Chapitre IX. — Mouvement continu le plus général d'un corps solide
Courbes liées à la ligure mobile et qui ont une enveloppe. — On trouve par des quadratures toutes les courbes douées d'enveloppe. — En général il y a un glissement. — Viralion des surfaces réglées. — Cas où il existe à chaque instant une rotation tangente. — Applicabilité des surfaces A/, Am si le glissement est nul. — Déformation des surfaces réglées.
— Remarque sur les courbes à enveloppes liées à la surface Am. — Roulement des dcveloppables et des courbes gauches. — Cas où Am, A/ sont des développables. — Cas des cônes. — Roulement des courbes.
— Cas où les développables roulent sans glisser. — Roulement général des surlaces réglées. — Caractère distinctif de la viration. — Cas des développables. — Remarques sur l'accélération dans le mouvement général d'un corps solide. — Proposition générale relative à l'accélération d'entraînement. — Application à un exemple. — Lieu du centre des accélérations quand la loi du temps cliange.
Chapitre X. — Des degrés de liberté d'un système mobile. — Mouvements à plusieurs paramétres 219
Liberté d'un point. — Liberlé d'un segment. — Cas d'un segment dont le degré de liberté est 2. — Normales aux surfaces trajectoires d'un point du segment. — Congruence engendrée par le segment. — Foyers et plans focaux. — Surfaces focales. — Congruences de normales. — Remarque sur ces congruences. — Segment dont trois points décrivent trois plans rectangulaires. — Segment dont trois points décrivent des sphères. — Files de sphères. — Des divers degrés de liberté d'un corps solide. — Degré de liberté d'un corps. — Équations aux différentielles totales. — Réciproque. — Conditions d'intégrabilité. — Déplacements réductibles à des rotations. — Mouvement d'un corps assujetti à quatre conditions. — Théorème de MM. Schônemann et Mannheim. — Autre démonstration du théorème précédent. — Congruence linéaire. — Complexe spécial. — Contact d'une surface avec son enveloppe. — Foyers d'une droite d'nne congruence. — Théorème de Ribaucour. — Mouvements ù. trois paramètres. — Mouvements à trois paramètres réductibles à des rotations successives. — Sphère glissant sur elle-même. — Plan glissant sur lui-même. — Mouvement d'une figure qui reste symétrique d'une figure fixe.
Historique des systèmes articulés. — Peaucellier. — Lipkine. — Sylvester.
— Les géomètres anglais. — Ti'avaux français. — Définition d'un système articulé plan. — Systèmes à quatre membres. — Quadrilatères articulés. — Trois formes de quadrilatères articulés. — Discussion de la construction d'un quadrilatère articulé. — Pivots à révolution complète. — Condition pour qu'un quadrilatère ait des pivots à révolution complète.
— Quadrilatères qui ont trois pivots à révolution complète. — Quadrila-
tères qui ont tous leurs pivots à rôvolution complète. — Représentation de M. Darboux. — Autre représentation. — Transformation des mouvements de rotation au moyen de quadrilatères articulés. — Parallélogramme. — Contre-parallélogramme. — Description dos podaires d'ellipses et d'hyperboles avec un système articulé. — Duplicateur de tours do Reuleaux. — Cas général d'un rhomboïde quelconque. — Transformateurs articulés. — Pantographe du P. Scheiner. — Pantographe de Sylvester. — Réalisation d'une rotation. — Application à la courbe décrite par un point d'une bielle. — Principe de l'échange de bielle et iKanivelle. — Autre démonstration du théorème de Cayley. — Inverseur de Hart. — Inverseur de Peauceliier. — Généralisatioa de l'inverseur Peaucellier. — Translateur de Kempe. — Réverseur de Kempe. — Réalisation de la symétrie. — Multiplicateur de Kempe. — Additeur et soustracteur de Kempe. — Théolème de Kempe. — Du guidage exact ou approché du mouvement rectiligne d'un point. — Ralancier et contre-balancier. — Ralancier de Oliver Evans. — Autre guidage approché. — Solutions exactes de Peaucellier et de Hart. — Double rhomboïde de Kempe. — Autre appareil de Kempe. — Sextilatère de Kempe. — Autre appareil dû à Hart. — Description d'une ellipse au moyen de cinq tiges. — Des mouvements et des transformations que peut réaliser un même système articulé. — Avec un système articulé on peut produire plusieurs mouvements. — Plusieurs transformations. — Autre usage des inverseurs.
— Description des cubiques circulaires unicursales à axe de symétrie. — Utilisation du mouvement inverse. — Protracteur. — Description des conchoïdes. — Applications des systèmes articulés à la résolution des équations et à la représentation des fonctions. — Résolution mécanique de l'équation du 3« degré. — Systèmes articulés gauches. — Joint de Cardan. — Joint Goubet. — Joint Clémens. — Planigraphe. — Ellipsoïdographe. — Théorèmes gt^néraux sur les systèmes articulés. — Articulation de deux corps. — Jonction ponctuelle.
— Lemme I. — Lemmc II. — Lemme III. — Lemme IV. — Réalisation de toute liaison algébrique entre des points. — Cas de plusieurs équations. — Description des surfaces et des courbes algébriques gauches. — Mouvements algébriques. — Remarques sur les propositions précédentes.
CiL^piTRE XII. — Le déplacement comme cas particulier d'homographie 308
Glissement d'une droite sur elle-même. — Mouvement d'une figure
plane. — Identité des formules qui représentent un déplacement avec celles d'un changement do coordonnées. — Points de coïncidence d'une homographie. — Équation caractéristique. — Discussion des homographies planes. — Cas d'une racine double. — Cas singulier de l'homologie.
— Cas de la racine triple. — Homologie singulière. — Translation. — Cas d'un déplacement quelconque. — Conception projective des angles. — Symétrie par rapport à un point. — Remarque. — Déplacement d'une figure dans l'espace. — Remarques générales sur l'homographie dans l'espace. — Cas particulier d'un déplacement. — Cas de l'indétermination. — Forme canonique d'un déplacement fini. — Forme hélicoïdale de tout iléplacement fini. —Le cercle de l'infini et les déplacements. — Les imaginaires dans la cinématique du plan. — Recherche des homographies planes qui conservent les points circulaires. — Déplacement compliqué d'une homothétie. — Homographies qui échangent les points circulaires. — Renversement. — Produit de deux homographies. — Groupe de transformations qui conservent chacun des points circulaires. — Son identité avec celui des substitutions linéaires entières. — Expression de la
vitesse d'entraînement. — Centre instantané. — Accélération. — Centre d'accélération. — Exemple. — Les substitutions linéaires à une variable et les déplacements autour d'un point fixe. — Recherche des homographies de l'espace qui conservent le cercle de l'infini. — Déplacement et homothétie. — Coordonnées rapportées au cercle de l'infini. — Application aux figures sphériques. — Coordonnées syméti iques. — Introduction de l'homographie créée par un déplacement sur le cercle de l'infini. — Les substitutions linéaires et les rotations autour d'un point fixe.
Note I. — Nouvelle démonstration des formules d'Euler et d'Olinde Rodrigues 343
Note IL — Sur les renversements et les inversions planes. 346
Renversement. — Inversion plane. — Représentation des rotations par des renversements. — Représentation des translations. — Composition des rotations. — Représentation d'un mouvement quelconque. — Retour au déplacement hélicoïdal. — Théorème do M. Stéphanos.
Note III. — Sur les mouvements algébriques 352
Définition des mouvements algébrique^. — Relations de dualité entre un mouvement et son inverse. — Mouvement dont toutes les trajectoires sont planes. — Distinction préalable. — Emploi du mouvement inverse. — Retour an mouvement direct. — Équation du mouvement cherché. — Equation du plan de la trajectoire d'un point. — Discussion. — Représentation du mouvement. — Examen des cas écartés au début. — Conclusion de cet examen. — Emploi des formules d'Olinde Rodri- Ijues dans l'étude des mouvements algébriques. — Formules du mouvement rapporté à des paramètres rationnels. — Mouvements algébriques unicursaux. — Mouvement à cubiques gauches. — Mouvement à biquadratiques unicursales. -- Mouvejnent à surfaces de Steiner. — Points qui décrivent des plans. — Exemple particulier. — Exemple d'abaissement du nombre des points. — Du degré de la surface trajectoire d'un point. — Représen'ation sur le plan. — Examen des conditions d'abaissement du degré. — Application au mouvement à surfaces de Steiner. — Remarque sur le mouvement à surfaces de Steiner. — Sur les mouvements dans lesquels certains points du corps décrivent des plans ou des courbes planes. — Examen du cas où deux points décrivent des plans.
— Examen du cas où trois points décrivent des plans formant un trièdre.
— Examen du cas où trois points décrivent trois plans parallèles à une même droite. — Les points d"une droite décrivent les plans tangents d'un cylindre parabolique. — Cas général où quatre points décrivent quatre plans formant un tétraèdre. — Cas de décomposition. — Retour au cas général. — Cas où les quatre plans |[, 11', 11", II'" forment un prisme.
— Cas où un mémo plan est décrit par plusieurs points. — Cas où une droite balaie un plan et où tous les points dune autre décrivent des plans.
— Cas où deux droites balaient des plans.
NOTE DE MM. Eugène et François COSSERAT
Sur la cinématique d'un milieu continu , . 391
Quelques généralités sur les coordonnées curvilignes. — Rappel des formules fondamentales relatives au trièdre mobile. — Détermination d'un système de coordonnées curvilignes au moyen de son cls^. — De la déformation d'un milieu continu en général. — Introduction des six fonctions habituellement associées à une déformation. — Propositions relatives aux fonctions associées à une déformation. — Déformation homogène; ses six composantes. — Déformation en un point d'un milieu; ses six composantes. — Les deux ellipsoïdes de déformation et la rotation en un point du milieu. Déformation pui'e. — Décomposition de la déformation en un point du milieu en une rotation suivie d'une déformation pure. Détermination de la rotation en un point» du milieu. — Dilatation cubique en un poin*;. Équation de continuité. — Transformation des composantes de la déformation en un point. Invariants de la déformation. Cas particuliers de déformation en un point : extension simple et glissement simple. — De la déformation infiniment petite. — Définition de la déformatnon infiniment petite. — Dilatations linéaires et glissements relatifs à la déformation infiniment petite. — Rotation relative à la déformation infiniment petite. — Proposition se rapportant au cas oii les dilatations linéaires et les glissements relatifs à la déformation inliniment petite sont nuls. — Équations de Rarré de Saint -Venant. — De remploi du trièdre de référence mobile. — Quelques formules relatives à la déformation im général. — Formules relatives à la déformalion infiniment petite loisru'on particularise le trièdre mobile : équations de Rarré de Saint-Venant. — Du cas où le milieu non déformé est rapporté à des coordonnées curvilignes <iuelconques. — Formules relatives à la déformation en général. — Formules relatives à la déformation infiniment petite.
NOTES DE L'AUTEUFv Note I. — Coordonnées tétraédriques des segments 419
Décomposition d'un segment suivant les arêtes d'un tétraèdre. — Coordonnées tétraédriques. — Relation identique. — Moment de deux segments. — Autres coordonnées tétraédriques. — Coordonnées tétraédriques d'une droite. — Coordonnées tétraédriques d'un système de segments. — Forme réduite quand on rapporte à deux droites conjuguées.
Note IL — La théorie de Grassmann sur l'étendue figurée. 423
Systèmes de points. — Systèmes de segments. — Systèmes de triangles. — Notation abrégée. — Addition et soustraction. — Multiplication. — Application.
Note III. — Propriétés infinitésimales des complexes linéaires 429
Plan osculateur d'une courbe dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire. — Détermination des courbes enveloppes des droites d'un com-
plexe linéaire. — Propriétés de ces courbes. — Hélices d'un complexe. — Cubiques gauches. — Surfaces dont les normales appartiennent à un complexe linéaire. — Propriété des lignes asymptotiques et des lignes géodésiques de ces surfaces.
Note IV. — Sur l'expression du travail virtuel des forces appliquées à un corps solide 434
Note V. — Sur les volumes engendrés par un contour fermé. 437
Note VI. — Sur le problème des centres de courbure dans le mouvement d'une figure plane 441
Cas où la construction de Savary tombe en défaut. — Considérations géométriques sur la construction de Savary. — Nouvelle construction du centre de courbure. — Transformation quadratique bi-rationnelle. — Conique de Rivais.
Note VII. — Sur les accélérations 446
Interprétation des équations de l'accélération. — Directions qui sont leurs propres homologues. — Ellipsoïdes d'égale accélération. — Point d'accélération minimum dans un plan. — Théorème de M. Gruey. — Théorème de M. Résal. — Calcul des accélérations supérieures.
Note VIII. — Sur la théorie de la vis de M. Bail 451
Rappel de la définition de la vis. — Tout système de segments est le produit d'une vis par un nombre. — Exemple tiré djes rotations. — Mouvement suivant une vis. — Système de forces agissant suivant une vis. — "Vis de coordonnées dans un corps doué d'un degré n de liberté. — Introduction des notions dynamiques. — Équations générales du mouvement. — Recherche des vis principales. — On est conduit à la réduction simultanée à des carrés des formes T et H. — Remarques.
Note IX. — Sur le cylindroïde 458
Lieu des axes des complexes linéaires d'un faisceau. — Lien entre la composition des systèmes de segments et les faisceaux de complexes linéaires. — Formules de composition. — Le cylindroïde. — Simplification de l'équation.
— Propriétés diverses. — Origine du nom. — Expression du pas. — Formules définitives. — Représentation du pas. — Remarque importante. — Proposition générale. — Remarque sur la nature de la congruence commune aux complexes du faisceau. — Indifférence de certaines singularités.
Note X. — Sur la composition des rotations et les quaternions 464
Opérations géométriques et opérations algébriques. — Bi-radiale. — Tenseur.
— Verseur. — Ri-radiales conjuguées. — Inverses. — Opposées. — Scalaire. — Rectangle. — Réduction au même dénominateur. — Addition des bi-radiales. — Décomposition de toute hi-radiale en une bi-radiale scalaire et une bi-radiale rectangle. — Représentation par un vecteur d'une bi-ra-
diale rectangle. — Remarque. — Autre définition tle l'addition de deux bi-radiales. — Réduction de l'addition des bi-radiales à celle des nombres et à celle des segments. — Conimutativité générale de l'addition des biradiales. — Bi-radiale nulle. — Soustraction des bi-radiales. — Décomposition de toute bi-radiale rectangle en trois autres d'orientations données. — Expression des résultats précédents par les moyens ordinaires de la géométrie analytique. — Multiplication des bi-radiales. — Ordre des facteurs. -~ Tenseur du produit égal au produit des tenseurs. — Verseur du produit. — Addition géométrique des arcs de grands cercles. — La multiplication n'est pas commutative. — Associativité. — Produit de deux bi-radiales conjuguées. — Produit de deux bi-radiales inverses. — lii-radiale unité. — Formule relative au produit des conjuguées de deux bi-radiales. — Multiplication de deux verseurs rectangles à axes rectangulaires. — Puissances de bi-radiales. — Puissances d"un verseur rectangle. — Représentation par les formules ordinaires de la géométrie analytique. — Formules de multiplication. — Distributivité de la multiplication vis-à-vis de l'addition. — Application de la multiplication de deux sommes. — On retrouve les formules (12) par une autre voie. — Quaternion. — Somme et dillérence de quaternions. — Multiplication. — Relations fondamentales. — Choix particulier. — Représentation de toute rot;'tion par un verseur. — La composition des rotations finies se ramène à la multiplication des verseurs. — Les paramètres du verseur qui représentent la rotation sont les variables d'Olinde Rodrigues. — Raison de l'identité de la composition des rotations en paramètres d'Olinde Rodrigues avec les formules de la multiplication des quaternions. — La théorie des renversements comme base de la doctrine des quaternions.
Note XI. — Sur les représentations graphiques 484
Représentation graphique de la variation d'une fonction du temps. — Diagramme. — Représentation de la vitesse. — Construction des diagrammes. Tracé par points. — Tracés continus. — Appareils enregistreurs. — Graphiques des chemins de fer.
BonlPaux. — Tm]!. G. QOUXOUII.HOD, rue Gnirmidi;, II.
RETURN Astronomy/Mathematics/Statistics Library TO»-^ 100 Evans Hall 642-3381
