CÔNE

509— Si le terme constant H est nul, Téquation

Saî«+S'y«-4-SV = o,

DES HYPERBOLOI0ES.

CTs^

étant homogène par rapport à Xy y, z, représente un cône (n*»454). Si l'on pose

tanga=i/réquation prend la forme

tangp = Y/

tang*a tang'^

Le plan principal XOZ coupe la surface suivant deux droites

OAy OA^ faisant avec OZ un angle égal à a; le plan principal YOZ suivant deux droites OB, OB' faisant avec OZ un angle égal à ^ (flg. 277). Le plan principal XOY coupe la surface suivant un éeul point 0. Tout plan parallèle au plan XOY donne une ellipse ABÂ' ayant pour équation

Fig.Sfn.

tangua tang^fi

cette ellipse qui a son centre I sur Faxe OZ^ augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s*éloigne du sommet. Ainsi on peut regarder le cône comme engendré par une droite OM^ qui tourne autour du point 0 en glissant sur Tellipse ABA^ En supposant S plus grand que S' et, par conséquent, a plus petit que ^, on voit que Tangle que fait la génératrice OM avec Taxe OZ varie de a à p. Le cône est formé de deux nappes égales situées de part et d'autre du sommet. L'équation des cônes du second degré se ramenajit à la forme (i), il en résulte que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit à base elliptique.

Les plans perpendiculaires à chacun, des deux autres axe^ OX et OY coupent le cône suivant des hyperboles ayant.leurs centres sur ces axes. Les trois axes des coordonnées sont des axes du cône; l'un OZ est situé à l'intérieur du cône, les deux autres à l'extérieur. Par rapport à chacun de ceux-ci, un point quelconque du cône a son syméttique sur l'autre nappe; par rapport au premier, un point a son symétrique sur la même nappe.

4B0 LIVRE Yi, GHAPITIIl IV.

lioroqu^m a S sa S^» ou a e=^^ te o&ne est de réf^utton autour de la droite OZ.

fiYrEIOlOLOlDE A fJHB KAPPB*

ftlO— SupiH)sons que le terme cposlaot H ait UPe v^ur positive et posons

l'équation de la wriace prendra Ja foroie

Le pian prineipal XOY coupe la^urfaee suivant une ettipse ABA'

<&g. s^8); te plan principal XOZ sui- ^nt une hyperbole dont A' A est l'axe transverse et OZ Taxe imaginaire; le plan principal YOZ coupe de même la surface suivant une hyperbole dont B6' est Vexe transverse et OZ Taxe imaginaiFe. Si fon coupe la surface par des plans parallè^ m plan XOYj «onade^^eU^ttes hoaiQthétiq«es

Fig, ^n. qui tonl leurs centres snr OZ, M tjui

vevrt «n augmentent Indéftnknent à mesure que le plan sécant iféloigne dn plan principal d'un côté tm de fautre; f ellipse minimum ABA' déterminée par te (dan principal ^'appelle ^^tnSpuéey^rfft. On voit par là (jue !a sutfaee est formée d'une leule nappe eonfinne qnf %'élenâ indéiniment en s'onvrant de fliMsen pins de thaqne cMé du plan de felUpse de goi^. On %, donné % ^eette ^surface le nom é^hyptrboloîde à une nappt.

ties plans paraSètes an plan XOZ coupent ht surface suivant des h^fperboles homotiiéliq'ues ayant leurs centres sur 0¥; de Même les fians parallèles an plan YOZ coûpefl^ la surface smvaut des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OX.

PI» HTPEBBObOIMB. Mi

a rémUa da 1& que Thyperboloîde i uns nwfjm mUnet toNs axee^ deux réels AA' et Bh/, ua imaginaire 0Z« Les deux aies réeU aonl le» axes de l'ellipse de gorge; Taxa iinagiiiaira OZ mi situé à l'intérieur de la surface.

Lorsque les deux axes réds devieaneat égaut, les sections parallèles au plan Wï étant des cereksi, la surlaoe est de séwlution; elle est eBgendrée par une hypexbok tournant ûvàamc de son axe imaginaire OZ.

HTPERBOLOÏDB A DEUX JAPPES.

ftflfl— Examinons enfin le cas où le tanna constant H a une Taleur négative; si Ton |W66

réquation prend la forme

Les deux plans principaux XOZ, YOZ coupent la surïaçe suivant

des hyperboles dont Taxe transverse CG a une longueur égale à 2C et est dirigé suivant Taxe OZ (flg. 279). Le plan principal XOY ne rencontre paa la surface.

La section faite par ud plan parallèle au plan XOY est une ellipse

qoisst

Fig. S79.

mais cette ellipse n'est réelle que si la valeur absolue de z est plus grande que c; si donc par chacun des points C et C^ on mène un plan parallèle au plan XOY, il n'y aura aucun point du lieu situé entre ces deux plans. Si la plan sécant s'éloigne & partir du point G, l'ellipse, réduita à un potot , attgmettte is^éfiniment) et

dsnâna de l'autre aM^ à partir àa point (y.On'^t parla

qné la sur&tce se compose de deux nappes infinies et séparées l'une de l'anti-e; on lui a donné le nom à'hgperbokfide à deux nappa. La surface a trois axes, un réel CG', deux imaginaires OX et OY.

Ouand lès deux axes imaginaires za et 26 deviennenl égaux, la earface est de rérolntion; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe transverse CC'.

ftlV— On dit que deux hyperboloïdes'sont conjugués, lorsqu'ayant même centre et mêmes axes en grandeur et en direction, les axes réels dans l'un sont imaginaires dans l'autre; il est clair que les équations

représentent deux hyperboioïdes conjugués. Va plan sécant mené par l'axe OZ coupe ces deux surfaces suivant des hyperboles; l'hyperbole située sur l'byperboloïde à deux nappes a pour axe transverse CC; celle qui est située sur l'hyperboloïde à une nappe a pour axe transverse le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe l'ellipse de gorge. Soit y =: mx l'équation du plan sécant; l'équation

provenant de l'élimination de y donne les projections des courbes d'intersection sur le plan XOZ ; ces courbes projections sont des hyperboles coi^uguées ayant pour asymptotes communes les deux droites représentées par l'équatioD

Flg. 980. ^ G.

o' fc' c' Si, à cette équation, on joint celle du plan sécant y = mx, on aura les asymptotes des hyperboles dans l'espace. Imaginons

DES HYPERBOLOIDES. 4tô

actuellement que le plan sécant tourne autour de Taxe OZ ; ces asymptotes décriront un cône que nous appellerons cône asymptote deshyperboloides; on obtient son équation en éliminant le paramètre variable m entre les deux équations précédentes, ce qui donne

Ainsi les deux hyperboloïdes conjugués ont même cône asymptote. L'byperboloïde à deux nappes est situé à Tintérieur du cône^ rhyperboloïde à une nappe à Textérieur (fig. 280).

&fl3 — Plus généralement le cône asymptote est le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles déterminées dans les deux surfaces par des plans passant par le centre. En effets soit z = mx + ny Téquation du plan sécant^ les courbes d'intersection ont pour projections sur le plan XOY

x^ y^ (mx •+- ny)*

les asymptotes sont représentées par Téquation

X* . y» (fiu?+»y)*

jointe à celle du plan sécant. Il arrive ici que Ton peut éliminer à la fois les deux paramètres variables m et n entre ces équa* tions^ ce qui reproduit le cône asymptote

Nous ferons remarquer que, lorsqu'un hyperboioïde est rapporté à ses axes y si dans l'équation on supprime le terme constant, on obtient le cône asymptote^ et que^ si Ton change le signe de ce terme constant^ on obtient rhyperboloïde conjugué. Il est clair^ d'après les formules de transformation des coordonnées, que la même propriété a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques passant par le centre.

métrai dépend de la direction des cordes. Par le centre, menons une parallèle aux cordes ; si cette droite est située à Tintérieur du cône asymptote, il est évident que chaque sécante rencontre les deux nappes du cône et que, par conséquent, le point milieu est entre les deux nappes; le plan diamétral, ayant tous ses points entre les deux nappes^ coupe le cône suivant un point. L^fayperboloïde à une nappe, étant situé à l'extérieur du côneasyroptote» sera coupé parle fdan diamétral suivant une ellipse réelle; cette ellipse est la courbe de contact d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles aux sécantes et circonscrit à Thyperboloïde ; le cylindre circonscrit est situé à l'intérieur de Thyperboloïde. L'byperboJoîde à deux nappes étant silné, au contraire, à Tintérieur du cône asymptote, le plan diamétral ne rencontre pas la surface; aucune des sécantes ne devient tangente, et il n'existe pas de cylindre circonscrit dans cette direction.

Si la droite, menée par le centre, est située à rextérieur du cône asymptote, une parallèle rencontrant le cône percera une même nappe en deux points, et, par conséquent, le point milieu sera situé à l'intérieur du cône; le plan diamétral, pénétrant à Tintérieur du cône, coupera ce cône suivant deux droites, et, par conséquent, les byperboloides suivant des hyperboles conjuguées. Chacune de ces hyperboles sera la courbe de contact d'un cylindre circonscrit ayant ses arêtes parallèles à la direction donnée.

ftflS — Il est un cas où il n'y a plus de plan diamétral; c'est lorsque la droite menée par le centre appartient au cône asymptote; dans ce cas, toute parallèle ne rencontre la surface qu'en un point et le point milieu est à l'infini. Cependant l'équation (6) représente encore un plan passant par le centre; c'est la position limite vers laquelle tend le plan diamétral, quand la droite (5) se rapproche de plus en plus du cône. Le plan tangent au cône au point (x^ y, z) a pour équatioi\

xX yX zZ ^i le point de contact appartient à la droite (5), cette équation

DES HYPERfiOLOIDBS. 457

devient

aX PY vZ

c'est réquation (6) ; ainsi, quand les sécantes deviennent parallèles à une arête du cône asymptote, le plan (6) coïncide avec le plan tangent au cône suivant cette arête.

HL9 — ^Les sections faites dans les hyperbolmdes et dans le cône asymptote par un même plan étant concentriques» le lieu des centres des sections parallèles est le même dans les hyperboloïdes et dans le cône; or, il est évident, à cause de la similitude, que dans le cône ce lieu est une droite passant par le sommet du cône.

Lorsque les sections sont des ellipses, le lieu des centres, ou le diamètre, étant situé à Tintérieur du cône, rencontre Thyperboloïde à deux nappes, mais ne rencontre pas Thyperboloîde aune nappe. Lorsque les sections sont des hyperboles, le diamètre étant à Textérieur du cône, rencontre, au contraire, Thyperboloïde à une nappe et ne rencontre pas Thyperboloïde à deux nappes.

On obtient un système de trois diamètres conjugués de Thyperboloïde à une nappe en prenant un diamètre quelconque, et, dans le plan diamétral conjugué, deux diamètres conjugués de la section. Il est aisé de voir que^ de ces trois diamètres conjugués, deux OD, OE sont toujours réels, un OF imaginaire. En effet, si le premier diamètre est réel, le plan diamétral, comme nous Tavons dit (n° 517), coupe la surface suivant une hyperbole, dans laquelle un second diamètre sera réel, le troisième imaginaire. Si, au contraire, le premier diamètre est im^^inaire, le plan diamétral conjugué coupe la surface suivant une ellipse réelle, dans laquelle deux diamètres conjugués sont réels. L'équation de là surface rapportée à ces diamètres conjugués prend la forme

Deux hyperboloïdes conjugués, ayant le même diamètre pour la même série de plans sécants, admettent les mêmes

IM LlVae VI, GHAPllRE Vf.

systèmes de diamètres conjugués; seulement un diaoDàfare, réel dans Tun^ est imaginaire dans Tautre^ de sorte que^ dans rbyperboloïde à deux nappes^ de trois diamètres conjugués, deux sont toujours imaginaires, et un réel. ; Pour former un système de diamètres conjugués, nous a^ons nené par le centre une première droite arbitrairement; il faut^ loutefoid, que cette droite n'appartieuM pas i^u cône asymptote. . SSO^U nous est facile maintetiant de compléter Tétude ^es sections planes ded byperbolmdes« Imaginons la surface rapportée à un système de plans diamétraux ooiyngués dont Tun soit parallèle au plan sécant; l'équation prendra la forme

Considérons d*abord rbyperboloïde à une nappe. Si le plan sécant est parallèle au plan DOE^ la section est une ellipse

î?« + g7i — ï-^-pî»

toujours réelle, dont le centre est sur le diamètre imaginaire OF; et qui augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan diamétral, d'un côté ou de Tautre. Si le plan sécant est parallèle au plan EOF, la section est une hyperbole

dont le centre est situé sur le diamètre réel 0D> et dont les asymptotes sont parallèles à celles de l'byperbole déterminée par le plan diamétral a; = o; cette byperbole admet aussi deux diamètres conjugués respectivement parallèles à ÛE et à OF. Quand a; varie de o à a^, le diamètre réel est parallèle à 0£, et diminue de V ko; pour x = q/, Tbyperbole se réduit à deux droites passant par le point 0, et le plan devient tangent à la surface au point D; quand j? croit ensuite à partir de a^, le diamètre réel est au contraire parallèle à OF et augmente de zéro à Tinâni; l'byperbole a changé de disposition; d'abord située dans les angles des asymptotes qui comprennent le diamètre Oë, elle a passé dans les angles supplémentaires. I^ tranmtion s'opère par le système de deux droites.

BES HTPERDOLOim». 4M

S91«^€0Dfidéroiis maintenaiit l'hyperMoide à 4et» nappM. Les secthnois poraUëlet au plan DOE sont des ellipses

dont les centres sont situés sur le diamètre réel OF ; quand z Tarie de okd, Tellipse est imaginaire; pour iS = (K^ elle se réduit à un point; quand z croit à partir de dy Tellipse détient réelle et augmente indéfiniment. Les sections parallèles au pian fiOF sont des byp^boles

dont le diamètre réel est toujours parallèle à OF et augmente indéfiniment. L'hyperbole a toujours la même disposition.

ftSIS—Nous n'avons parlé jusqu'à présent que des sections elliptiques ou hyperboliques. La transformation précédente ne peut plus être effectuée, lorsque le plan sécant est parallèle à un plan tangent au cône asymptote; dans ce cas la section est une parabole, égale à celte que détermine le plan sécant sur le cône asymptote^ et il est évident^ d'après la similitude^ que le paramètre de la parabole tracée sur le cône par le plan sécant augmente proportionnellement à la distance de ce plan au centre.

Pour étudier la position de la courbe^ nous nous servirons d'une autre forme extrêmement simple^ sous laquelle on peut mettre l'équation de l'hyperboloïde. Prenons pour axe des y l'arête suivant laquelle le plan tangent au cône asymptote touche ce cône (fig. âSi)^ pour axe des z une autre arête du cône asymptote^ et pour axe des x le diamètre conjugué du plan YOZ^ l'équation des hyperboloïdes se réduira à la forme

(7) Aa;«-+-Byz=±i;

car elle ne dc»t pas contenir de terme du premier degrés et^ lorsqu'on y fait a)c=^Oy on doit obtenir l'équation d'une hyperboto rafHporté^ à ses asymptotes. On peut toujours supposa les de«x constantes A et B positives.La surface et^t un byperbdoiciè à une nappe ou à deux nappes suivant que le second membrr

MO UVRE YI, COAPITRE IV.

est positif ou aégatif ; puisque le plan 2=0 coupe la surface

dans le premier cas et ne la rencontre pas dans le second cas.

Les sections des deux surfaces par le plan YOZ sont des hyperboles conjuguées. L'équation du cône asymptote est

Ax^-hByz = o;

elle montre que les plans XOY et XOZ sont tangents au cône suivant les arêtes OY et OZ. Si la surface est un hyperboloïde à une nappe^ elle est coupée par le plan z = o suivant deux droites AB, A'B^ parallèles à OY (fig. 281) ; tout plan parallèle j5 = Y coupe la surface suivant une parabole Ax*-h Byy = i, qui a pour diamètre la trace CD du plan sécant sur le plan YOZ. L'extrémité C de ce diamètre appartient à Thyperbole GH, G' H', suivant laquelle le plan YOZ coupe la surface.

La direction du diamètre change avec le signe de y* D'\ \ \ \ / / Les sections faites dans Thy-

perboloïde à une nappe par les plans z ==t= y ont la dis-

Fig. 981.

position indiquée sur la fig.