CHAPITRE va

Théorèmes généraux siir !«■ surfaces eu second degré.

/équation générale dn second degré

(i) Aa?»-H A'y'-h A"z»-4- 2Bya -+- 2Wzx -4- 2B''arjr •4- 2Ca5 + aC'y -4- 2C^'« -4- F = 0,

entre les trois variablei x, y, «, renferme dix termes, et la surface définie par cette équation dépend de neuf paramètres arbitraires, les rapports de neuf coefficients au dixième. Il faut donc neuf conditions gé()métriques pour définir une surface dû Second degré, en supposant que chaque condition géométrique s'exprime par une relation unique entre les Coefficients. Ainsi, par exemple, une surface du second degré est déterminée par neuf points.

470— Pour exprimer qu'un plan Aa;4-By4-C«4-D?=o est tangent i une surface F {x, y, z) = o^ on observe que les coordonnées (x^ y, g) du point de contaet doivent vérifier à la

fois réqu&tion de la surface et celle du plan; en otitre, ce plan dètant cotttcider avec le plan tangent qui a pour équatkm

(X-a;)Fi+(Y-y)F;-h(Z-5j)F:=o, on devra avoir les relations

Fi^F/F:

L'éliinifiatioli de â$, y, s entre ces quatre équations dcmne uAe relation entre les coefflcients variaUes renfermés dans réquatlon de la surface. Puisque le contact d'un plan el d'une surface quelconque s'exprime par une seule équation, il faut également neuf plans tangents pour déterminer une surface du second degré.

On peut faire le calcul d'une autre manière^ quand la surface est du seccmd degré ; car la ligne d'intersection d'une surface du second degré et d'un pian tangent se compose de deux drates/ ou se réduit i un points c^estpà»dire à deux droites imaginaires conjuguées. Pour exprimer qu'un plan est tangent à la surface^ il suffira donc d'écrire la condition pour que la ligne d'inter** section se réduise à deux droites.

On voit facilement qu'un plan tangent avec le point de contact équivaut à trois conditions*

Pour exprimer qu'une surface du secoiid degré est uii cône/ on écrira que les coordonnées du centre vérifient Féquatioti de la surface^ ou que le nouveau terme constant, quand où transporte l'origine au centre^ est nul, ce qui donne une relation entre lès coefficients* On exprimera que la surface est un parabololde en égalant à séro le dénominateur commun bu le détermiMnt des coordonnées du centre. Ainsi huit points snf* fisent pour déterminer un cône du second degré ou un para^ boloïde. On exprimera que la surface est un cylindre en égalant à zéro le dénominateur des coordonnées du centre et l'un des numérateurs» ce qui fait deux conditions; ainsi sept points sutBsent pour déterminer un cylindre du second degré.

On arrive aux mêmes résultats par la dét^omposition en carrés. Pour que la surface soit un cône, il faut qu'après avoir formé tes troid éarrés variables, on obtienne utie partie cens*-

taote DoUe. Pour que la surface soit un paraboloïde, il faut qu'après avoir formé les deux premiers carrés, la partie restante soit une fonction du premier degré à une seule variable; on égalera donc à zéro le coefficient du terme du second degré. Pour que la surface soit un cylindre, il faut que cette partie restante soit une constante, on égalera donc à zéro les coefficients des termes du premier et du second degré. Pour que la surface soit un cylindre parabolique, il faut qu'après avoir formé le premier carré, la partie restante soit une fonction du premier degré à deux variables ; on égalera donc à zéro les coefficients des trois termes du second degré.

ftl'fl — Pour qu'une droite soit située entièrement sur la surface, il faut que l'équation que Ton obtient par l'élimination de â? et y entre les équations de la droite et celle de la surface sent vérifiée quelle que soit z. Si l'équation de la surface est algébrique et du degré m, la condition précédente donne m+i relations entre les paramètres variables de la surface. On arrive à la même conclusion, d'une autre manière, en observant que, pour que la droite appartienne à la surface, il faut et il suffit que les coordonnées de m + 1 de aes points vérifient l'équation de cette surface. En particulier, si la surface est du second degré, une droite équivaut à trois points, et trois droites déterminent la surface. Si, parmi les points donnés, quatre ou un plus grand nombre sont sur une même droite^ ces points ne devront être comptés que pour trois.

Trois droites quelconques définissent un hyperboloïde à une nappe. Deux droites quelconques et deux points définissent un paraboloïde hyperbolique. Cinq droites passant par un même point définissent un cône du second degré ; car les points où ces cinq droites percent un plan déterminent une courbe du second degré qui, avec le sommet, définit le cône.

THÉORÈME I

s T 9 — Par net^f points donnés on peut toujours faire passer au moins une surface du second degré.

Nous avons dit que neuf points déterminent une surface du second degré; il reste, toutefois, à examiner si le système des

neuf équations du premier degré entre les coefficients admet toujours une solution. Si Ton appelle œf, yfy z/ les coordonnées du premier point, a^'y j/^, z" celles du second, etc., on aura, pour déterminer les rapports de neuf des coefficients au dixième, des équations de la forme

Aic''*+A'y'^-f- =o,

Pour former le déterminant, on prend un terme dans chaque ligne horizontale et un terme dans chaque colonne verticçde, de toutes les manières possibles; deux termes du déterminant ne peuvent être composés exactement de la même façon, et, par conséquent, le déterminant n'est pas identiquement nul; il y a donc en général une solution et une seule.

Supposons maintenant que, pour une position particulière des points donnés, le déterminant soit nul; ce déterminant est une fonction du second degré des coordonnées de chacun des points; si Ton y remplace x^, y', V par les variables x, y, z, on obtient une fonction du second degré f(x, y, x). Considérons la surface du second degré représentée par Téquation f(Xy y, z)=o; cette surface passe par le premier point; car, si l'on remplace ^9 Vf 2 P^r ^y yfy ^' on retrouve le déterminant qui est nul. Elle passe aussi par le second point; car remplacer a?, y, z par ^y y"> ^ dans réquation, revient à remplacer dans le déterminant a/, y^y z' par x/', y'' y J'y et on sait qu'alors le déterminant devient identiquement nul. La surface passe de même par chacun des autres points, et Ton a ainsi une surface du second degré passant par les neuf points donnés.

Nous avons ordonné le déterminant par rapport à xl y y^, i!\ le raisonnement serait en défaut, si tous les coefficients étaient nuls; mais alors on ordonnerait par rapport à oî", y^y «", ou par rapport à a/", y'^', 5/'', etc.; le raisonnement ne serait en défaut que si tous les coefficients de ces divers polynômes étaient nuls à la fois. Supposons que ceci ait lieu, et considérons le coefficient de l'un des termes dans le premier polynôme;

ce coetficieotcontient les coordonnées x"^ y''fi^^ ^^ y^^^s^^^etc.; si Ton 7 remplace a;% y'^i si' par les tarlables x^ y^ z, on obtient une fonction du second degré /\ (x^ y, z). Le coefâcient analogue dans le second polynôme contient les coordonnées x^, y', z^, a/", y''^ z'^^ ... ; si Ton y remplace x^, yf, zf, par x, y, z on reproduit la même fonction f^ [x, y y z). Il est éyident que la surface définie par Téquation f^ (x, y, «) = o passe par les deux premiers points; on verra, comme précédemment^ qu'elle passe aussi par chacun des suivants. La même difficulté se reproduirait si, tous les coefficients des polynômes précédents étant ordonnées par* rapport aux coordonnées de Tan qtielconqae des points qu'ils renferment, tous les coefficients partiels étaient nuls à la fbis; mais et) continuant le raisonnement de la même manière, comme le nombre des points dont les coordonnées entrent dans chaque coefficient va en diminuant, on arriverait à des coefficients ne renfermant plus que les coordonnées d'une seule lettre; les coefficients dé tous ces derniers polynômes étant numériques ne peuvent être nuls à la fois; car alors le déterminant serait identiquement nul. On concfut de là que par neuf points pris arbitrairement on peut toujours faire passer au moins une surface du second degré.

tnionÈnt If.

573— Par to ligne d^nUrseciion de deux surfaces du second degré, et un points on peut faire passer une iurface du ucond degré et une seiUe,

Soient S = o, S, = o les équations de deux surfaces du second degré; Téquation S — AS|:=o, dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente une surface du second degré passant par les points communs aux deux premières; or> on peut déterminer le paramètre k de manière que cette surface passe par un point M pris à volonté dans l'espace. Ainsi, par la ligne dlnierseclion des^ deux surfaces données ci le point M, on peut toiijours faire passer une surface du second degré.

D'ailleurs, il est facile de démontrer qu on n'en peut faire passer qu'une. En eifct, un pl.m quelconque passant par le

THÉORÈMES SUR LES SURFACES. m

point M coupe les deux surfaces S et S^ suivant deux coniques; ces deux coniques, situées dans un même plan, ont quatre points communs; ces quatre points et le point M déterminent une conique qui doit appartenir à la surface cherchée; puisque chacun des plans menés par le point M coupe les surfaces cherchées suivant une même conique> il ne peut y avoir deux surfaces différentes remplissant les conditions énoncées. Il résulte de là que Von peut regarder Téquation

(i) S — iS^œo

comme Véquation générale des surfaces du second degré qui passent par la ligne d'intersection des deux surfaces S=o, Si=o. S74 — Corollaire 1. Considérons les deux coniques suivant lesquelles une surface du second degré S =^ o est coupée par deux plans (5t = o et P = o; Téquation a^ ::=: o définissant une surface du second degrés Téquation

(2) S — AaP = o

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par ces deux coniques.

De même Téquation

(3) ap — *y^ = o

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par les quatre droites d'intersection des deux systèmes de plans o^ s= o et Y^ = o. Ces quatre droites forment un quadrilatère gauche.

Jft7ft-<-CoEOLLAiR£ IL Lorsquô deux eoniqu$$ $Uué$$ danêdes plam diférenti ont deux points eommuns, on peut par ces deux coniques faire passer une infinité de surfaces du second degrés

Si Ton prend sur chacune des deux coniques trois autres points, on a en tout huit points par lesquels ont peut Caire passer une infinité de surfaces du second degré. Considérons Tune de ces surfaces; les plans des deux coniques coupent cette surface suivant deux coniques ayant chacune cinq points communs avec Tune des coniques données^ et^ par conséquent j coïncidant avec celles-ci. Il résulte d'ailleurs^ de ce qui précède^ qu'un point extérieur suffit pour déterminer la sorlftce*

TBÉOREMB III.

SSTO — Lorsque deux surfaces du second [degré ont cinq points communs situées dans un même plan, la ligne d'intersection des deux surfaces se compose de deux courbes planes.

Supposons que les deux surfaces S et S^ aient cinq points communs situés dans un même plan P; ces cinq points déterminent une conique C^ qui appartient aux deux surfaces. Prenons trois autres points communs non situés dans le plan P. le plan F qui passe par ces trois points coupe la conique C en deux points qui, avec les trois précédents, déterminent une conique C' appartenant aussi aux deux surfaces. Les deux surfaces ne peuvent avoir un point commun non situé sur les coniques C et C^^ sans quoi elles coïncideraient^ en vertu du corollaire précédent. La ligne d'intersection se compose donc des deux coniques C et C^

THÉORÂMB IV.

ftT7 — Quand deux surfaces du second degré se touchent en deux points, elles se coupent suivant deux courbes planes.

Considérons deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points a et b. Soit c un troisième point commun aux deux surfaces; par les trois points a, b, c faisons passer un plan P; ce plan coupera chacune des surfaces suivant une conique; ces deux coniques ont trois points communs a, b, c, et les mêmes tangentes en deux points a et 6; donc elles se confondent (n** 278). Puisque le plan P coupe les deux surfaces suivant la même courbe, il résulte du théorème précédent que la ligne d'intersection des deux surfaces est formée de deux coniques.

La démonstration précédente suppose que les plans tangents en a et en 6 ne se coupent pas suivant la droite ab, c'est-à-dire que les point-j donnés n'appartiennent pas à une droite située sur la surface. Dans ce dernier cas, nous verrons qu'en général la ligne d'intersection se compose d'une ligne droite et d'une ligne gauche dont la projection sur un plan est du troisième degré.

THÉORÈME V

SV 8— Xor«9iie deux surfaces du second degré se toueheni en trois points, elles se raccordent le long d'une ligne plane.

Considérons deux surfaces] du) second degré qui se touchent en trois points a, b, c; ces surfaces n'ont pas de point commun en dehors du pian P déterminé par les points a, b, c; car, si elle^ avaient un point commun d, en dehors du plan P, d'après le théorème précédent^ chacun des trois plans daby dbCf dca couperait les deux surfaces suivant la même co* nique^ ce qui est impossible. Les deux surfaces sont coupées par le plan P suivant une même conique C; il est aisé de voir qu'elles ont le même plan tangent en chaque point m de la courbe. En effets par le point m et le point a, par exemple^ menons un plan quelconque dififérent du plan P; ce plan coupe les deux surfaces suivant deux courbes qui passent en a et en m; ces deux courbes sont tangentes en a, et, comme elles n'ont pas d'autre point commun que le point m, elles sont aussi tangentes en ce point.

& 79 — Corollaire I. Nous avons vu que l'équation S — koi^=o représente une surface du second degré qui passe par les courbes d'intersection de la surface S=o avec les plans a=o^ ^ = G. 11 en résulte que les surfaces représentées par l'équation

sont tangentes à la surface S suivant la courbe d'intersection C de cette surface et du plan a.

L'équation (4) renferme un paramètre arbitraire k qui permet de faire passer la surface par un point arbitraire ; d'autre part on démontre, comme au n"" 578^ qu'une surface^ qui doit être tangente à une surface du second degré en tous les points d'une courbe plane et passer par un point donné, est complètement déterminée. On peut donc regarder l'équation (4) comme l'équation générale des surfaces du second degré qui se raccordent avec la surface S le long de la conique déterminée par le plan a.

580— CoROLLAiBE 11. Deux coniques C et C^ tracées sur une

même surface du second degré S^ se coupent en deux points a et b; la corde ab est la droite dMntersection des plans des deux coniques; il en résulte que deux surfaces du second degré qui se raccordent avec la première surface suivant deux coniques C et Q se touchent en deux points a et b, et, par conséquent, en vertu du théorème IV^ se coupent suivant deux courbes planes. Les équations des deux surfaces étant de la forme

les deux coniques qui composent la ligne d'intersection sont situées dans les plans koL* = Vcé^.

581 — Cherchons, comme application, r équation du c6ne circonscrit à

un ellipsoïde

et ayant pour sommet un point donné p dont les coordonnées sont x^^ y^

:?!. Le plan de contact ayant pour équation -iy- -4- 2^ -4- -^ 4=0;

Téquation générale des surfaces du second degré qui se raccordent avec l'ellipsoïde suivant la conique déterminée par ce plan est

Si Ton prend k de manière que Téquation précédente soit vérifiée par les coordonnées o^^ y^, z^ du point p, elle représentera le cône circonscrit, poisqu*il n*exisie qu'une surface du second degré tangente à Tellipsolde sm-< vaut la courbe considérée et passant par un point donné; on obtient ainsi réquation demandée

TflÉOBÈME VI.

Ij>rêqat deux surfaces du second degré admettent h même plan diamétral pour une certaine série de cardes pardttèles, la projection de la ligne d'intersection sur ce plan, parattilement aux cordes, est une conique.

fiM — On sait que Télimination de t entre deux équations du second degré à trois inconnues x, y, z conduit^ en général^ à une équation du quatrième degré entre x et y. Ainsi^ la ligne d*intersection de deux surfaces du second degré se projette

généralement sur un plan suivant une courbe du quatrième degré. Certains cas font exception. Considérons deux surfaces du second degré qui ont le même plan diamétral pour une même série dé cordes; si l'on prend ce plan diamétral pour plan des ay et une parallèle aux cordes pour axe des z, les équations des deux surfaces auront la forme Az*-l-C = o, A' jz' H- C = G, CetC désignant deux polynômes du second degré qui ne renferment que les deux variables x et y. L'élimination de z entre les deux équations précédentes donne une équation du second degré A^C--AC'=o. C'est Téquation de la projection de la ligne d'intersection des deux surfaces sur le plan diamétral. Lorsque les deux surfaces ont une génératrice reotiligne commune, la ligne d'intersection des deux surfaces se projette sur un plan quelconque suivant une ligne droite et une courbe du troisième degré.

SXERGICES.

4* On mène des normales à un ellipsoïde pur les différents points d*an« section plane ; trouver le lien de la trace de ces normales sur l'un des plans principaui. Examiner le cas ob le' plan de la section est perpendiculaire au plan principal.

29 Étant donné vn ellipsoïde, on mène des plans diamétraux qui eoopeni le solide suivant une ellipse d'aire constante ; trouver le lieu : 4o de la per« pendiculaire menée par le centre k ce plan; S« du diamètre conjugué.

8» L*œil étant placé en un point de la surface d'un ellipsoïde, les per« spectives de toutes les sections planes de la surface sur le plan diamétral conjugué du rayon qui aboutit à Fœil sont des courbes homotbéiiques ; !• centre de chacune d'elles est la perspective du sommet du c6ne eirconsorlt à relHpsofde suivant la section plane considérée.

4o Démontrer que le Heu de la droite d'intersection de deux plans ree^ tnngnlaîres, menés par deux droites données, est on byperlN»lofde à une nappe dont les sections circulaires sont perpendiculaires à chacune des de«x droites données.

5* Un cône a pour sommet un point d'un byperboloîde de révolution à une nappe engendrée par une hyperbole équilatère, et pour bape le cercle de gorge; démontrer que les sections anti-parallèlea de ce c6ne sont per** pendiculaires au plan du cercle de gorge.

6® Les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur tes faces opposées sont situées sur un byperboloîde à une nappe. Le centre

de la sphère circonscrite au tétraèdre, le centre de gravité du tétraèdre et le centre de Phyperboloîde sont en ligne droite.

7û Trouver le lieu des points tels que le rapport des distances de chacun d'eux à deux droites données soit constant. Déterminer ensuite, pour une surface du second degré susceptible de ce mode de génération, les divers couples de droites que Ton peut employer.

80 Le lieu des normales à une surface réglée quelconque le long d*une même génératrice est un paraboloîde hyperbolique.

9° Étant donnés un point et deux plans rectangulaires, trouver le lieu des points tels que la distance de chacun d'eux au point fixe soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux deux plans fixes.

4 0» Par une génératrice d'un paraboloîde hyperbolique on mène un plan perpendiculaire au plan directeur auquel cette génératrice est parallèle; ce plan est tangent à la surface en un point de la génératrice que Ton appelle l^point central de cette génératrice; trouver le lieu de ce point pour les génératrices du même système. (Ce lieu est la ligne de striction de la surface.)

4 1** Par une génératrice d'un hyperboloïde à une nappe, on mène un plan tangent au cône asymptote et au pinn perpendiculaire au précédent; ce dernier touche la surface en un point qu'on appelle point central de la génératrice ; trouver le lieu du point central ou la ligne de striction de la surface.

4 ^0 Par un point 0 pris sur Tarête d*un angle dièdre, on mène dans Tune des faces une droite OA et dans la seconde face une droite 06 perpendiculaire à OA ; trouver le lieu de la perpendiculaire menée par le point 0 au plan AOB.

4 30 Étant donnés un cercle et deux points fixes A et B dans l'espace ; par le point B et la droite des contacts relative à un point quelconque P du plan du cercle, on mène un plan ; trouver le lieu du point d'intersection de ce plan avec la droite AP.

4 4<» Lorsque deux surfaces du second degré passent par deux droites non situées dans un même plan, l'intersection des deux surfaces se compose de ces droites et de deux autres droites, réelles ou imaginaires.

15o Lorsque deux surfaces du second degré se raccordent suivant une même généaatrice, il y a en général sur cette génératrice deux points tek que la seconde génératrice qui passe par chacun d'eux est la même sur les deux surfaces.

4 60 Les perspectives sur un même plan des sections planes d'une surface du second degré ont un double contact réel ou imaginaire avec le contour apparent de la surface.

47« Deux surfaces du second degré qui ont les mêmes plans principaux sont dites bomofocales, lorsque leurs sections principales admettent les

mémeB (ùjetSy réels ou imaginaires; ainsi Téquation

dans laquelle X désigne un paramètre arbitraire, représente toutes les sur-

/E* ii* jS*

faces homofocales à la surface 7- + ^ + tt = 4 • Démontrer que par un

A D Kj

point donné passent trois surfaces du second degré homofocales à une surface à contre donnée ; de ces trois surfaces, Tune est un ellipsoïde^ Tautre un hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloîde à deux nappes. 4 80 Les trois équations

oc* y* «* *

ar^p* ' 6" — p* r^p* X* !/• 2* .

H-:s— Ti==^

dans lesquelles on suppose o>6>c, p<c, c<g<6, 6<r<a, représentent des surfaces homofocales; la première est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à deux nappes. Démontrer : 4 « que ces surfaces se coupent deux à deux à angle droit; 2o que les deux courbes suivant lesquelles une des surfaces est coupée par les deux autres ont pour t:ingentes en leur point d'iqtersection des droites parallèles aux axes de la seclion faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

49* A un ellipsoïde donné on circonscrit un cône ayant pour sommet un point donné; démontrer que les trois axes de ce cône sont les normales aux surfaces homofocales à Tellipsoïde proposé et passant par le point donné.

20* Étant données deux des surfaces homofocales, trouver une surface de révolution du second degré ayant pour axe Tun des axes de ces surfaces et à laquelle appartienne la ligne d*intersection.

24 0 Étant donnés les paraboloïdes homofocaux représentés par Téqualion

dans laquelle X est un paramètre arbitraire; si Ton attribue au paramètre X deux valeurs telles que les paraboloïdes correspondants se coupent, ils se couperont à angle droit. Lorsqu\in paraboloïde est coupé par deux autres d'espèces différentes, les tangentes aux deux lignes d'intersection au point commun sont parallèles aux axes de la seclion faite dans la preuiièrc surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

5te LIVRE VI, CHAPITRE VIL

m^ Étant donnés denz parabololdes homofo^iux, troaver one snrfuee de révolution du second degré ayant pour axe Vit» commun des paraboloîdes et à laquelle appartienne la ligne d'intersection.

93<> Étant données deux droites tangentes à une spbère^ une droite tangente à la sphère glisse sur ces deux droites, trouver le lieu du point de Contact. (Gerde.)

24o Trouver le Heu du sommet d*an autre Irièdre droonsoril k un ellip- Mîde, et dont les faces sont parallèles à trois plaHs diamétraux ooigognés d*ua autre ellipsoïde.

25o Trouver le lieu dn sommet d'un angle trtèdr« trtrfCUngU dont les arêtes sont tangentes à un ellipsoïde.

26o Par les divers points d*Une section plane d*un cône de révolution on mène des normales à la surface ; trouver le lieu du second point de rencontre de chacune des normales avec la surface.

27» Une droite se meut de tçUe sorte que trois de ses points restent dans trois plans fixes ; quel est le lieu décrit par un point quelconque de la droite mobile?

36* Un cône a son sommet au centre d*Qki ellipsoïde et pour baM ia eourbe dMntersection de Tellipsolde et d'un sphère concentrique ; tout plan tiiigent au cône coupe Tellipsoïde suivant une ellipse dontrarèie de contact «M l'un des axes.

2l9o On coupe Tellipsoîde -^ -h^-f- t— ^ = ^ par le plan

X cosa 4- y cosp -4> j^ coSY=«= 0 ; démontrer que les axes de la section sont déterminés par Téquation

a'cos*a 6"cos*p c'cos't *

éans laquelle r désigne la valeur de l'un des axes.

30<» Deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points peutent être inscrites dans un même cône du second d^ré.

34 <* Deux ellipsoïdes se touchent suivant une courbe plane; on mène un plan tangent à Ton des ellipsoïdes parallèlemeni aux sections circulaires de cet ellipsoïde ; ce plan coupe Fautre ellipsoïde suivant une ellipse dont lun des fo]f«r8 est au point de contact.