PLAN PASSANT PAR TROIS POINTS DONNÉS

494— Pour qu'un plan Ax + By-l-Cz + D = o passe par trois points donnés (a^, y', «'), («", y% z"), [af'*, yf"y af^') , il faut que les trois équations de condition

Aa/ H-Bj/^ -f-Cz' -f-D = o, kx'' -+-By" -^Cz' -+- D = o,

Ax'^'H-Bî^'^H-Cz'''-+-D = o

soient yérifiées. De ces équations du premier degré^ on déduira

les rapports n' îî* q ^^ trois coefficients au quatrième.

MJ PLAN. 183

Lorsque ie6 trois points donnés sont situés sur les a^es des

coordonnées^ l'équation du plan prend une forme très-simple. Appelons a, 6, c les coordonnées des points P^ Q^ R^ où le plan coupe le9 (|xes. On obtient le point P en faisant^ dans Téquatipu

du plan, 9=^0 et x=:o, ce qui donne a=— j; on a de même ds=:— •gfetcss— tt- Si Ton remplace les rapports

K* K» K PfU" kurs yaleurs » — x» tirées des relations

D D D abc

précédentes, l'équation du plan se met sous la forme

inrsRSBCTiœi de trois plans.

4I!SS — La recherche du point d'intersection de trois plans revient à la résolution de trois équations du premier degré

A a?4-By-f-C «-hD :=:o, A'a?-hB^y + C'z-+-iy = o, A^x -+- B^y -t- Cz -f- D'= o,

à trois inconnues x, y, z. Si les trois plans se coupent en un seul point, les trois équations admettent une solution finie et une seule. Si les trois plans n^ont pas de point çommw, ce qui arrive quand les plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles entre elles» ou quand deux des plans sont parallèles, les trois équations n'ont pas de solution. Si les trois plans passent par une même droite, ou se confondent, il y a une infinité de solutions; dans le premier cas, on peut prendre à volonté Tune des variables; dans le second cas, deux des variables.

ANGLES DE LA HdUfALS AU PLAK AVBG LES AXES.

496 — Jusqu'à présent nous n'avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées; dans ce qui suit, nous supposerons les coordonnées rectangulaires. Soit Aa;-|-By-f-C«-l-D = o Téquation d'un plan; les coordonnées a, b, c des points P, Q, R,

où ce plan coupe les axes, sont données par les formales

De l'origine 0 abaissons une perpendiculaire OL sur le

plan (flg. 259)^ et joignons le pied L de la perpendiculaire aux points P^ Q, R, de manière à former trois triangles rectangles OLP, OLQ, OLR. U distance OL, que nous désignerons par l, est la projection sur la droite OL des droites OP, OQ, OR ; si Ton désigne par a, p, y les angles que fait la droite OL

avec les axes, on a donc l = acosa = 6cosP = ccosy; et, en

remplaçant a, b, c par leurs valeurs

Fig. 359.

l COSOC COSB COSY

Chacun de ces rapports est égal au nouveau rapport

. Vcos'g + cos'p -f- cos'y i-— i— —