SECTIONS CIRCULAIRES

S 93— Considérons d'abord Thyperboloïde à une nappe. D'après les raisonnements qui ont été faits à propos de Tellipsoïde (n^ 5o8]^ on reconnaît qu'un plan diamétral^ qui coupe rhyperboloïde suivant un cercle^ doit passer par l'un des axes réels de la surface.

Lorsqu'un plan 60D (fig. 283]^ mené par Taxe OB^ coupe la surface suivant une ellipse^ l'un des axes de l'ellipse est OB,

l'autre la trace OD du plan sécant sur le pian XOZ; mais la longueur de OD est plus grande que OA; pour que OD soit égal à OB^ il est nécessaire que OB soit plus grand queOA.

^ Ainsi, le plan sécant passera par le plus grand axe OB de l'ellipse de gorge. Du point 0 comme centre, avec OB pour rayon, décrivons dans le plan XOZ un cercle qui coupera l'hyperbole en deux points D, D^; les deux plans BOD, BOIV couperont l'hyperboloïde suivant des cercles.

Tout plan parallèle à l'un de ces plans couperd suivant des cercles l'hyperboloïde proposé, le cône asymptote et l'hyperboloïde conjugué. Lorsque la surface est de révolution, les deux séries de sections circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires à Taxe de rotation.

On peut, comme nous l'avons déjà remarqué pour l'ellipsoïde (n^ 5o8), mettre en évidence les sections circulaires sur l'équation même. Considérons en particulier le cône

Fig. S8d.

on écrira cette équation sous la forme

en désignant par -i et -5 les quantités positives — — ri ®'

itt

LIVftE VI, CIAPITBE IV.

T;-i--r» on voit que les plans = a et -■-+- — = p don-

nent deux séries de sections circulaires; Téquâtion signifie que le produit des sinus des angles que fait une arête quelconque du

cène avec les deux plans ey cliques *-; ^ ss o est constant.

Par le centre menons un plan qui coupe le cône suivant deux arêtes OM, OM^ et les plans cycliques suivant deux droites OP, OQî appelons « et p les angles que fait Tarête OM avec les plans cycliques, a' et p^ les angles que fait l'arête OM' avec ces mêmes plans; appelons en outre y et ^ leâ angles du plan sécant avec les plans cycliques; on a

sin a = sin MOP sin y, sin p = sin MOQ sin J, sin a' = sinM' OF sin Y^ sin P' = sin M' 0Q( sin 5 ;

^ la relation sinasÂn^sasinoc^sinP' on déduit

sin MOP sinMOÛ = sînM'OF sinWOQf ;

On voit facilement, d'après cela, que les angles MOP, M'OQ sont égaux. Ainsi, lorsquun plan sécant, men4 par le centre ^ coupe le cône mivant deux arêtes, ces arêtes font des angles égaux avec les traces du plan sécant sur les plans cycliques. Quand le plan devient tangent, Tarête de contact fait des angles égaux avec les traces du plan tangent sur les plans cycliques. 5S4 — Il résulte de ce qui précède que tout cône du second degré peut être considéré, de deux manières différentes^ comme un cône oblique à base circulaire. Lorsqu'on donne un cône circulaire oblique, il est facile de démontrer géométriquement

Texisience d'une seconde série de sections circulaires. Soit S le sommet d'un cône oblique ayant pour base le cercle AB (flg. 284); par la droite SO qui va du sommet au centre 0 de la base, menons un plan ASB perpendiculaire au plan de la base ; tout plan parallèle à la base coupant le Fig.^ai. (îtee suivant un cercle qui a {mmit

diamètre la trace du plan sécant sur le plan ASB, il en résulte

DES flYPfSBOLOIDCS. 403

que ce tiàna ASB diviw le ctoe eo deux p^rtias «rmétriqHea; c'est dmc ao plan principal et le système des deux droite^ SA et SB eet la seetion priDCipale correapoudante. Dans le plan ^odpal ASB menons la ligne B' A^ antiparallèle à AB, c'est-àdire telle que TangleSA^B^ soit égal à SAB; puis, par )a droite A^fi^^ faisons passer un plan perpendiculaire au plan principal ASB; la seetkm du cdne par ce plan sera un cercle B'HA^ Kn. effet» par nn point quelconque H de la courbe B^HA^ menons un plan parallèle i te base; ce plan coupe le cône suivant w cercle» et le plan B'ttA' suivant une ligne HI perpendiculaire

à la section principale. Dans le cercle DHE on a Hl' = DI x IB. IKautre part^ les triangles semblables DIB', EIA^ donnent

DIxIEœD'IxIA'; doncffi*=B'IxIA', et, par conséquent, le point H est un point du cercle décrit sur B'Â^ comme diamètre. Les sections parallèles à CHA' sont dites antiparallèles à la base.

La bissectrice de Tangle ASB est taxe intérieur du cône ; la bissectrice de Tangle supplémentaire est un second axe ; une perpendiculaire menée par le sommet S au plan principal ASB est le troisième axe. On connaît ainsi les trois axes et les trois plans principaux du cône.

GÉNÉRATRICES REGTILIGMES DE L'HYPERBOLOÏDE A UNE ^APPE.

l^jift-*No«s avons vu {n"" 4^), que, lors^u^une droite a plus 4e deux points situés sur une surface du Second ordre^ elle ept trat fentjèfie située sur la (urCace. D'après cela^ on comprçAd qu'il est impossible de placer sur un ellipsoïde une portion de dmte, SI iietite qu'elle sait; car, si cette portion de droite avait seukment trois poÎAts communs aT6c la surface^ la droite indéfinie 8eraitfiituée/totttenitièi:)e sur la surface, et il est évident (pi'une droite indéfinie ne peiiit ^(iftiirte^r à une 9urf^e limitée comme TelUpselde^ il est impossiUe ajwi de placer une dr<Nte «HT l^yperteloide à 4ew «afipes; nous remarquons d'abord ^e cette droite ne pe^t être perpendiculaire à Taxe réel, puisque toutes les sections peipendiculaires à cette droite sent 4es eUifpses; la dwHte irait donc d'nne nappe à l'autre^ et

il y aurait une portion intermédiaire qui n'appartiendrait pas à la surface. La même impossibilité n^existe pas pour Thyperboloîde à une nappe. Nous avons déjà reconnu, en étudiant les sections planes (n"^ 52o), que^ lorsque le plan sécant^ mené par un point de la surface, est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe en ce point, la section se réduit à deux droites; il en résulte que^ par tout point de la surface passent deux droites situées tout entières sur la surface. Nous allons étudier les propriétés des droites situées sur rhyperboloïde à une nappe; mais nous reprendrons d'abord la démonstration du théorème fondamental.

ftSS— Soit M un point quelconque de la surface; prenons pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour axes des y et des z deux diamètres conjugués de la section diamétrale correspondante; Téquation de Fhyperboloïde aura la

forme

En coupant la surface par le plan x = a^, on a deux droites

y* js*

Ainsi^ par tout point M de la surface passent deux droites sittiées sur la surface.

Nous avons déjà fait observer (n** 480) que les tangentes à toutes les courbes tracées par un même point sur une surface du second degré sont situées dans le même plan ; il n'y a d'exception que pour le cône et au sommet. Par un point H passent deux droites situées sur la surface; le plan de ces deux droites est le plan tangent. Il est impossible de mener par le point M une troisième droite située sur la surface; car cette droite serait aussi contenue dans le plan tangent x = a', et ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites.

Nous ferons remarquer aussi que la surface est coupée par le plan tangent; une partie est située d'un côté de ce plan, l'autre partie de l'autre côté.

S!if --Dans le même système de coordonnées, le cône

DES HYPERBOLOIDES. 46S

asymptote a pour équatioo

si l'on coupe le cftne par le plan a; = o, on a leB deux arêtes

Ces deux arêtes sont respectivement parallèles aux deux droites déterminées par le plan x = (i sur la surface de l'iijperboloîde. Ainsi, les droites situées sur l'hyperbolotde sont respectivement parallétts aux aréles du ctfne asymptote.

Si l'on coupe la surface par le plan x= — af, on a deux droites parallèles aux précédeules ; ainsi les droites qui passent par deux points H et M', symétriques par rapport au centre, sont respectivement parallèles entre elles, et aux mêmes arêtes du cône asymptote.

Sl*8 — Nous allons faire voir que les droites situées sur l'hyperboloïde peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. On opère commodément cette distinction, et l'on se rend bien comple de la position des droites, à l'aide de l'ellipse de gorge. Puisque par tout point de la surface passent deux droites, il est clair que, par tout point D de l'ellipse de gorge, passent deux droites DG, DH situées sur la stii^ ^ face (fig. 285).

-'' Si, conservant pour axe des s

v;- '" l'axe imaginaire de la surface, on

prend pour axe des x le diamètre Fit;, ass. OD de l'ellipse de gorge, et pour

axe des y le diamètre conjugué OE, l'hyperboloïde a pour équation

*' Vl 2* —

Le plan x=^a', mené par le point D parallèlement au plan ZOE, a pour trace sur le plan de l'ellipse de gorge la tangente ST à cette ellipse; ce plan coupe l'hyperboloïde suivant

466 LIVRE V!, CHAMTRÈ !V.

deux droites

qui fo projeitMt sur le plan de Tellipse de gorge suivant la tangente ST. Ainsi^ toute tangente à rellipse de gorge est la projection de deux droites situies sur Vhyperbolotde. Le cône asymptote a pour équation

il est coupé par le plan rmo attirant deux droites OGi, OH,, qui ont pou^ équation

Bt qui sont respectivement parallèles aux deux droites DG^ DH situées sur Tliyperboloïde. Les deux axes des coordonnées OE et OZ étant rectangulaires, il résulte de ce qui précèdo que les deux droites DG^ DH font des angles égaux avec le plan de l'ellipse de gorge, ou avec la parallèle à l'axe OZ menée parle point D; si l'on appelle y ce dernier angle, on a

tangy »= -•

6 SO— Imaginons maintenant que le point D parcoure Tellipse de gorge daos le sens ÂB; toutes les droites, dont les parties supérieures au plan de Tellipse de gorge font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, formeront un premier système; toutes celles dont les parties supérieures font avec cette même tangente des angles obtus, formeront un second système. Ainsi, la droite DG appartient au premier système, la droite DH au second. Il est clair que ces deux systèmes, tels que nous venoqs de les dé&nir^ comprennent toutes les droites situées sur la surface; nous remarquons d'abord qu'une drcôte quelconque située sur la surface n'est pas parallèle au plan de l'ellipse de gorge, puisque les sections parallèles à ce plan sont des ellipses; cette droite percera donc le plan en un point D de Tellipse; or, par le point D, passent seulement deux droites DG, DH, appartenant, l'une

DES HYPERBOLOÏDÈS. «¥

an premier systèm^^ Taiitre au second; la droite coo^iidé^^ coïncidera donc avec Tune de ces deux droites.

Si, en même temps que le point D se meut sur l'ellipse;

l'angle y ^arla d'après la formule tangy = — f la droite DG

coïmsîdera euocesàvemeiit aveo toutes les droites du premier système, la droite DH ayee toutes celles du second système. U; est visiMe que chacune d'elles engiHidre la surface entière de rfayperboloide. Ainsi Thyperboloide à une nappe est une surface réglée, qui peut âtre engendrée de deux manières par le mouvement d'une ligne droite. Voilà pourquoi les droites de chaque système ont été appelées les génératrices rectilignes de rfayperbcdotde.

D est bon de se rendre compte de )a variation de l'angle y. Cet angle acquiert sa valeur minimum quand la drdie passe par Pime des extrémités B do graad axe de l'ellipse de gesges,» et sa valeur maximum, quand elM paoïe parlHitie de«exfarémi*t tés A du petit axe. Le point D allaside B ^pi Aj l'anig^ yismAk de sa valeur minimum à sa valeur maiimum ( eet angle dénrptA ensuite pour erottre de nouveau, etc. Lorsque es»6, t'esl4«<iire IcHrsque l'ellipse de gwge devient un cercle, l'angle y citsCSn-' stant, et la surface est engendrée par chacune des deQX;dreit«B hGy DH tournant mtour de l'axe OZ et liée Âavuriajblasieiii à cet axe; c'est Thyperindoide de réjvokltiofi à we lOa^peiq»^ nons avons déjà considéré cômtne exemple des suriiiees de révolution (n* 4^9) •

SSO--41hacune des droites mobiles engendrant la surface entière, il est clair que le$ deux droites qui passent par un point quelconque delà surface appartiennent, l'une au premier sysiême de génératrices, Vautre au second système. On le reconnaît d'ailleurs d'une manière très-nette en construisant ces deux drdtes à l'aide de Tellipse de gorge. Soit M un point de la surface, que nous supposeronasitué au-dessus du plan de l'eltipse d^ gorge (fig. 286); ée point se projette sur ce plan en un point m extérieur à l'ellipse; par le point m menons des tangentes mD, mE à l'ellipse^ par le point de contact D de la prmiàre tengiote, menons la droite DG du premier système,

et par le point decoatact Ede la seconde tangente la droite EL dnsecondsystème.Lesptansprojelants GDm, LEm de ces deux droites se coupent suivant une droite HH' perpendiculaire au plan de l'ellipse de gorge; cette perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux pcàota; l'un est le point H situé au- "l dessus du plan de l'ellipse, l'autre est

le point symétrique H' situé au-des- I sous. La drtHte DG, faisant avec Dm

; un angle aigu, rencontre la partie sa-

I périeure mU de la droite UH', et elle

i passe au point M, puisque cette partie

tig.ssï. supérieure ne rencontre la surface

qu'en un point. De même la droite EL, faisant avec le prolongement de mE un angle obtus, ou avec Etn un angle aigu, Kiwoatre la partie supérieare mH de la même droite au même point H. Ainsi, par le pmnt H passent les deux droites AÎD, ME, qsi appartiennent, l'une au premier système, l'autre au second. Ul — NoQS avons vu (a*528]queleB génératrices rectilignes de la surface se projettent sur ie plan de l'ellipse de gorge suivant des tangentes à celte ellipse. La même propriété a lieu par rapport à chacun des plans principaux. Considérons le plan principal COA mené par l'axe imaginaire OC et l'un des axes OA de l'ellipse de gorge (fig. 287); on démontrera, comme précédemment, que la tangente MDi au point N à l'hyperbole principale est la projection de deux droites HD, HIV situées sur la surface. Quand le point H s'éloigne à l'infini sur l'hyperbole, la tangente D,M.tend vers '~\ ■■, l'asymptote OH,; cette asymptote ''v ' est la projection des deux droites Fig. MT. BH, B'H', qui passent par les extrè-

DES HYPERBOLOIDES.

mités de l'autre axe de Tellipse de gorge. L'autre asymptoie OGi est la projection des droites BG, B'G^ qui passent par ces mêmes points.

S39— Les génératrices rectilignes de Tbyperboloïde jouissent de quelques autres propriétés remarquables que nous allons démontrer. Soient DG, EL (flg. 288) deux génératrices de systèmes diiférents; ces droites se projettent sur le plan de

l'ellipse de gorge suivant, des taor gentes Dm, Em à cette elUpse; en général les deux tangentes se coupent en un point m et les deux plans projetants secoupentsuivant une droite MH^ perpendiculaire au plan de l'ellipse. Comme nous Tavous expliqué plus haut^ les deux droites DG^ EL^ appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpendiculaire MH^ d'un même côté du plan de Tellipse de gorge et par conséquent^ se coupent au point M^ où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi, en général^ deux génératrices de systèmes différents se rencontrent.

Il peut arriver que les projections des deux droites soient parallèles; ceci a lieu quand les deux droites, telles que DG, B^W, passent par deux points D et IV diamétralement opposa de rêllipse de gorge. Dans ce cas, les deux plans projetants sont parallèles; un plan parallèle mené par le centre coupera le cône suivant deux arêtes OG|f OH^; il est clair que les d^ux génératrices DG, IVH^ sont parallèles à la même arête OG^ du cône asymptote, et, par conséquent, sont parallèles entre elles. On conclut de là que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent ou sont parallèleSy c'est-à-dire sont toujours dans un même plan.

Fi«. 888.

i — Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Les plans projetants de ces deux droites se coupent suivant la droite MH' perpendiculaire au plan de Tel*

JUpse de gotge. La droite D6, faisant avec sa projection Dm lU) angle aigu, rencontre la droite MM^ au-dessus du plan de Tellipse de gorge; la droite ER^ faisant avec le prolongement de mE un angle aigu, rencontre cette même droite au-dessous du pian; le plan DMM' qui contient la première droite DG et un point M^ de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan.

Il peut arriver que les projections soient parallèles; soient les deux droites DG, IVG' du même système, passant par deux points diamétralement opposés de Tellipse de gorge; ces deux droites sont parallèles respectivement aux deux arêtes 0G„ OÏIi du cône asymptote; le plan GDD^ qui contient la première et lin point D^ de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan. On conclut de là que deux génératrices du même système ne sont jamais dans un même plan.

S34 — Chaque arête OGj du cône asymptote est parallèle à deux génératrices DG, D'H' de systèmes différents; on les obtiendrait de cette manière : soit OFla trace sur le plan de l*elllpse de gorge du plan ZOG,; menons lô diamètre Diy conjugué de OF; les tangentes en D et D' étant parallèles à OF, les plans tangents CDH, G'D'H' en ces points sont parallèles au plan ZOGj qui .coupe le cône suivant deux arêtes OG^, OH^; les deux génératrices DG,D'H^ de systèmes diflerents, sont paral- Ifelés à OG^; les deux autres génératrices DH, IVG^ sont parallèles à OH4. Il est impossible qu'une troisième génératrice de l*liyperboloïde soit parallèle à l'arête OG^; car si trois génératrices de rhyperboloïde étaient parallèles à une même arête dti cône, deux appartiendraient au même système et seraient Jiâralléles entre elles, ce qui ne peut pas être. ' Le diamètre OD étant conjugué du plan ZOF, ou G^OHj, on sait (»• 522) que le plan DOG^ est tangent au cône suivant l'arête OGi- Ainsi le plan de deux génératrices parallèles DG, IVH' est tangent au cône asymptote.

RjamaFqibaiis e&eore que trois génératrices du même syslèmô ne penlf^eiit être parallèles à un même Jïlan; car, en medmt par le coitre des parallèles à ces génératrices, on

DES HYPERBOLOIDES. 47 1

aurait trois arêtes différentes du cône asymptote situées dans le même plan^ ce qui est impossible.

ftSS^^Ge qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DH une droite quelconque située sur la surface^ toutes les droites telles que DG> EK, ... qui rencontrent cette droite fixe, avec une droite D^G' qui lui est parallèle^ constituent Tun des systèmes^ par exemple^ le premier système. Toutes les autres constituent le second système.

5S4I — Nous savons qu'il faut trois directrices pour définir le mouvement d'une ligne droite (n^ 4^0). Prenons comme directrices trois droites fixes Â, B^ G appartenant au second sjstème^ et supposons qu'une droite mobile glisse suf ces trois directrices; si, par un point quelconque M de la droite A et chacune des droites B et G, on fait passer un plan, Tintersectiop de ces deux plans déterminera la position de la droite mobile qui passe en ce point; la droite mobile, coïncidant ainsi successivement avec ioutfr les droites du premier système, engendrera Thyperboloïde à une nappe. De même, une droite mobile, glissant sur trois droites fixes^ appartenant au premier système, engendrera Tbyperboloïde. Il résulte de là que Ton peut engendrer un byperboloïde à une nappe, en faisant glisser une droite mobile sur trois droites fixes.

S37 — Nous allons faire voir que, réciproquement, une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes quelconques, non parallèles à un même plan, engendre un byperboloïde. Soient AB, GD, EF les trois directrices données. Si, par chacune d'elles, on fait passer un plan parallèle à Tune des deux autres, on a six plans qui forment un parallélipipède; prenons pour origine le centre du parallélipipède et pour axes des coordonnées des parallèles aux arêtes, dont nous désignerons les longueurs par 2(1, 2b, 2<T. Les équations des trois directrices sont^ pour la disposition adoptée dans la figure 289,

ABJ»=-*' CD i *=-'"' EPi*=r«'

Une droite MN qui rencontre les deux droites AB, CD peut

être regardée comme M>^ rintersection de deux plans menés^ Tun par la droite AB^ Tautre par la droite CD ; ces deux plans ont des équations de la forme

dans lesquelles X et V Fig.'jHO. . désignent des paramè-

tres arbitraires. Hais la droite HN doit rencontrer la troisième directrice EF; il en résulte entre les deux paramètres >. et Via

relation

(9) Va-l->.6-l-c=o.

On obtiendra Téquation de la surface enjfendrée par la droite MN en éliminant les deux paramètres >. el V entre les équations (8) et (9), ce qui donne

(10) ayz -h bzx -H cxy H- abc = o.

Le lieu est une surface du second degré ayant un centre unique; ce i\'est pas un cône^ puisqu'elle ne passe pas parie centre; c'est donc un hyperboioîde à une nappe.

Les trois directrices appartenant à la surface^ les trois axes des coordonnées, qui leur sont parallèles^ sont des arêtes du cône asymptote; on peut remarquer que les trois arêtes AC^ DE^ BF qui, dans le parallélipipède, sont parallèles et opposées aux directrices, appartiennent aussi à la surface; par exemple^ la droite AC, qui rencontre les deux directrices AB et CD, et qui est parallèle à EF, est une position particulière de la génératrice, et, par conséquent, appartient à la surface. Il résulte de là que les faces parallèles ABF, CDE du parallélipipède sont tangentes à la surface aux points B et D, et de même les autres. Les trois directrices et les trois arêtes opposées forment un hexagone gauche ACDEFBA situé sur la surface.

DES HYPERBOLOIDËS. 473

SSS — ^Étant donné un hyperboloïde à une nappe, soient AB et CD deux droites quelconques du même système (flg. 289) ; A un point fixe pris à volonté sur la première droite^ C le point correspondant de la seconde^ c'est-à-dire le point où cette seconde droite est rencontrée par la génératrice mobile de Tautre système^ quand elle passe par le point A. A Taide de la droite EF du premier système qui est parallèle à AC, on peut former le parallélipipède considéré précédemment. La génératrice mobile , dans une de ses positions^ rencontre les deux droites fixes en H et N; elle a décrit sur ces deux droites^ à partir de sa position initiale AC^ des longueurs AH et GN que nous désignerons par a et ^, en les affectant du signe +^ quand elles sont portées dans les directions AB ou CD, et du signe — y quand elles sont portées dans les directions contraires. Si Ton projette la droite MNP sur le plan ABF, parallèlement à la droite EF^ la longueur CN se projettera en yraie grandeur suivant AN^ En prenant pour axes des coordonnées^ les droites AB et AD^ et exprimant que la droite mobile MN^ tourne autour du point fixe F^ on a la relation

Réciproquement, lorsqu'une droite mobile MN décrit sur deux droites, fixes AB, CD, à partir dMne position initiale^ des longueurs qui vérifient la relation (11), cette droite engendre un byperboloïde à une nappe. En effet, soit AC la position initiale de la génératrice; par le point A, menons une parallèle AIV à la droite CD, formons le parallélogramme AiyPB, dont les côtés AB et AD' sont égaux à 2a et à 26^ et par le point F, menons une parallèle FE à la droite AC; si Ton prend AB et AD' pour axes des coordonnées dans le plan du parallélogramme, la relation (11) signifie que la droite MN', projection de la droite HN sur le plan du parallélogramme parallèlement à AC, passe constamment par le point F; donc la droite MN rencontre la droite EF. Cette droite, glissant sur trois droites fixes AB, CD, EF, engendre un hyperboloïde à une nappe.

474 LlVaE VI, CHAPITRE IV.

S31l-^Nou9 a¥ons dit que Thyperboloïde à un^ n2\|iiM admet deux systèmes de généralrices rectilignes. Il est facile de déduire de Téquation de la surface les équations de ces deux systèmes de droites. £n effet> Tcquation de Thyperboloïde rap* porté à ses axes est

ff^ ^ ^* .

chacun des membres, étant la différence de deux carrés, peut être décomposé en facteurs du premier degré, et Téquation devient

Considérons les deux équations du premier degré

dans lesquelles le paramètre X est arbitraire. Pour chaque valeur de "k, ces équations représentent une droite. Or^ si Ton multiplie ces deux équations membre à membre^ oa retrouve réquation (12) ; il en résulte que les équations (\) représentent un système de droites situées sur la surface.

Si Ton combine autrement les facteurs, on obtient deux autres équations du premier degré

renfermant un paramètre arbitraire ^, et qui représentent un eeeond système de droites situées sur la surface* On peut attribuer aux paramètres X et [a des valeurs nulles

fit ou infinies. Si Ton pose X = — » les équations (k) prennent )a

forme

on fera dans ces équations m = o, ou n =: o.

La surface étant le lieu des droites (k), il est évident que par tout point de la surface passe une droite de ce système. Pour déterminer la droite qui passe par un point H^ ayant pour co-

DES HYPERB0L01BE5. 475

' ordonnées od^ yf^ z', dans les équations (k) on remplacera x, y, js par o/^ yfyZ'eX Ton déduira de chacune d'elles la même Taleur pour X. De môme^ par tout point de la surface passe une droite du second système» D'ailleurs, ces dem; droites diOèrent; car^ pour que les droites représentées par les équations Çk\ et (\l) fussent les mêmes^ il faudrait que Ton eût

quelle que soit Xy c'est-à-dire à la fois X = -» X = » ce qui

est impossible. 11 résulte de là que les équations (X] et (\l) représentent toutes les droites situées sur l'hyperboloïde à une nappe.

S40'Les parallèles menées par le centre aux droites (X) ont pour équations