OG

On voit ainsi que

de \y par U,

aloi'S que U.

OC ÔÂ

/ --— >- I représente le produit VoG, /^

U'"= U.ll',

représente le produit U" de U

NOTES ])K i,'AiiTr:uu. 475

Pour que U" et U'" pussent coïncider, il faudrait que les points A, C, Aj, Cl fussent sur un même grand cercle, qui devrait aussi contenir le point B. Les points A, B, C étant sur un même arc de grand cercle, les deux verseurs seraicnl coplanaires.

La multiplication des verseurs coplanaires est, en effet, comniulative, car elle se ramène à l'addition d'arcs d'un même grand cercle. Mais, en dehors de ce cas, la commutativité n'existe pas. Ainsi la multiplication des verseurs, et partant celle des bi-radiales, n'est généralement pas commutative.

Malgré que la commutabilité n'existe pas pour la multiplication (les bi-radiales, l'associalivité est maintenue. En eifet, il saute aux yeux que pour effectuer le produit de R par II', puis du résultat ainsi obtenu par R" ..., on pourra effectuer à part le produit des verseurs et puis le produit des tenseurs. Le produit des verseurs se traduira par une addition géométrique d'arcs de grands cercles; or, cette addition est évidemment associative, en ce sens que l'on peut substituer à plusieurs arcs consécutifs leur somme effectuée. Le produit des tenseurs est purement numérique.

< >n eu concliil donc qiK' '/'0*s nn pi'Dtliill île hi-radi'ili's il si'4'a pct'iiiifi tli- s»»/'.-7i/H''r () pltisieiirAl>i-i'(idi((h'^co)if(iù;i((irps lo\{t' pruilial effccliir.

Deux bi-radiales coplanaires, qui ont le même tenseur, la même amplitude angulaire, mais dont les axes sont opposés, ont été dites conjuguées.

Le produit de deux bi-radiales conjuguées se réduit à une bi-radiale scalaire dont le tenseur est le carré de leur tenseur commim.

Si deux bi-radiales ont des tenseurs inverses l'un de l'autre, si leurs amplitudes angulaires sont égales et leurs axes opposés, on obtient deux bi-radiales que nous avons appelées inverses l'une de l'autre. Si l'on applique successivement à un segment une bi-radiale inverse, on reproduit le segment lui-même. C'est ce que l'on exprime en disant que le produit de deux bi-radiales inverses l'une de l'autre représente une bi-radiale unité.

Considérons la figure (1)3) qui nous a servi à mettre en évidence lu non-commutalivité de la multiplication des bi-radiales.

Les arcs AB et BAj représentent le même verseur V, BC et CjB représentent le verseur U' ; l'arc AC représente le verseur IJ " = U' . U, tandis que C^^^ représente le verseur U'" = U.U'. A^G^ représente donc le conjugué de U'", que nous désignerons par K [)'"; or, AjCj est la somme géométri(pie de A, 1! etde JiC, qui représentent respective

meut les verseurs KU, KU' conjugués de U, {]' . On voit donc qu'il est permis d'écrire