DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
k négatif et égal à — Ar^ ; les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
La forme (i5) correspond au paraboloïde byperboUqua} l«s deux 3yslème9 de génératrices rectilignes sont représentés par les équations
Enfin la forme (i6) donne un cylindre hyperbolique.
S68— Dans ce qui précède nous avons supposé les axes rectangulaires. On peut employer la même méthode de transfor*' matioo quand les coordonnées sont obliques^ et Ton reconnaît
aisément que Ton a
. pz^cos^
0 et O' étant les angles que la normale au plan y = o fait ayec les axes OZ et Gtl ; il en résulte^ comme dans le cas des coordonnées rectangles^ Y = ^^'^ ^ ^^^^^ ^^^ constante.
premier membre de Téquation, ordonné par rapport à Xf est
4»«4- 4aî (y + î«) + 3y»4- 9z«-h 4y -h 8» -H 9, ou
(2» -V- y 4- 1«>» — (y 4- «J)'-h ay^-h fx'-h 4y ^- 8* 4- 9,
et, en faisant les rédactions dans ta seconde partie,
La seconde partie, ordonnée par rapport à y, devient
Enfin la dernière partie de ce nouveau polynôme est
3ji«4- 42« 4- 7 cr 3 (* -f- 2)*- 5.
Il résulte de ce qui précède que Téquation proposée peut se mettre sous la
forme
Cette équation représente un ellipsoïde, ai les trois plans déinia par les
équations
2aj-|-y-i-2;f = 0. y — z-h^=0, *-^2 = 0,
sont trois plans diaroétranz conjugaés de la surface. Ces plans se coupent
au point x ==: -, y =— 3, 9 =— 2, qui est le centre de la surface.
ExnPLi II. 4aj*— 45y*-+-UyarH-4«aî— 4a?y4-4aî— 34y-f-24*— 18=0. On a saocessÎTement
4a?'— 46y*+Uy»-h42a? — 4acy + 4ap — 34v-4-24« — 18 = 4a5"-f-4x(« — y-M) — 46y»4-<4y* — 34y-+-24z — 48 = (2ap — y-Hz4-4)«— 46y»-h46y« — «■— 32y-H22« — 49;
puis
et enfin
L*équation proposée prend la forme
(îop — y + *-f.4)^— 4(2y — j5-h2)«4-3(s + 4)»— 6=0;
elle représente un hjperboloîde à une nappe. Les équations des deux systèmes de génératrices rectil ignés de la surface sont
I 2x-+-3y- 5+5 = X [V6-h(5-+- 1 ) Vs] y ( 2aH-3y-« +5 = pi [ V6-{a4-4 ){l
\ îa;-5y+3s— 3 = i[V6-(2-+'4)V3]; j 2x-5y-+-3«-3 = i[V6-HaH-<)V3
l A \ Jt
L*équaiion du cône asymptoie est
(2cr — y-+-«-f-4)"— 4(2y — «4-2)«4-3(z-|-4)«=0.
Exemple III. 4a7«H-4y*+425* — 42y;?-h4a5y-4-4x-H2y-4-3« = 0. On a
4a>»-f.4jr(y-h4)-f-4y«H-42a«— 42y»-h2y-4-3« = (2a;-|-y-|-4)*+3y*-|-42«*—42y* 4-3^ — 4,
3y*-+-422«— 42y«-i-3«— 4 ==3{y — 2jk)'4-3« — 4,
et Téquation de la surface peut se mettre sous la forme
elle représente un paraboloïde elliptique.
Exemple IV. 4ûd*— 2y"— 42««+42y«-h4ajy-l-4aj-h2y-H3«=:0. L'équation se met sous la forme
elle représente une paraboloïde hyperbolique. Les deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont donnés
DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 509 par les éqnadoos
Exemple Y. aî»-|-4y'H-«*— iy»— 2»aH-4ac!/-h6x4-4y— 5»-|-3=0. Ordonné par rapport à x, le premier membre s'écrit
a;*-H2a;(2y— «-f-3)4-4y*-hs* — Ay«-h4y — 6«-l-3 = (x-t-2y — *-t-3)*— 8y-+-« — 6,
et Téquation proposée prend la Torme
elle représente un cylindre parabolique ; les arêtes du cylindre sont parallèles à la droite déterminée par les deux équations
ICxEMPLB VI. Indiquer les direrses surfaces représentées par Téquation
05"-+. (2m«-4- 4) (y*H- «•) — 2 (y* -f- aa? -h ojy) =s 2m»— 3mH- 4,
dans laquelle m est un paramètre variable. Le second membre est un po-
lynôme du troisième degré dont les racines sont 4 et ■ ; li l'on pose
m'= ïr^» m''== -3^— — » on écrira ce polynôme sous la forme
2(m — mO(m — mOCm— 4).
Lorsque le paramètre m est différent de téro, si Ton transforme le premier membre en une somme de carrés, Téquation devient
Lorsque le paramètre m est égal à zéro, Téquation se réduit à
(aï — y — ;j)*--4yaf = 4.
La racine m" est plus petite que l'unité, la valeur absolue de m' est au con« traire plus grande que Tunité.
4o Qaand le paramètre m a une valeur comprise entre — oo et m\ les coefficients des carrés étant positifs et le second membre négatif, on a un ellipsoïde imaginaire. Lorsque m acquiert la valeur m\ le lieu est un point.
2<» Quand m est compris entre m' et — 4 , les coefQcients des carrés étant positifs, ainsi que le second membre, la surface est un ellipsoïde. Pour m ==:.:. 4 , Tellipsoïde se change en im cylindre elliptique*
510 UVHË VI, CHAPITRE VH.
30 Quand m est compris enire ~ 4 et m", le lieu est un hjperboklde I une nappe. Cet intervalle comprend la valeur m = 0, 9i laquelle Be convient pa& la première forme ; mais la seconde forme montre que dans ce cas la surface est toujours un hyperboloide à une nappéi Pour m = m% Tbypet'boloîde se change en un c6ne.
i» Lorsque m est compris entre m' et + 4 , le second membre devenant négatif, on a un byperboloîde à deux nappes. Pour m = 4 , on a une droite.
5* Enfin quand m est compris entre 4 et + •» , 0* a de nouveau un ellipsoïde.
Pour que la surface soit de révolution, comme les trois coefficMis B» B', B" sont différents de zéro, il faut que Ton ait les relations
