SURFACES CONIQUES

41&4— On appelle surface conique une surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un point fixe.

Désignons par a?o, y^y z^ les coordonnées du point fixe, c'està-dire du sommet du cône; les équations de la génératrice seront de la forme

Vo

Z — Zm

• et 6 étant deux paramètres variables. On définira le mouvement de la génératrice en Tassujettissant à glisser sur une

directrice donnée^ ce qui fournira une équation de condition (f [a, b) = G entre les deux paramètres variables a et 6. En ébminant a et b entre cette équation et les deux équations de la génératrice, on obtiendra Téquation de la surface conique

(3) <p(£=:^o, î^rXoUo.

C^esl une équation homogène entre les trois différences x — ^«,

Réciproquement^ toute équation homogène entre les trois différences â? — a?„ y — y^, z — z^ ne peut représenter qu'une surface conique. Car on pourra mettre cette équation sous la forme (3); si Ton pose ensuite

z — Zf^ z — 5»0

réquation proposée devient 9 (a, b) = o; à tout système de valeurs réelles de a et b, satisfaisant à cette équation^ correspond une droite passant par le point fixe {x^, y^, z^) ; Tensemble de ces droites forme une surface conique.

Cependant, si Téquation <p (a, b) = o n'avait qu'un nombre limité de solutions réelles^ on n'aurait qu'un nombre limité de droites. Dans le cas où cette équation n'a pas de solutions réelles^ il peut arriver que l'équation (3) soit vérifiée par les valeurs x^, y^, z^; alors elle représente un point unique.

Quand on place l'origine des coordonnées au sommet du cône^ l'équation de la surface conique se réduit à la forme

C'est une équation homogène entre les trois coordonnées x:,

4SS— -Considérons le cas où la directrice est une courbe plane. Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées^ et supposons le plan XOY parallèle au plan de la courbe (fig. 264). Soient js=c^ 9(0;^ y)=o les équations de la directrice, x=azy y=bZf celles de la génératrice; la trace de la génératrice sur le plan de la directrice ayant pour coordonnées j5=c.

x:=^ac,y= bCy pour que ce point G appartienne à la directrice,

il faut que Téquation de condition 9 {ac, bc) = G soit vérifiée. En éliminant a et 6 entre cette équation et celles de la génératrice^ on obtient réquation de la surface co« nique

On voit que> si la directrice plane est algébrique et de l'ordre m, la surface conique est aussi algébri-

Fig. 964.

que et de Tordre tn.

SURFACES GONOIDES.

4ISG— On appelle surface conoïde une surface engendrée par une droite qui se meut en restant constamment parallèle un même plan que Ton nomme plan directeur, et en glissant sur une droite fixe appelée axe du conoïde et sur une seconde directrice quelconque.

Prenons la directrice rectiligne pour axe des Zf et supposons le plan XOY parallèle au plan directeur. La génératrice sera représentée par des équations de la forme

La directrice donnera une équation de condition (p (a, fd) = o entre les deux paramètres variables a et ^. La surface conoïde aura pour équation

457— Supposons que Taxe OZ soit perpendiculaire au plan directeur (fig. 265), et que la directrice soit un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan directeur. Faisons passer Taxe OX par le centre C du cercle et prenons le plan YOZ parallèle au plan du cercle; ce cercle aura des équations de la forme x=a, y«-l-s' = r'. Pour que la génératrice GH s'appuie sur le cer-

iUÔ LIVKE V, ClfAPlTRii; IV,

cle^ i\ faut que W paramètres a et ^ gaU^fas&ciit à la relatiou a^^'-h«*s=:f*. Le conoïde est donc représenté par réquation du quatrième degré x^*^ -H a^y- — r^x^=o. Si l'on coupe la

surface par un plan parallèle au pian directeur, on obtient évidemment deux génératrices GH, GH'; Tangle de ces deux génératrices diminue à mesure que le plan sécant s'é- 1 is. 2.JÔ. lève; enfin, le co-

noïde se termine par une arête DB.

Coup(H38 la surface par un pian EFË^ paiallèle au plan du cercle; ce plan a pour équation œ:s=:af; la courbe d'iDter«ection a'*V-f-a*y* — a'V^=o est une ellipse dont le demi-axe IF est constamment égal à r et dont l'autre axe £E^ diminua jusqu'à zéro, quand le plan sécant se rapproche de Taxe du conoïde.

SURFACES D£ RÉYOLUTION.

45 S — On appelle surface de révolution une surface engendrée par la rotation d'une ligne autour d'un axe fixe auquel

elle est invariablement liée.

Chaque point M de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à Taxe et qui a pour centre le pied P de la perpendiculaire abaissée du point M sur Taxe (fig. 266). Les cercles décrits par les différents points de la génératrice ont été nommés les parallèles de la surface.

Les sections faites par des plans ^»«- ^^' qui passent par Taxe sont égales

GENBHAÏION DES SURFACKS. 407

enire elles) œ toot \èÈ ntiriditm de ]a surface. Ordinairement on (ïlioieH p6ur génératrice de la surface une courbe méridienne.

On peut aussi concevoir une surface de révolution comme engendrée par le mouvement d'un cercle, de rayon variable^ Jomt I6 centré parcourt tiiie Ifgne droite^ dont le plan teste |)ei*peiiâîêtilaife à cotte droite, et qui ^encontre la génératrice donnée.

Sup|k)90nâ d'abord que Ton prenne Taxe de rotation pduf aie des x, les coordonnées étant rectangulaires; un parallèle de là stirfA^e êeftt représenté par des équations de la forme

en exprimant que ce cercle rencontre la génératrice donnée, on obtiendra une équation de condition 9 (a, ^) = o entre les deux paramètres variables oc et fi. Si Ton élimine a et ^ entre cette équation et les deux équations du parallèle^ on aura lequation

de la surface de révolution.

4ft9 — Cherchons^ par exemple, Téquation de la surface

eagendrée par une droite AB^ tournant autour d'un axe OZ

(flg. 267). Prenons raxe de rotation pour axe des z, la perpendiculaire commune entre Taxe et la droite AB dans une de ses positions pour axe des y, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe des à!. La droite AB, dans cette position particulière^ aura pour équations

y = a, x = mz,

Ix a étant la plus courte distance OA, m Fig. !^. la tangente trigonométrique de Tangle

ZO»/ que fait l'axe OZ avec la droite OB' parallèle à AB. Pour que le cercle parallèle a;' -f- y2= a% z = ^ rencontre la droite AB, il faut que l'équation de condition a- — m2[:i* = a% que ion obtient en éliminant x, y, z cjitre lee équations de la

droite et celles da cercle, soit vérifiée; rélimination des deux paramètres Tariables « et ^ entre cette équation de condition et celles du cercle^ donne Téquation de la surface de révolution

Si Ton fait y = o dans cette équation^ on obtient la trace de la surface sur le plan XOZ; c'est une hyperbole oî* — in'«*=a', ayant son axe transverse OD dirigé suivant OX, et pour asymptotes les droites OB' et OC' également inclinées de part et d'autre sur OZ. On peut considérer la surface comme engendrée par cette hyperbole méridienne tournant autour de son axe imaginaire. C'est pourquoi on lui a donné le nom d'hyperioloïde de révolution à une nappe.

L'équalion (7) ne renfermant le coefficient angulaire m qu'au carrée il est clair que la même surface sera engendrée par les deux droites AB et AC, toutes deux perpendiculaires à OA, et également inclinées de part et d'autre sur la droite AZ' parallèle à OZ.

460— Considérons eu particulier le cas où la génératrice est la courbe méridienne; cette courbe, que l'on peut supposer placée dans le plan XOZ, est représentée par les équations y=o, ^{x, z)=o. Si Ton élimine a?, y, z entre ces deux équations et celles du parallèle a;*-f-y'=a% z = P, on obtient l'équation de condition ^ (a, p) = o. L'équation de la surface de révolution est donc

On l'obtient en remplaçant x par yjx^-i-y* dans Féquation du méridien.

Par exemple, si la courbe méridienne est l'hyperbole X* — m'j5*= a*, rhyperboloïde de révolution à une nappe aura pour équation aî'-Hy* — w'2'=a*.

Comme second exemple, considérons le tore, c'est-à-dire la surface engendrée par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan sans passer par le centre. Si l'on prend pour axe des js Paxe de révolution, et pour axe des x une perpendiculaire abaissée dii centre du cercle sur Taxe, l'équation du

sercle dans le plan das œz étant (âp~a)*-H2*=f*, celle de la

mrface sera

(v^^Ty* — a)* 4- «• = r«.

419M. — Supposons maintenant que Taxe de rotation OL passe par Torigine^ mais ait une direction quelconque dans l'espace.

Soient - = | = - les équations de cette droite. Tout parallèle de la surface sera donné par Tinterscctlon d'une sphère décrite de l'origine comme centre et d'un plan perpendiculaire à Taxe ; ce cercle sera donc représenté par deux équations de la forme

Fig. S6S. En exprimant que le parallèle rencontre

la génératrice donnée, on aura une équation de condition <p (a, P) = o entre les deux paramètres variables a et p. L'élimination de ces deux paramètres entre Téquation de condition et les deux équations du cercle conduira à l'équation de la sur* face de révolution

(8) <p(Va:*4-y'4-«% ax + 6y-}-c2-+-d) = o.

C'est une équation entre le polynôme du second degré 07^+ y'+ 2* et un polynôme quelconque du premier degré.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une surface de révolution autour d'une droite passant par l'origine. Considérons, en effet, la droite OL qui a pour

équations — = ^ =r -, et posons

l'équation proposée (8) devient 9 (ol, |3) = 0. A tout système de valeurs réelles de a et de ^ vérifiant cette équation, correspond un cercle donné par l'intersection d'une sphère ayant l'origine pour centre, et d'un plan perpendiculaire à la droite OL; le centre du cercle sera situé sur la droite OL, et le lieu des cercles formera une surface de révolution autour de cette droite.

4t0 UVHK V, CHAFrrRË IV.

Soppé^ons Mûù qoé l'axe de rotirtioB mr pante pà9 fMir l'origine; prenons un point fixe (œ^, y^y z^ sur cet axe dont les équations seront

Tout parallèle de la surface sera donné par Tinlersection d'une sphère [x — orj^-h (y — y^*-\- (^ — ^o)^ = ** ayant son centre au point fixe, et (l'un plaft ox-^-hy-^-cz + d^^^ perpendiculaire à ï'axe, réqualîon de là stifîâce de révolution sera donc de là forme

(9) î {'^K^^'^Y-^'^f^^^^ aj:-H-&i/~hc5 + d)=o.

PLAN TANGENt.

^409 — Nous commencerons par rappeler un théorème démontré en algèbre; supposons que les lettres x eiy désignent deux fonctions de la variable z, assujetties à vérifier l'éqtiatîon

(0 f{x,yrZ) = o.

Si Ton représente par oc/ et y' les dérivées de tes deux fonctions par rapport à la variable Zy m% deux dérivées sont liées entre elles par la relation

(2) jîY;4-yY;^/:==o.

En effet, quand x eiy sont des fonctions quelconques de la variable Zy la fonction f[x, y, z) est une fonction composée de cette même variable, et elle admet pour dérivée

Si Ton suppose maintenant que les fonctions x eïy vérifient réquation (1), Ift fonction f{x, y, z) étant constamnfient nulle, sa dérivée est aussi constamment nulles et, par conséquent^ les deux quantités a/ et ^ vérifient l'équation {2).

403 — Gela posé, considérons la surface représentée par réquation (i). Soit M un point de cette surface ayant pour coordonnées x, y, z; par le point M traçons sur la surface une ccmrbe quelconque MA (fig. 269); quand le point M parcourt la courbe, deux des coordonnées x et y peuvent être regardées

GÉNÉnÂTJOlH DES SIJKFAGICS. ill

comme des fonclionsde la iroisièmo :;; la nature de cet foDctions

i dépend de la courbe MA tracée sur la tUrfaco; mais elles satisfont constamment à réqtiation (i), et^ par suite, leurs dérivées à réquation (s). Appelons jr^ j/^ 3^ les coordonnées d'un second point M^ appariel'igTseo. nant à la courbe^ et Toisin du point H;

la sécante MM i est représentée par les équations

les lettres X, Y« Z désignant les coordonnées d'un point quelconque de la droite. Quand le point H| se rapproche indéfini-

ment du point M, les rapports •;^ — ^» ^ — ^ ont pour limites

les -valeurs des dérivées x' et y^ des deux fonctions xaiy au point M; la tangente MT à la courbe au point M est donc représentée par les équations

Ces équations renferment deux paramètres variables x^ et y' assujettis à vérifier Féquation (2). On obtiendra le lieu des tangentes au point M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce points en éliminant ces deux paramètres entre les deux équations de la tangente et Téquation de condition (2). Ce lieu a pour équation

(3) (X-x)fi-h(\-y)f;+{Z-z]fi = o.

C'est fin plan qu'on appelle le plan tangent à la surfaee att point H.

La normale à la surface au point M est la perpendiculaire menée par le point M au plan tangent à la stn'tace en ee point; ses équations ^nt

41141— Nous ayons démontré qu'en général les tangentes aux diverses courbes tracées sur une surface par un point M

ils UVRE V, CHAPITRE IV.

sont dansua même plan; il y a cependant des exceptions; c'est lorsque les trois dérivées partielles f», fyj fi sont nulles au point M; car alors l'étjuatioa de condition (2) devient une identité^ et pour trouver le lieu des tangentes, il faut recourir à un calcul plus compliqué. Cette circonstance se présente au sommet d'un cône; les tangentes aux diverses courbes tracées sur la surface par ce point sont les arêtes du cône^ et le lieu des tangentes est le cône lui-même. Lorsqu'une surface a un point singulier de celte sorle^ le lieu des tangentes en ce point, au lieu d'être un plan^ est un cône.

465— Si, par un point H^ on trace deux courbes sur la surface^ et qu'on mène leurs tangentes^ le plan de ces deux droites est le plan tangent. Lorsque par le point M passe une droite située sur la surface, cette droite^ étant elle-même sa propre tangente, est comprise dans le plan tangent. Certaines surfaces réglées, parmi lesquelles nous citerons le cylindre et le cône jouissent de cette propriété que le plan tangent est le même pour tous les points d'une même génératrice. Hais ceci n'a pas lieu pour toutes les surfaces réglées; considérons^ par exemple, le conoïde dont nous avons trouvé l'équation au n"" 4^7; les sections par des plans parallèles au plan YOZ sont des ellipses dont l'un des axes est constant et l'autre variable; les tangentes à ces diverses ellipses aux points situés sur une même génératrice GH ne sont pas parallèles, et, par conséquent, le plan tangent tourne autour de la génératrice GH quand le point de contact se meut sur cette droite. Par exception, le plan tangent est le même le long de la génératrice DB. En chaque point G de l'axe OZ, il y a deux plans tangents OGH, OGH^

Nous rappellerons encore que le plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact, ou, en d'autres termes, que la normale à la surface est contenue dans le plan méridien.

Une courbe dans l'espace étant définie par l'intersection de deux surfaces^ sa tangente sera donnée par l'intersection des plans tangents aux deux surfaces.

4M.— Considérons en particulier les surfaces du second

degré : soit

(5) f{Xyy, 2) = Ax*-4-A'y*4-AV+2Byjs4-2B'«x + aB'icy + 2Ca; + aC'y -h aCz 4- F = o

l'équation de la surface. On a

/i=2(Aa?+B''y+B'z-+-C),

/;=2(B''a? + A'y + Bz+C'), /:=2(B^a?4-By+A''z-hn,

= 2 (Aa?M-AV+A''zM-2Byz+2B'«a:H-2B''j:y-4-(ir-|-C'y-f-C^'«);

le point M étant sur la surface, ses coordonnées vérifient Téquation (5), et Texpression précédente se réduit à

— 2(Cx + C^y + C^z4-F).

L'équation du plan tangent devient ainsi

(6) (Ajî-hB''y-f-B'5;-f-C)X-+-(B''a?-hA^y + B2-+-C0Y -i-(Wx-hBy'hArz-hC'')Z'h{Cx + Cy'^Cz-h¥)=o.

On remarque que les coordonnées du point de contact n'entrent qu'au premier degré dans cette équation. Comme on peut mettre cette équation sous la forme

(7) (AX4-B»Y-*-B'Z + C)aî4-(B''X-f-A'Y+BZ4-C0y -+-(B'X4-BY-f-A''Z4-C')z4-(CX-HC'Y-f-C''Z + F) = o,

on remarque aussi qu'elle ne change pas, quand on permute les lettres x et X, y et Y, z et Z.

Proposons-nous maintenant de mener des plans tangents à la surface par un point donné P^ non situé sur la surface et ayant pour coordonnées x^^ y^, z^. Prenons pour inconnues les coordonnées Xy y, z de l'un des points de contact H; ces coordonnées doivent vérifier l'équation (5); d^autre part^ le plan tangent en M devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifient Téquation (6) ou l'équation (j), et Ton a

(8) (\x,'hB"y,'^Wz,-hC)x-h{B"x,'hX^y,-hBz,'{-C)y 4-(B'a;4+By,-hA%-*-C'')z + (Ca?,+C'î/4+CX-^F) = o.

Le lieu du point de contact est la courbe plane suivant la-

41i LIVRE V, CHAPITRE IV.

quelle le plan (8) coupe la surface du second degré. Considérons 1^ cône qpi a pour sommet le point P et pour directrice celle courbe plane; par un point quelconque M de celte ligne passe une arête du cône^ laquelle est située dans le plan langent en M à la surface; ce plan contenant aussi la tangente en H à la courbe directrice n'est autre chose que le plan tangent au cône suivant l'arête PH; le cône est donc tangent à la surface du second degré en tous les points de la courbe directrice.

KXEHCiCIS.

40 L*I3^(9 4*un çQBe i0 révolution passe è rorigine des eoordoDii^es et fait avec les axe^ des angles 9, p, y; Tapgle du cône est 0; trouver Téquation de la surface.

Comme application, trouver les conditions pour que l'équation du second degré

Ax«4-A'y«H-AV + 2By3-4-2B'5.r-+-2B''JV=Q

ritpréseqte up cône de révolution.

2* Étant donné un ellipsoïde de révolution aplati (surface engendrée par une ellipse tournant autour de son petit axe); le cône, engendré par une droite qui tourne autour du foyer de Tune des ellipses méridiennes en s'appuyant sur la seciion faite dans la surface par un plan passant par la directrice qui correspond à oe foyers ^st un côoe de révolution.

3" Étant donné ui) ellipsoïde de révolution allongé (sarfaco engendrée par une ellipse tournant autour de son grand axe}, le cône, qui a pour sommet Tun des deux foyers des sections méridiennes et pour base une section plane quelconque, est de révolution.

4* La projection d*une section plane du cône circulaire droit sur un plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet du cône, a pour Tun de ses fbyeps le sommet du cône, et pour directriet correspondante h droit« de rt nconiro des deux plans.

5* I^orsqn^upc section pUne d*un cônt circulaire droit est ttn« ellîpse, la fomme des arêtes qui siboutissent aux extrémités d'un diamètre de ToHipse est eonstante.

6« Démontrer qu'un plan tangent au loro et passant par le centre coupe la surface suivant deux cercles.

La sphère qui a pour gfand cercle un cercle tangent aux deux cercles qui forment Tun des méridiens du tore coupe le tore suivant deux cercles.

7* Troof er la sectioo droite d'un cylindn eirconscrit h un tore.

8* Démontrer que les six arêtes de deux trièdres trirectangles, ayant même sommet, appartiennent ft un méffi^ ^ne du deuxième degré.

9^ Étani donné un conoïde dont Taxe est perpendiculaire au plan directeur et qui enveloppe une sphère; trouver les projections de la courbe de contact sur le plan directeur et siu* le plan mené par Taxe et le cenli-e de la sphère.

10* Étant donné bd système d^axei rfctapgubirei, un (ore a \)0^$ piéri- (jiei^ djftm le plaii 20X un cercle qui a 2»ofi ceiflre sur Taxe OX ; cet axe reqconK^ ^^ cercle en un poii^t A, oonired*un nouveau cercle égal au premier et cpmpris ^ans yn plan parallèle h ZOY, pne droite qui reste parallèle au plan XOy décrit un conoîde en s*appuyant sur ce second cercle et sur Prixe OZ; on demande la projection sur )e plan XOY de la courbe de rencontre des deux surfaces.

M® On suppose que le plan du second cercle du problème précédent s'fnroule sur un cylindre circonscrit au tore et aynnl des arêtes parallèles 5 l'axe du tore, et on remplace la direririce courbe du conoïde par la courbe en laquelle s'est transformée lo cerclo après reuroulemeat du plan ; trouver U projection sur le plan KÛV de la ligne de rencontre du nouveau conoîde ^t du tore (spira)e d'Arcbiipède).

\%^ Lorsque deux surfaces réglées ont une génératrice commune, il y a générale naent deux points de celte génératrice pour lesquels le plan tangent à chacune 4çs siirraces est le même; déterminer ces deux points. Si les deux surfaces ont le même plan tangont pour trois points de la génératrice, elles se raccordent le long de cette droite.

W Lorsque deux surfaces réglées^ décrites par des droites qui se meuvent en restant parallèles au même plan, ont une génératrice commune^ il V a généralement un point de celle droite, pour lequel les deui surfaces ont le même plan tangent; déterminer ce point. Si les deux surfaces ont le même plan taogent en deux points de la génératrice commune, ellea se raccoréett !• long de cette droite.

14^ Uqe spbère a sop centre ï Torigine des coordonnées que Ton suppose rectangulaires, Taxe OX perce la sphère en un point A ; dans le plan XGY, sur OA comme diaipètfe, oq décrit un cercle qui sert de base à un cylindre dont les arêtes sont parallèles à OZ; trouver, 1« les projections sur les trois plans coordonnés de la courbe de rencontre du cylindre et de la sphère; 2* Téquation du cône qui a pour directrice cette courbe et pour sommet le point A, ce cône est un cône de révolution; 3* les traces sur les plans des coordonnées des tangentes à la courbe.