ANGLE DE DEUX PLANS

4»y— Soient Aa;+By-4-Cz+D=o, A'a;+B'y-hC'2-hiy=o les équations des deux plans. L'angle cherché est^gal à l'angle des normales menées de l'origine aux deux plans donnés. Désignons par a, p, y les angles que fait avec les axes la première

norraale, par a', P, y' le« angles de la seconde normale^ et par V TaBgle cherché. Les axes élant supposés rectangulaires, on

cos V = eosa cosa^-h cosp cosP' + cosy cosy^ ; d'où, en vertu des formules (7),

(8) cosV = =h

VA* -h B«-+- C* VA'* -f- w ■+- a*

Pour que les deux plans soient perpendiculaires entre eux, il est nécessaire et il suffit que Ton ait

(9) AA'-t-BB'-+-CC' = o.

- DISTANCE d'un POINT A UN PLAN.

4!88— Quand nous avons cherché les angles que la normale OL au plan Ax 4- By -h C s 4- D = o fail avec les axes (n* 426), noos avons désigné \ySit l la longueur de cette normale, et nous av<Mit trouvé les rapports égaux

l^ cos g cosp cosy ±1

D"~ A "^"B~ (ï VA*4-B«-|-d^

11 en résulte

VA«-hB*H-C«

Cette formule donne la distance de Torigine au plan en coordonnées rectangulaires.

Il est facile d'en déduire la distance d'un point quelconque M ayant pour cocnrdonnées x^, y^, z^. Si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point M, Téquation du plaa devient

Ax' -h By' -+. Ca' -h (A JPi + Bj/i + C«i 4- D) = o.

En vertu de la formule (10), la distance du point M au plan a pour expression

(II) |^=^(A^«-^By«-^Cgi+D).

Siy dans Téquation du plan, on remplace les coefficients par les quantités proportionnelles données par les formules (6), réquation prend la forme

(12) X cosa + y cosp -f- z cosy — J = o.

Le premier membre^ dans lequel on regarde x, y, z comme les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, exprime la distance de ce point au plan, affectée du signe + ou du signe — , suivant que le point et l'origine sont situés de part et d'autre du plan^ ou du même côté.

PROJECTIONS D'uIIB DROITE.

499— La manière la plus simple de définir une droite dans Pespace est de la considérer comme rintersection de deux plans. Une droite sera donc représentée par le système de deux équations du premier degré

Aa?H-By + C«-hD = o, A^x+Wy-hGZ'hiy=o.

Si Ton élimine y onx entre les deux équations, on obtiendra deux équations de la forme

(i) x = az+p, y = bZ'^q:

ce sont les équations des plans qui projettent la droite sur le plan XOZ ou sur le plan YOZ. On peut aussi considérer chacune de ces équations comme étant celle de la projection elle-même dans son plan.

Si; dans les équations (i)^ on fait z = o, on obtient les coor-* données x^=p, y^=^q de la trace de la droite sur le plan XOY.

Quand deux droites sont parallèles^ leurs projections étant respectivement parallèles^ les coefficients angulaires a et 6 sont les mêmes dans les équations de ces droites.

Les équations générales d'une droite renferment quatre paramètres arbitraires a, b, p, q.

ÉQUATION GÉNÉRALE DES DROITES QCl PASSENT PAR UN POINT DONNÉ.

4SO— Pour qu^uoe droite

(i) x = az+py y = 6z + g

passe par un point donné H, ayant pour coordonnées x^, yf, %\ il faut que les coordonnées de ce point vérifient les deux équations de la droite, ce qui donne deux relations a/=az'+p> y ' = ftjis' + 9> . servant à déterminer deux des paramètres, par exemple p et g. En remplaçant p et 9 par leurs valeurs^ on obtient les équations

dans lesquelles les deux paramètres a et b sont arbitraires^ et qui représentent toutes les droites passant par le point donné.