SURFACES CYLINDRIQUES

451|— On ai)pelle surface cylindrique une surface engendrée par une droite qui se meut en restant constamnient parallèle à elle-même.

La génératrice sera représentée par les équations

x = az-\-pf y = bz-hq,

dans lesquelles les paramètres a et b sont constants^ et l^s deux paramètres p et g variables. On définira le mouvement de la génératrice^ en Tassujetlisant à glisser sur une directrice donnée^ ce qui fournira une équatioB de conditicm m(p, 9) = () entre les deuK paramètres variables p et q. On obtiendra Téquation de la surface^ en éliminant ces deux paramètres entre les deux équations de la génératrice et Téquation de condition; si Ton remplace dans cette dernière p et g par leurs valeurs X'-az, y-'bz, tirées des deux preipières, on a Téquatiop de la surface cylindrique

4ft9 — Plus généralement^ la génératrice peut être représentée par les deux équations

ax+by-\'CZ'hd=:oi, a^ x -^V y -h d z -h d^ = {6,

dap9 lesquelles les deux paramètres qc et ^ sont seuls y^riables; car cbapune de ces équations étant celle d'i^n plaq qui se meut parallèlement à lui-même^ la droite (J'ipterseçtjon conserve (^s§i la même direction. Les àe\x% par^imètres a et ^ sopt }iés par une équation de condition <^{^, |^) = o; rélin^inatiou des deux paramètres a et ^ donne Téquation 4e l^ sqrf^c^ cylindrique

(a) (f {ax -hby-h ez -h d, a^x H- 6' i/ -h&i-h d^) == o.

Réciproquement, toute équation de la forme (2) ne peut représenter qu'une surface cylindrique. Si Ton pose^ en effet,

a^ -+- i|/ -h c;î H- d = ôc, a' op 4- &' y H- c' ç -4- d' ^t= ? ; Véquation proposée devient ©(«, P)=o; à tout système de î

GÉxNÉnATKUN DES SURFACES. 403

valeurs réelles de «et p, vérifiant cette équation, correspond une droite ayant une direction déHerminée; Tensemble de ces droites forme une surface cylindrique. Ainsi, f équation générale des surfaces cylindriques tsi une équation quelconque entre deux polynômes du premier degré en x, y, z.

Cependant, il peut arriver que Téqualion © (a, p) = o n'admette qu'un nombre fini de solutions réelles; dans ce cas, réquation (a) ne représente qu'un nombre limité de droites.

4IS8-^upposous que ia surface ait pour directrice une

courbe plane, située dans le plan XOY (fig. o£3), et soit ç {x, y) = o réquation de cette courbe rapportée aux axes OX et OY; la trace G de ia génératrice GH

X^^az -^-p, 1/ = i;; 4- g

sur le plan XOY a pour coordon- * nées jr=p, y:=^q; cette trace devant apparleniràladirectrice, on aura réquation de condition 9 (p, q) = o, et la surface cylindrique sera représentée par réquation ç(ic — ajs, y — 62) = o. On voit que, si la directrice plane est algébrique et de Tordre w, la surface cylindrique est aussi algébrique et de Tordre m.

Fis. 263.