N==^.|^[0'Z' -ZY')S-(XX'+YY' + ZZ')X + (X^ + Y^ + Z^)X

W ^'î/ = r^i[(ZX'-XZ')S-(XX' + YY' + ZZ')Y + (X' + Y'+Z'')Y'],

z=:;^^[rXY'-YX')S-(XX' + YY'+ZZ')Z + (X' + Y' + Z')Z'],

j'cc''=:a[(YZ'-ZY')S' +(XX'+YY'+ZZ')X'-(X" + Y" + Z'=)XJ,

(il) ^ .'/" = X[(ZX'-XZ')S' + (XX'+YY' + ZZ')Y'-(X'*4-Y" + Z")Y1,

"=:a[(XY'-YX')S' + (XX'+YY'4-ZZ')Z'— (X'^ + Y'^ + Z'^)Z],

Formules de R est alors aisé de calculer S", X", Y", Z" en Iransporlant dans les Tiu ,p ication. quatre dernières formules (8) les valeurs précédentes de x, y, z,

LlvÇONS DE CINEMATIQUE.

Distributivité de la

iruiltiplication

vis-à-vis de i"additioii.

Applicaliou

de la

multiplication

de deux sommes.

ij\ :\ On trouve

S" = SS' — XX' — Y Y' — ZZ', X^r^XS' + SX' — YZ' + ZY', Y" = YS' +SY' — ZX' +XZ', Z" r=ZS' + SZ' — XY' + YX'.

Telles sont les formules qui traduisent, à l'aide des paramètres S, X, Y, Z, la multiplication de la bi-radiale 11 par la bi-radiale R' (').

11 est clair que si S, X, Y, Z, Sj, Xj, Y^, Z^ sont les paramètres numériques de deux bi-radiales, S + Sj, X + Xj, Y + Yj, Z + Z, sont les paramètres de la bi-radiale qui est la somme de ces deux-lcà. Comme, d'autre part, les formules (12) qui traduisent la multiplication sont linéaires et homogènes par rapport aux paramètres de la bi-radiale multiplicande et par rapport aux paramètres de la bi-radialc multiplicateur, on peut en conclure que la multiplication des bi-radiales est distribKtivo à l'égard de l'addition. C'est-à-dire que pour multiplier la somme R -+- Rj de deux bi-radiales par une autre R', on peut effectuer séparément les constructions R'.R et II' . R^ et faire l'addition du résultat. Pareillement pour multiplier R' par (R + R,), on pourra multiplier R' par R, puis R' par Ilj et additionner les résultats. Il faut bien prendre garde dans ces opérations de ne pas intervertir l'ordre des facteurs.

Ainsi, prenons la bi-radiale R décomposée en sa bi-radiale scalaire R,. et ses trois bi-radiales rectangulaires R,, R,,, R,, on a

De même pour une seconde bi-radiale R' on aura

R' z=: II,: -+- p».; + r; + r:.

(1) Ces formules fournissent la démonstration de ce fait que le produit de deux sommes de 4 carrés est une somme de 4 carrés. On sait, en effet, que

V' S^^TX'î +"Y"2 -t- Z'î = V/S'i + X^ + Yâ-f Z* V S'2 + X'« + Y'«-|-Z'i. Car le tenseur du produit est le produit des tenseurs. On a donc

^(SS'-XX'- YY' -ZZV I (XS'-}-8X' — YZ' : ZY')' + (Y S' -1- SY' — ZX' -I- XZ')2 + (ZS' -f- SZ' - X Y' j Wy'.

NOTES DE I/aUTEUR. 479

Pour l'aire le produit R' Il on pourra écrire

II' 11= RMi + IIJ.R, + li:..R,

-+- 113,4- RX -f-RiR,

+ RHi, + r;h„+r;h,.

Il s'agit d'évaluer chacune des bi-radiales qui ligurent en produits partiels.

D'aboid RiR, est une bi-radiale scalaire représentée par le nombre S.S' , en conservant les notations précédentes.

Happelons-nous que R,,, R,^, IL sont les produits des verseurs ^'xy n,> r, par X, Y, Z et R;, R;, R; les produits par X', Y', Z' des mcnies verseurs.

Cela posé, Ri-R,, c'est-à-dire le produit par une bi-radiale scalaire de la bi-radiale 11^, est une bi-radiale que l'on obtient évidemment en multipliant r, par S' . X; on peut donc poser

R,'R, = S'X.r,, et de même

R;.ll, = SX'.r,,

r.;r, = s'y./v, R;.R,=:SY'.n;, r; b, := S'z.n, r;.r, = sz' . >%.

Le produit 11,^1 «>. est égal au produit par XX' du carré rj liu verseur ri; or, ce carré est. une bi-radiale scalaire représentée par — 1. En conséquence, lUR^ est une bi-radiale scalaire représentée par — XX'.

Semblablement, R,'R,„ R'il, sont des bi-radiales scalaires représentées par — Y Y', — ZZ. Si donc nous groupons dans la somme totale, et comme c'est permis, les quatre bi-radiales scalaires déjà trouvées, nous trouvons déjà dans R' R une partie scalaire représentée par le nombre