S' =: S S' — XX' — Y Y' — ZZ

et se compose, on outre, de trois bi-radiales rectangles que l'on obtient en multipliant les verseurs r^, r^, )\ [lar les nombres X', Y", Z" suivants :

X'^SX' -[■ S'X — YZ' + ZY', Y" = SY' + S' Y — ZX' + XZ', Z"=SZ' -H S'Z — XY' + YX'.

On retrouve h s Nous retombor.s, comme ce devait être, sur les formules déjà formules (12) trouvées, mais nous y retombons par une voie qui n'est autre cette paruneautie ^^-^ qu'un véritable calcul symbolique et nous aboutissons ainsi

naturellement à la conception même des qualcrnions. Quateinion. Le qualernion c'est l'image analytique de la bi-radiale. Considérons un symbole de la forme

où s, X, y, z sont des nombres algébriques ordinaires et i, j, k de simples symboles de séparation. Nous conviendrons que deux symboles de cette forme ne pourront èlre identiques que si s, x, y, z y ont la même valeur.

Po:nin3 Étant donné un second symbole

cl iliirérenceLle quate. nions. S + l.X + J.y + AC.r ,

nous appellerons sommes de ces symboles le symbole

et différence le symbole

Pour multiplier le symbole par un nombre algébrique, on multipliera s, X, y, z par ce nombre.

Muliiplicati n. Ghercbons actuellement à définir la multiplication des symboles de cette sorte en conservant une partie au moins des règles du calcul de l'algèbre ordinaire. Formons le produit

(.s' + ix' + j.y' -\- kz') {s + ix + ./// f- kz)

NOTES DE l'auteur. 481

en procédant, pour la loi de formation, comme si i, /, k étaient trois variables littérales indépendantes, et ayant soin de ne pas intervertir l'ordre des facteurs, les quantités s' , x' , y' , z' , s, x, y, z jouant, elles, le rôle de coefficients numériques et étant, par conséquent, intervertissables. Le développement du produit nous donnera, en groupant les termes qui multiplient un même symbole,

s's + {s'x + sx')i + (s'y + si/')j + (s' z + sz')k ■+■ xx' . i^ + y y' .p + zz' . k^ + y'z.jk-h z'y.kj + z' x.ki + x' z.ik + sc'y.ij + y'x.ji.

Une des conditions essentielles de ce calcul, c'est que les opérations ne conduisent pas à des symboles autres que ceux introduits dès le début. Ce produit doit être réductible au type

s" -h i.x" + jy' + kz\

Il faudra pour cela que i\ f, k\ jk, kj, ki, ik, ij, ji soient des fonctions linéaires à coefficients numériques des symboles i, j, k. Prenons dès lors pour ces fonctions linéaires les suivantes :

on aura

jk = i, kj = — i.

ki=j, ik = ~-j^

ij = k. ji =z — k,

l s' z= ss' — xx' — yy'

-zz'

\ x" = sx' + s' X + zy'

— yz

j y" = sy' -i- s'y + xz'

— zx

{ z" = sz' -+• s' z + yx'

— xy

En comparant aux formules (12), on voit que l'on a créa ainsi un algorithme qui, tant par ses propriétés d'addition que par la composition de sa multiplication, est la complète image des constructions géométriques concrètes auxquelles nous avaient amené la considération des bi-radiales.

La conception analytique peut même être généralisée et étendue au cas où, au lieu des quatre systèmes d'unités 1, i,j, k, on en prendrait un plus grand nombre.

Après cet exposé sommaire des premiers principes des quaternions, nous allons voir quels rapports existent entre cette théorie et celle des rotations.

Cinématique. 31

482 LEÇONS DE CINÉ>rATIQUE.

Dans la note II qu'il a insérée dans le présent volume, M. Darboux a montré (p. 346 et suivantes) que toute rotation d'amplitude 0 autour

d'un axe OX se représente par un angle AOB dont l'ouverture

est - 0. Il semblerait naturel de représenter la rotation par un verseur d'axe OX et d'amplitude angulaire G; il vaut mieux la représenter par le veiseur d'axe OX et d'amplitude -•

/ ÔB \ Ce verseur sera ainsi représentable par la notation I I» ou