DROITS PASSANT PAR DEUX POINTS DONNÉS

4131— Les équations (2) représentent une droite quelconque passant par le point M; cette droite passera par un second point M' ayant pour coordonnées a^, yfy js% si les conditions

sont vérifiées; on en déduit

et la droite cherchée a pour équations

(3) a;-x'=^=^(3-^20, »-tf' = |^(«-^0, ou plus simplement

On obtient immédiatement les équations (2) et 0), en remar^ quant que^ lorsqu'une droite passe par un points les projections de la droite passent par les projections du poirrl . '

INTERSECTION d'UNE DROITE ET d'uN PLAN.

433 — Les coordonnées du point de rencontre d'une droite et d'un plan s'obtiennent, comme celles du point de rdncontre de trois plans^ par la résolution de trois équations du premier degré à trois inconnues. Si les équations de la droite sont

x = az-\-p, y = bz-hq, et celle du plan

Aa:-hBy-hC2-f-D = o,

ea élimins^nt œ et y, on obtient la coordonnée z dp point d'intersection

Ap + Bg + D

"■~ Aa-+-B6 + C' Si l'on a

(5) Aa-hP64'C;=?o,

la valeur de z devenant ioAnie^ le point d« rencontrf^ s'éloigne à l'infini et la droite est parallèle au plan. Si Ton a en même temps

(6) Aa + B6-i-G==:o, Ap-HBg + D===o,

là valeur de 2 est indéterminée et la droite a une infinité de pdkits communs avec le plan^ c'est-à-dire qu'elle est située dans le plan. La première (les conditions (6) exprime que la droite est parallèle au plan; la seconde^ que la trace de la droite sur le plan des xy, trace qui a pour coordonnées (p, q, o), est située dans le plan.

CONDITION POUR QtE DECX DROITES SE RENCONTRENT.

433 — Deux droites placées arbitrairement dans l'espace ne se rencontrent pas en général; pour qu'elle* se rencontrent, il faut que leurs équations

xz=az + py { x = a':^^'gf^

y=bz+q, \ y=Vz-hq^j

soient satisfaites par un même système de valeurs de or, y, z; ceci n'aura lieu que si la condition

(7) (a~aO(5~50-(&~60(p-pO = o, Qblenue par l'élimination de x, y, z, est remplie*

ÉQUATION GÉNÉRALE DES PLANS QUI PASSENT PAR LA DROITE d'iUTERSEGTION DR DEUi: PLANS DONNÉS.

4a4l~8oieni Ax-f-By-hCaH-Dreo, A'dM-»'y-hC'»-hD'=fco les équations de deux plans; Téquation

(8) (Aa? + Bîf4-Ca;-hD) — *{A'aî-f-B'y-hC'js-+-iy)=o,

dans laquelle le paramètre * est arbitraire, représentera tous les plans qui passent par la droite d'intersection des deux pr&> miers plans. li est évident d'abord que, quelle que soit la va* leur attribuée au paramètre Â% le plan représenté par Téqua^ tion (8) passera par la droite d'intersection des plans donnés; car cette équation est vérifiée par les coordonnées de chacuii des points communs aux deux plans. On voit ensuite que Téqualion (8) représente tous les plans qui passent par la droite d'intersection des deux plans donnés; car l'un quelconque de ces plans est défini par la droite d'intersection, et un point (j/, yf %') pris arbitrairement dans l'espace; or, on peut déterminer le paramètre A, de manière que le plan (8) passe par ee point, ce qui donne la condition

(Aa/-hBî^-f-C5' + D) — ft(A'a/-hBY-f-G';/+iy)ti=b,

d'où l'on déduit la valeur de A. Le plan cherché a pour équation

Aj^ + By-hCz + D A^a;-hB^y-hC^z-4-D^ ^' Aa/-hBy'-+-Cz'-+-D~A'x'-+-B'y'-f-G'z'4-iy"