DE L'HOMOGÉNÉITÉ
Nous supposerons que Tinconnue est une ligne droite; luand rinconnue est une surface ou un volume, on la repré- ;ente par ax ou a^x, a étant une ligne prise arbitrairement; a construction de la ligne x donne un rectangle ou un paraiélipipède équivalents à la surface ou au volume cberclié. La létermination d'un angle donné par une de ses lignes trigononétriques se ramène aussi à celle d'une droite. Nous supposerons encore que toutes les lettres désignent^ ainsi que x, des ignés droites.
^•— Formule rationnelle. — La formule, qui donne Tinsonnueo;, doit être homogène et du premier degré; elle peut J'aîUeurs être entière, rationnelle ou irrationnelle. Quand elle est entière elle a la forme
et on obtient la longueur x en portant à la suite Tune de l'autre, dans un sens ou dans l'autre, les longueurs a, b, c.,,, La formule fractionnaire la plus simple est
ab
L'inconnue est une quatrième proportionnelle que Ton construira par deux parallèles ou un cercle. On construira de même la formule
abcd ^ >^^ >^^^
ab^c a b' d
par une série de quatrièmes proportionnelles,
ci û fry aS
A l'aide de la construction précédente, un monôme
- ... 7 r- du degré m se ramènera a la forme cl% .,.L ou
dVd...g ° '
encore à la forme >."*~^i, \ étant une longueur quelconque
et X une ligne déterminée par la formule
ai. . ./
48— Construction des racines de l'équation du second DEGRÉ. — L'équation du second degré à une seule inconnue se ramène à la forme x^+px-i-q^o; pour qu'elle soit homo^ gène^ il faut que la quantité p soit du premier degrés et q du second degré; si ces quantités sont rationnelles ou irrationnelles du second degrés on pourra construire une ligne a équivalente à la première et un carré 6* équivalent à la seconde; et réquation du second degré présentera Tune des quatre dispositions suivantes :
x'*-hax-hb^=o,
x^-^ax — 6*:=o,
x^ — ax-{-b^ = Oy
j?' — ax — 6* = o.
Les racines de la première et de la seconde équations sont égales à celles de la troisième et de la quatrième, prises en signes contraires; il suffit donc de considérer celles-ci; or, si on les met sous la forme
on voit qu'il s'agit de construire un rectangle équivalent à un carré 6*, et dont la somme ou la différence des côtés soit égale à une ligne donnée a, problèmes que Ton résout en Géométrie élémentaire. La résolution des équations et la construction des formules feraient au besoin retrouver les solutions de la Géométrie.
L'équation bi-carrée se ramène pareillement à l'un des types
x^-habx* — c*d' = o, £C* — abx^ -H c* d* = o, ic* — abx^ — c*d* = o;
car il est inutile de considérer Téquation x^-\-abx^-{-c^d^=Oj qui n'a que des racines imaginaires. Si l'on pose x^=zczy ces équations deviennent
s* H z — d* = o. jg' js 4- d* = o, z' js— d'= o.
On détermine, comme on vient de le dire, les racines z de celles-ci, puis on trouve x par une moyenne proportionnelle entre c et z.\
Transformation des coordonnées.
Quand on connaît Téqualion d'une ligne par rapport à certaines coordonnées, il importe de pouvoir en déduire Téquation de la même ligne par rapport à d'autres coordonnées.
Pour résoudre cette question d'une manière générale, il faut trouver des formules qui expriment les coordonnées d'un point quelconque du plan dans un certain système, au moyen des coordonnées du même point dans un autre système. Ces formules sont utiles aussi dans un grand nombre d'autres questions.
Nous nous occuperons en premier lieu de la transformation des coordonnées rectilignesen d'autres coordonnées rectilignes.
