

formule qui joue un certain rôle dans les applicalions. On observera

dans celte formule l'échange qui s'y produit dans l'ordre de R, IV.

Muliiplicatioii Les multiplications des verseurs rectangulaires dont les axes sont

^'^ à angle droit méi'itent une menlion spéciale pour le rôle qu'elles sont deux verseurs , , . . ,

, appelées a jouer par la suite, rect.ingljs ^^ •' '

à axes Reprenons les trois verseurs rectangles r, , r^, r. dont les axes

rectaugulairos. Ox, Oy, Oz forment un trièdre tri-rectangle direct. On constatera aisément par l'applicalion attentive de la règle de multiplication que l'on a les relations

On désigne par — î*^., — r,,, — r^ le produit de r^, r,^, r. par — 1, conformément à ce qui a été expliqué plus haut. Puissaiicos L'application réitérée d'une même hi -radiale, ou sa multiplication

de bi-railiule . p.ir elle-même, conduit aux puissances de bi-radiales. La puissance jjjièmj (l'une biradiale est une bi-iadiale qui a le même axe en position et direction et dont l'angle est égal à mi) et le tenseur à la puissance j^t'"'"" du tenseur île la bi-radiale. Ou reconnaît là une généralisation de la foimule de Moivre.

Il serait aisé de tirer de là une définition de la puissance jn'^""" pour une valeur algébi"i({ue réelle quelconque de m. Puissances Si l'on multiplie par lui-même un verseur rectangle, on obtient un

d'un verseur verseur dont l'angle est égal à 180° et qui équivaut, appliqué à un segment, à un simple changement de signe, c'est-à-dire à une multiplication par — 1 ; nous pourrons donc écrire, si r est le verseur rectangle considéré,

r' = -\; c'est ainsi que l'on a

rj = — 1, r^ = — i, )•' = — 1.

Telle est la signification de ces diverses noialions symboliques. \\ nous sera très utile de traduire les résultais précédents dans le langage de la géométrie analytique.

rcctanf

NOTES DE l'auteur. 477

I.Rep:ésentati( n Soient les deux b:-radiales par 1rs formules /^\ /^

oordinaires de U =: I L J»,^' ^^^ I

I la géomf trie ^OA/ V ÔB

analytique.

désignons par x, y, z les coordonnées de A; x', y\ z' celle de B; x\ y", c" celles de C; S, X, Y, Z les paramètres do R; S', X', Y', z'' ceux de 11' et enfin S", X", Y", Z" ceux de la bi-radiale

Vga/

Nous allons voir que ces derniers s'expriment très simplement à l'aide de ceux de R et de R'.

D'abord les formules (d) et (3), appliquées aux bi-radiales R, R', R", donnent

/ o^+^V'+zz' ^ liz'-zi,' zx'+xz' ., xy'-yx — ». r"" ^ — ' A — — -5 Y z=: , 7 — ^L •'