VOA

OA, OB ont chacun une longueur égale à l'unité. L'indétermination

de l'angle AOB dans son plan que M. Darboux établit à l'endroit

cité, correspond à l'indétermination analogue dans le cas des verseurs.

La Considérons deux rotations qu'on pourra ramener à être représen-

compositiou \^Qg par les angles AOB et BOG (voir p. 348, no4); les verseurs

, , représentatits correspondants seront I l |.

se ramène a la ^ '■ \ 0 A / ^ 0 B ^

'des verseiirs" ^^' ^^^^^ ^^^^^ disposition, l'angle AOG représente la rotation R' qui résulte des rotations R, R' efîectuées l'une après l'autre

Le verseur représentatif est ( ); c'est le produit des deux pre-

VOA/ miers. Ainsi, avec ce mode de représentation, la multiplication des verseurs correspond à la composition des rotations finies. Les paramètres ^ est curieux que les paramètres d'Olinde Rodrigues soient précidu verseur qui sèment ceux du verseur représentatif de la rotation, représentent la Soient, en effet, a, ^, y les cosinus directeurs de l'axe de rotation et 6 l'amplitude de la rotation. Le verseur qui la représente a le

rotation sont les variables

d'Olinde même axe et son amplitude angulaire est - • Sa partie scalaire est

Rodrigues.

r =: COS - > Je

tandis que les projections de son vecteur sont

/=rasm-» )/?=r:[3sin-? n^ysin-.

Il suffit de se reporter aux formules (3) et (6) de la note I de M. Darboux pour constater que /, m, îi, r sont les variables d'Olinde

NOTES DE l'auteur. 483

Rodrigues où l'on aurait profité de l'homogénéité pour faire en sorte que

Raison de H est dès lors facile de prévoir quelles seront les formules qui, au

composition "™°^^" paramétres d'Olinde Rodrigues, expriment la composition des rotations ^^ ^^"^ rotations (r, l, m, n) (r' V , m', n'). Si (r', r, m', n") sont !n paramètres l*^s paramètres de la rotation composante, ces paramètres s'exprime-

d'Olinde ront en fonction des anciens par les formules de la multiplication des

Rodrigues verseurs avec les brmules de la Tiultiplication

des quaternions.

.a théorie des On voit que la théorie des renversements fournit une nouvelle

enversements interprétation de celle des verseurs.

ommebasede tt ^ -i. m \

a doctrine des ^'^^ "^^^^^^ ^^ représente, en effet, un renversement, et une

quaternions. / qjT \

droite OR en représente un autre; la bi-radiale ( -^ ) représente le

résultat de ces deux renversements effectués successivement, et par suite représente non plus un quotient, mais le produit de ces deux renversements. La composition des )-enversements autour d'axes issus d'un point devient ainsi le point de départ de la théorie des verseurs et de leur multiplication.

r" = rr'