PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES

44y— Soient œ=zaz-i-p, y = bz -h q les équations de la première droite AB, x=o'2-4-p', y = Vz-h-q^ celles de la

droite CD (ûg. 262). On sait que la perpendiculaire commune MN à ces deux droites mesure leur plus courte distance. On sait aussi que la longueur l de cette perpendiculaire commune MN est égale à la distance d'un point quelconque de la droite CD au plan P mené par la droite AB Fig. SG9. parallèlement à CD. Cherchons d'a-

bord réquation du plan P; tout plan mené par la droite AB a une équation de la forme

(a? — ajs — p) — * (y — 6« — g) :r= o ; ce plan sera parallèle à CD^ si la condition (n*" 482}

a'— ft6^-~(a — *6J=o

est remplie; on en déduit *=r^T7» et, par suite, le plan P a pour équation

(23) (b — V) (X — az'-'p) — {a^-a^) (y ~bz — q) =:o. La distance à ce plan d'un point quelconque de la droite CD, par exemple du point (p^ q^, &), où elle perce le plan XOY, a pour expression (n** 428)

(b -feO(p-pO-(a-aO(<y-QO

- a' y -h (b — 6')* -H (ab' — ba^ Telle est la plus courte distance des deux droites données.

44S— Si Ton demandait les équations de la perpendicu-' laire commune MN, il faudrait, par chacune des droites données AB, CD, mener un plan perpendiculaire au plan P; ces deux plans, par leur intersection, détermineraient la droite MN. Un plan {x — az—p) — k {y ^bz — q) =0, mené par la droite AB, sera perpendiculaire au plan P représenté par réquation (23), si la condition (n^ 427)

(6 ft/) ^, fc (^ fl/) — (a — kb) {aV~ba') = o

est vérifiée ; on en déduit la valeur de ft, et le plan cherché a pour équation

(25) {a-- a^) (x—az—p) -h (b — b') (y — bz—q) -i- (aV —ba^) [b [x—p)— a{y —q)]=o.

Le plan mené par la droite CD^ perpendiculairement au plan P^ a de même pour équation

(26) (a'— a)(x— o'z— p)+(i/— 6)(y— fc'z— î^) '^{a^b — Va)[b'ix—pf)—a^(y—^)]=o.

Les deux équations simultanées (25) et (26) représentent la perpendiculaire commune MN.

sraÉRB.

4I40 — La surface de la sphère^ étant le lieu des points distants du centre d'une quantité constante égale au rayon^ a pour équation^ en coordonnées rectangulaires,

Si, à inéquation d'une sphère, on joint celle d'un plan, on aura les équations de la ligne d'intersection, c'est-à-dire d'un cercle dans Tespace.

EXERCICES

1* Étant donnés un système de trois aies rectangulaires et un point sur chacun des axes ; trouter en fonction des coordonnées des trois points, 4* les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle qui aurait pour sommets les trois points, 2* les coordonnées du centre du cercle inscrit dans le même triangle.

2® Étant donnée une conique, trouver dans Tespace le lieu des points tels que la distance de chacun d'eux ^ Tun quelconque des points de la conique soit une fonction rationnelle des coordonnées du point de la conique.

La dislance esl aussi une fonction rationnelle des coordonnées du point cherché.

Si l'on joint deux points 6xes du lieu ^ un point quelconque de la conique, la somme ou la différence des distances est constante.

3* Démontrer que, si par chacune des arêtes d*un angle trièdre et la bissectrice de la face opposée, on fait passer un plan, les trois plans ainsi obtenus se coupent suivant une ménrie droite.

> 4* Étant donnés un trièdre et une droitie passsnt par son soomet^ par h

droite fixe et chacune des arêtes on fait passer un plan qui partage la face opposée en deux angles ; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres. (Réciproque.)

5* Étant dotttié un trièdre, par le sommet on mène un plan quelconque ^Qi dât^rmioe sur chaque face deui segments ; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal et de signe contraire au produit des trois autres. (Réciproque.)

6<> Trouver Taire d*un triangle en fonction des coordonnées des sommets, les axes étant rectangulaires.

7* Trouver le volnme d'un tétraèdre ayant Tuo de ses sommets à Torigine en fonction des coordonnées des trois autres sommets.

8* Démontrer que les trois droites qui joignent les milieux des côtés opposés d*un tétraèdre passent par un même point.

9* Trouter Téquation d*un plan mené par un point de Taxe des x perperpendiculairement à cet axe, les coordonnées étant obliques.

Application ^ la détermmation du centre d*une sphère donnée par son équation en coordonnées obliques, au moyen de plans perpendicnlaires aux axes.

4 0^ Les six plans des cercles d'intersection de quatre sphères prises deux ii deux se coupent en uh même point.