CONSTRUCTION DE L'ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ

490 — L'équation générale du premier degfé entre les variables œ, y^ « est

(i) Ad!î + By + Cz + D = o.

Noiis atohs ^ii (n^4^G) que cette équation représente un plan; mais II est bon de démontrer directement cette proposition. L*éc[tJatioil renferme trois paramètres arbitraires qui sont les rapports de trois des quantités A, B, C, D à la quatrième. D'abord, si deux deâ coefficients A, 6^ C sont nuls, Téquation se réduit à la tôrlne

Cz + D = o, ou z=—^;

ellô tépré^tlle oh plan qui est parallèle au plan XOY^ et qui coupe Taxe des z à une distance — h- de Torigine (n^ 4^3). Si

un seiil des coefficients des variables, par exemple C, est nul,

on a réquation

Aa? + By-l-D = o,

qui représente, dans le plan XOY une droite, et dans Tespâtîe un plan parallèle à OZ et mené par cette droite.

Supposons, enfin, qu'aucun des coefficients des variables ne soit nul. On obtient les traces de la surface sur les trois plaiis

coordonnés XOY, YOZ, ZOX, en faisant dans réquation proposée z=c), ou x = Of ou y = o, ce qui donne trois droites PQ* QR^ RP (fig. 258), ayant pour équations

Aj?4-By-4-D = o, By-l-Cj5 + D = o, Aa?-f-Cz-f-D = o.

Coupons les surfaces par un plan z = c, parallèle au plan XOY; la projection de Tintersection sur le plan XOY a pour équation

Aa?-hBy-i-Cc-i-D = o;

c'est une droite &B/ parallèle à PQ. L'intersection elle-même, étant la ligne suivant laquelle le plan z = c, parallèle à XOY,

rencontre le plan projetant mené par G' W, est une droite GH parallèle à G'H^ et, par conséquent, parallèle à PQ.

D'ailleurs, la droite GH

rencontre la droite PR

au point G. On peut

donc regarder la surface

comme décrite par une

Fig. 358. droite GH, qui se meut

parallèlement à la droite PQ, en s'appuyant constamment sur

une autre droite PR; donc la surface est un plan.

431 — Réciproquement, tout plan est représenté par une équation du premier degré entre les variables œ, y, z. Car lorsque le plan est parallèle à l'un des plans coordonnés, XOY par exemple, si l'on appelle c la coordonnée z du point où il rencontre Taxe OZ, son équation est z = c. En second lieu, si le plan est seulement parallèle à Tun des axes, OZ par exemple, sa trace sur le plan XOY a une équation de la forme Aa:-hBy-i-D = o; celle-ci représente, dans l'espace, le plan donné.

Enfin, supposons que le plan ne soit parallèle à aucun des axes; soient

z = ao? -h Y> ^ = 6y -h Y les équations de ses traces PR et QR sur les plans XOZ et YOZ.

On peut disposer des coefficients de Téquation

(i) AiC4-By-f-CjS4-D=o,

de manière que le plan qu'elle représente coïncide avec le plan proposé. En effets les traces du plan représenté par Téquation (i) sur les plans XOZ et YOZ ont pour équations

elles coïncideront avec les traces PR, QR du plan proposé, si

Ton a

ou A=— Ca, B=— C6, D=— Cy.

L'équation (i), dans laquelle on substitue les Taleurs précédentes^ devient, après la suppression du facteur C^

z — ax — by — y = o.