DE L'HOMOGÉNÉITÉ

Les courbes, ellipse, hyperbole, parabole, cissoïde, etc., étudiées dans le chapitre précédent, sont représentées par des équations homogènes. Une équation homogène quelconque

f{x, y, a, hy Cy...) = o,

entre les coordonnées variables x tiy d'un point du plan et les longueurs a, 6, c, . . . de diverses droites données, détermine une courbe, dont la position et les dimensions sont indépendantes de Tunité avec laquelle on mesure les lignes. Considérons au contraire une équation numérique entre x et y,

c'est-à-dire une équation ne renfermant pas d'autres lettres que X et y, et supposons celte équation non homogène. Pour représenter par des points du plan les solutions réelles de cette équation, il faut commencer par choisir arbitrairement une échelle ou la droite que Ton prendra pour unité. Quand Téchelle varie, la courbe ne reste plus la même; nous verrons plus tard que les diverses coubes ainsi obtenues ont des analogies remarquables; ce sont des courbes homothétiques.

44 — Remarque I. Il arrive souvent que Ton considère dans une même question des nombres qui expriment des mesures de lignes, de surfaces et de volumes; les unités de surface et de volume restent, comme Tunité de ligne, indéterminées; mais on suppose habituellement qu^il existe entre elles cette relation, que l'unité de surface est le carré construit sur l'unité de longueur, et l'unité de volume le cube construit sur la même droite. Dans ce cas, pour vérifier l'homogénéité d'une relation dans laquelle certaines lettres, S et V, désignent la mesure d'une surface ou d'un volume, on remplacera ces lettres par p* et g^ en désignant par p et g les côtés du carré ou du cube équivalents à la surface ou au volume considéré; de cette manière l'équation ne contiendra plus que des lignes. On peut aussi se dispenser de faire cette substitution, et alors, dans l'évaluation du degré de chaque terme, on double l'exposant des lettres qui désignent des surfaces, et on triple ceux des lettres qui désignent des volumes. Remarque II. En général, lorsque des angles entrent dans

UD calcul^ ces angles sont rapportés à une unité complètement déterminée et leurs mesures sont des nombres fixes. Pou^ évaluer un angle^ on décrit de son sommet comme centre avec un rayon arbitraire un arc de cercle et on prend k rapport de cet arc au rayon, ce qui revient à prendre pour unité d'angle celui dans lequel Tare est égal au rayon. Les fonctions trigonométriques des angles sont également des nombres. Dans l'application du principe de l'homogénéité, on fera donc abstraction des lettres qui désignent des angles ou leurs fonctions trigonométriques.