DIAMÈTRES CONJUGUÉS

S05 — On dit que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués, quand chacun d'eux est conjugué du plan des deux autres. Nous avons déjà reconnu Texistence de pareils systèmes de diamètres (n** 485); menons arbitrairement un premier diamètre OD (fig. 273) et considérons le plan diamétral conjugué; ce plan coupe ^' l'ellipsoïde suivant une ellipse; prenons deux diamètres conjugués quelconques OE, OF de cette ellipse; les trois diamètres OD, OE, OF formeront un système de diamètres conjugués; ^*8- ^^' car si Ton prend poui; axes des

coordonnées les trois droites OD, OE, OF et que Ton appelle a', V, d, les longueurs des trois rayons OD, OE, OF, d'après le raisonnement qui a été fait précédemment (n® 484}> l'équation de l'ellipsoïde se mettra sous la forme

• On en conclut que les trois axes des coordonnées forment un système de diamètres conjugués, ou, ce qui revient au même, que les trois plans des coordonnées forment un système de plans diamétraux conjugués.

On Toit bien, à Taide de cette équation, comment varient les sections parallèles; si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan diamétral Y'OZ^ on a une ellipse

homotbétique à Vellipse diamétrale EOF et ayant son centre au point I sur le diamètre OD; cette ellipse va en diminuant à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan diamétral; elle se réduit au point D, quand le plan sécant passe par ce point et alors le plan est tangent à la surface; au delà le plan ne rencontre plus la surface; en d'autres termes, il la coupe suivant une ellipse imaginaire dont le centre est réel et situé sur le prolongement de OD. Il en est de même de Tautre côté.

600 — Cherchons maintenant les relations qui existent entre les directions des trois diamètres conjugués OD, OE, OF. Désignons par a, p, y les coefficients du premier diamètre, par a/, P', ^ ceux du second, par a'^, p^', ^' ceux du troisième. Le plan conjugué du diamètre OD a pour équation

ce plan contenant le diamètre OE, on a la relation

446 LIVRE Vï, CHAmRE III.

On obtient ainsi les trois relations

qtii expriment qne chaque diamètre est conjogoé do plan des dent autres. La première de ees relations signifie qne les deux diamètres OD^ OE sont conjugués entre eux.

AUT-^Considérons deux systèmes de diamètres conjugués ODEF, OIVE^F («g. S74). Soit 00 le diamètre suivant lequel se coupent les deux plans EOF^ E'OF, OH et OH' les diamètres conjugués de OG dans ces deux plans. Si, conservant OD, on

remplace les diamètres conjugués OE, OF par deux autres diamètres conjugués OG, OH de la même ellipsC; la somme des carrés ne change pas; de même^ si, conserrant OIK, on remplace les deux diamètres cou' Fig. 274. jugués OE', OF' par deux autres dia-

mètres conjugués OG, OH' de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas. On a alors deux systèmes de diamètres conjugués OGHD, OGH'iy, qui ont un diamètre commun OG, les deux autres, étant situés dans le plan diamétral conjugué de OG, appartiennent à la même ellipse; donc la somme des carrés est la même. Ainsi, la somme dei carrés de trois diamètres conjugués est constante ei^ par conséquent, égale à là somme des carrés des axes.

On démontre de la même manière que le volume du parailélipipêde construit sur trois diamètres conjugués est constant; lorsqu'on remplace le système ODEF par le système ODGH, le volume ne change pas; car les deux parallélii)ipèdes ont des bases équivalentes, les parallélogrammes EOF, GOH, et même hauteur, la perpendiculaire abaissée du point D sur le plan des bases*

Fig. 975.

SECTIONS CIB€ULAI1I£S.

SOS^Parmi les sections planes de rcllipsoîde^ il importe d'examiner en particulier les sections circulaires. Supposons qu'un plan diamétral coupe rcllipsoïde suivant un cercle

(flg. 2^5); soit OD le diamètre conjugué; si^ dans le plan du cercle ^ on prend la projection OE de OD et un diamètre OF perpendiculaire à OE, on aura un système de trois diamètres conjugués; or le diamètre OF est perpendiculaire au plan diamétral conjugué DOE; donc ce plan est un plan principal et OF Tun des axes de la surface. Ainsi les plans diamétraux qui coupent Tellipsolde suivant des cercles passent par Tun des axes de la surface. Gel axe est Taxe moyen BB' de rcllipsoïde; car, nous avons vu (n'' 5o2) que^ lorsque le plan sécant passe par le grand axe AA^ les deux axes de l'ellipse diderent nécessairement; il en est de même quand le plan sécant passe par le petit axe CC^

Lorsque le plan sécant passe par Taxe moyen BB^ les deux axes de Tellipse d'intersection sont l'axe BB' et le diamètre DIX

suivant lequel le plan sécant coupe l'ellipse principale ACA' (flg. 276).

La longueur de ce diamètre DD^ variant de ce à A A^, pourra être égale à BB^^ et alors la section sera un cercle. Du point 0 comme centre^ avec un rayon égal à 6 et dans le plan principal ACA' décrivons un arc de cercle qui coupera l'ellipse principale en D et E; menons les diamètres OD et OE; les deux plans diamétraux BOD^ BOE couperont Tellipsoïde suivant des cercles. On conclut de là que l'ellipsoïde à trois axes inégaux admet deux séries de sections circulaires.

Quand l'ellipsoïde est de révolution^ les deux plans BOD, BOE se confondent avec le plan principal perpendiculaire à Taxe de rotation^ c'est-à-dire avec Téquateur de la surface. On n*â plus alors qu'une série de sections circulaires*

Fi «.376.

On peut mettre en évidence Texistence des sections circulaires en écrivant l'équation de l'ellipsoïde sous la forme

-=^(^-si)-'-(?-^)=

si on désigne par --; ^^ "î ^^ quantités positives ^ ; et

-5— gj» réquation devient

L'intersection de la surface par le plan — h-=a, a étant une constante arbitraire, est située sur la sphère

on a ainsi une première série de sections circulaires. Le plan

= B donne une seconde série de sections circulaires.

L'équation précédente signifie que le carré de la tangente

menée d'un point quelconque de Tellipsoïde à la sphère

x*+y*+J3' = b' est au produit des distances de ce même

point aux deux plans diamétraux — j î = o^ que Ton appelle plans cycliques, dans un rapport constant.

Des hypcvbolofdes.

Considérons maintenant le cas où les trois racines de l'équa^ tion en S n'ont pas le même signe; supposons, par exemple, que les deux racines S et S' soient positives, et la troisième négative,