C.=Ca +C^p -hC^y
CÏ=Ca''-f-C'P'' + C'Y'.
En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramène réquation précédente à la forme
si Cj est différent de zéro> et à la forme
si Cl est nuL Le coefficient C^ qui subsiste dans Téquation réduite est celui qui correspond à la racine simple S = o.
500 — Si deux racines S et S' sont égales à zéro^ par la première transformation l'équation devient
S''j5'«-h2C4a/4-2Ciî^-f2CÎJ5'-f-F = o.
Nous avons vu que, pour cette racine double S=:o, les relations (20) du n** 489 se réduisent à une. Pour déterminer l'une des directions correspondantes, on peut joindre à cette équation une seconde cquaiion prise à volonté; nous prendrons
de cette manière on aura C{ =0. L'autre direction sera.ensuite complètement déterminée, ainsi que le coefficient C^. Cela posé, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramènera Téquation à la forme
S"js«H-2C4a? = o,
si C^ esl différent de zéro, et si C^ est nul^ à la forme
Remarque. Lorsque deux racines S' et S^' sont égales sans être nulles, la surface est une surface de révolution. Si les trois coefficients B, B', V sont différents de zéro, les conditions pour qu'il y ait une racine double sont (n** 491)
B^B'^ B;^ Bff.
et si Ton appelle a, p, y les cosinus des angles de la direction
de Taxe de révolution avec les axes des coordonnées^ on a
iL- P -JL
Lorsqu'un seul des coefficients B^ B^, B^^ est égal à zéro, réquation en S n'a jamais de racine double. Si deux coefficients W, B" sont nuls, la condition pour Texistence d'une racine double est ^n"* 49^)
et, dans ce cas, on a
SOI — ^Nous ayons ramené Téquation des surfaces du second degré qui ont un centre unique à la forme
Sa;*-i-S'y»-hS''2* = H,
en rapportant la surface à ses trois plans principaux.
Supposons d'abord que les trois racines aient le même signe, par exemple le signe +. Si le terme constant H est négatif, réquation n'est vérifiée par les coordonnées d'aucun point de Tespace. Si le terme constant H est égal à zéro, l'équation n'est satisfaite que pour x = y = z^=-o; elle représente un seul point, l'origine. Considérons enfin le cas où H est plus grand que zéro, et posons
réquation se met sous la forme
, , ic* y» js*
La coordonnée x ne peut varier que de — a à -4- a, y de— ft
443 LIVRE VI, GHAPlTRi; lU.
k -hb, z de --c k -hc; preoops sur Taxe de$ a?, de pari et d'autre de l'origine, des longueurs OA et OA' égales à a, sur Taxe des y deux longueurs OB et OB' égales à 6, sur Faxedes z deux longueurs OC et OC égales à c (fig. 271). Par les points A et A', B et B', C et C, Imaginons des plans respectÎTeracnt parallèles aux plans YOZ, ZOX, XOY, la surface sera entièrement comprise dans le parallélîpipède rectangle ainsi formé. On a donné à cette surface le nom d'ellipsoïde.
&08— L'origintt est un centre de l'ellipsoïde. Les plans coordonnés, qui sout les trois plans principaux de Tellipsoïde, coupent la surface suivant trois ellipses ABA', BCB^ CAC^ que Ton appelle seclions principales de rellipsoïde.
Si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan YOZ,
on obtient pour section Fellipse
Zi
Fig. 271.
4ont le centre I est sur Taxe ^ des X. Les points de la courbe étant deux à deux 9yniéirî(|ues par rapport au centra I, les points de la surface sont symétriques deux à deux par rapport à la droite OX, qui est ainsi un axe de la surface. A mesure que le plan sécant s'éloigne da plan principal YOZ, c'est-à-dire quand x Tarie de o à a, l'ellipse d'intersection reste toujours semblable à l'ellipse CBC^ mais diminue jusqu'à se réduire à un point. Il en est de même des sections parallèles à chacun des deux autres plans principaux. Ainsi rellipsoïde admet trois axes qui sont les intersections des pians principaux deux à deux. Les extrémités des axes sont les sommets de rellipsoïde. Si Ton suppose a>b>e, 2a sera l'axe majeur, 2b Taxe moyen, 2c l'axe mineur.
Soit H un point quelconque de rellipsoïde (fig. 272); par ce point et le grand axe faisons passer un plaa; ce plan coupe la surface suivant une courbe du second degré fermée, par conséquent, suivant une ellipse; à c^use de la symétrie, les axes de cette ellipse sont la droite AA^ et le diamètre Diy suivant
D£ y£LUPS01D£.
lequel le plap sécant coupe rellipse principale CBC^B^; le rayon
OD, compris entre les deux axes 6 et c de celte ellipse principale^ est plus grand que c; mais d'un autre côté le rayon OM est compris entre OD et a; ce rayon ^i donc compris eaU^ c et a. On conclut de là que le plus grand Fig. 37:2. rayon de rellipsoïde est le demi-
grand axiS OÀy le plus petit le demi-pelit axe OC.
