DROITE DONNÉE

4415— Soient x^, y', z' les coordonnées du poiat donné M,

â7=ajs+p, yssibz-^q les équations de la droite donnée. La

droite cherchée est l'intersection de deux plans, Tun mené par le point et la droite donnés, l'autre mené par le point donné perpendiculairement à la droite donnée. Le premier a pour équation (n° 434)

X — az — p y — bz — g

ocf — az' — p ^ — bz' — q

le second (n° 443)

a{x-'X') + b{y — '!^) + [z — z')=0'y ces deux équations simultanées représentent la droite cherchée.

DISTANCE d'un POINT À UNE DROITE DONNÉE.

446— Appelons toujours a/, 2/^, z' les coordonnés du point donné M. Supposons d'abord que la droite donnée OL passe par l'origine, et désignons par a, p, y les angles qu'elle fait avec les axes des coordonnées rectangulaires. La perpendiculaire MP, abaissée du point M sur la droite OL, étant un côté d'un triangle rectangle OMP (fîg. 261), on a

m Lk LIGNE DROITE. M7

La distance OM est connue ; elle est donnée par la formule

2uant a la distance OP, c'est U projection de la droite OM sur

la droite OL; en exprimant que la projection de la droite OM est égale à celle de la ligne brisée OABH^ dont les côtés sont les coordonnées ^^y^ z^ du point M, on a

OP=a5'cosa-hy' cosp + z'cosy.

Il vient de la sorte

(20) p=ïa/«-Hî/ '4-s'' — (a/cosa-hy'cosP ^-;j'cosy)«.

On peut mettre cette formule sous une autre forme. Si Ton

multiplie la quantité j/'4-y"-4-2'* par co6'a-|-cos*P-hco8"Y, c'est-à-dire par Tunitc, on a

a5/i^-j^î-4-i5'*)(cos*aH-co8'P-f-co8*y) — («'cosa-t-ycosP-Ha'co.

en effectuant les calculs et groupant convenablement les termes, il vient

P= (t/ cosy — sf cos P)^ 4- (a' cosa — a/ cosy)* + {x^ cosP — y^ ce

Supposons maintenant que la droite donnée qe posée pas par Toriglne, et soient

les équations de cette droite. Imaginons que Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point de la droite, par exemple au point (p, qf, 0) où elle {>erce le plan XOY; les coordonnées du point H relativement à ces nouveaux axes étant a/ — p, y^ — q, 2^ on aura, en appliquant la formule (21],

P= [(y' — q) cosy — 2' cosP]*-i- f(a/— p) cosy — z^ cosa]* -f- [{af — p) cos P — (y' — g) cosa]*;

si Ton remplace enfin cosa, cosP, cosy par leurs valeurs, on obtient la formule