OM' = OA* + OB* + OC
Ce qui démontre que le carré de la ligne OM est égal à la somme des carrés de ses projections sur les trois droites OA, OB, OC.
Si l'on joint MA, le triangle rectangle OMA donne :
On aura de même :
et
OA=OMcosMOA.
OB=OMcosMOB
OC=OMcosMOC;
Mf GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A IMHS DIMENSIONS.
i^joutant lei trabl équaticHis précédentes après les avoir éle?é6B au carré , et ayant égard à réquation (1) , il vient :
C06 *MOA + co» *MOB + CCS «MOC = 1 .
Cie^te équation prouve que la somme des carrés des cosinus 4e8 angles, que fiait une direction donnée avec trois directions rectangulaires, ^ égale à l'unité. A la vérité, notre démons- Ifl^on suppose que les trois angles soient aigus, mais le iJbéilHkine est général ; si a, p, y désignent les angles formés ilirilDe direction quelconque avec trois directions rectangulaires quelconques, on a :
cos*a-j-cos*p+cos'if=*»
Effectivement si l'un des angles a,6,Y est obtus, il suffira, pour rentrer dans les conditions de notre figure, de clianger la direction de la droite de projection correspondante "dans la di|pction opposée, ce qui ne produira qu'un changement de signe dans le cosinus.
LA PROJECTION d'uNE AIRE PLANE SUR UN PLAN EST EGALE AU PRODUIT DE CETTE AIRE PAR LE COSINUS DE l'aNGLE DES DEUX PLANS.
282. On nomme projection d'une aire plane sur un plan^ l'aire terminée, par la projection sur le plan, du contour de Taire donnée.
Cas du triangle,
285. Soit un triangle ABC (fig 148), et supposons d'abord que l'un des côtés, AB, par exemple, soH parallèle au plan de
THItarai DES PROJECTIONS.
projection ; menons par AB un plan paralUJe à ce plan de
projection; abaissons la perpendiculaire Ce sur ce plan , menons enfin cO perpendiculaire sur AB, et joignons OC qui, par un théorème connu, sera perpendiculaire à AB.
Le triangle ABc sera la projection de ABC, et ces deux triangles, ayant flg. 148. même base AB, seront entre eux
comme leurs hauteurs; on aura donc:
Or
ABc = ABGx^
Oe
(M* le rapport ^ est égal au cosinus de Tapgle COc, angle
qui est précisément celui que forme le plan du triangle ^UK avec le plan de projection.
Supposons, en second lieu (fig. 149), qu'aucun càté du
triangle ABC ne soit f^lèle au plan de {urojection.
Menons par le sommet B un plan JMN parallèle à ce plan de projection; soit A' le point où ce plan rencontre le côté CA prolongé, et tirons BA'.
fig. 149. Désignons enfin par a Tangle
aigu du plan ABC et du plan MN. Les projections de A'BC et de A'AB seront, d'après ce qui précède, ABCxcosa et A'ABxcosa; mais ABC est la différence des deux triangles A'BC, A'AB et sa projection est évidemment la différence des projections de ces mêmes triangles ; par suite , elle a pour valeur ABCxcosa.
368 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMEt^SIONS.
Cas d*un polygone,
284. Ck)nsidérons un polygone P dont le plan fasse un angle a avec le plan de projection. Décomposons ce polygone en triangles T,Tj.... au moyen de diagonales; la projection
du polygone P sera évidemment T cosa -f T'cosa + , ou
Pcosa.
Cas d'une aire plane terminée par un contour quelconque,
285. Considérons une aire plane P terminée dans Tune de ses parties par une courbe AB, et inscrivons dans cette courbe une ligne polygonale ; désignons par P' Taire obtenue en remplaçant la courbe par la ligne polygonale dont il s'agit. La projection de F sur un plan sera Fcosa^ a étant l'angle des deux plans. Mais si les côtés de notre ligne polygonale auxiliaire diminuent indéfiniment, de manière à avoir zéro pofi|^limite ^ F tendra vers la limite P; donc la projection de P sesà, encore P cosa.
DES COORDONNÉES RECTILIGNES
