DISTANCE DE DEUX POINTS

55— Supposons d'abord les axes rectangulaires et cher- \' chonjs la distance de l'origine à un point M

dont nous appelons a; et ^ les coordonnées; dans le triangle rectangle OPM (flg. 34)^ on a

01* = OP* + PM* = ic»-|- y%

Fig. 34. quelle que soit la position du point H dans le

pian; d'où Ton déduit, en désignant par ( la distance OH,

(10) / = Va;*-|-y^

Cherchons maintenant la distance des deux points M et M^, situés d'une manière quelconque dans le plan; nous appelons

xt\ y les coordonnées du point M, x/ et y celles du point M' par rapport aux axes M' rectangulaires OX, OY. Par le point M

^ --- (flg. 35) menons des axes MX', MY', parai-

lèles aux axes proposées; les coordonnées

* du point M' relatives à ces nouveaux axes Fig. 36. gQHt égales kxl — Xy y' — y, en vertu des

formules (2) du n* 49- La distance I de la nouvelle origine M au point M' sera donc, d'après la formule (10),

(II) i = yj(a:f^xy-t-{y' — y)'.

50 — Nous a\6ns supposé jusqu'à présent les axes rectangulaires. Quand les axes sont obliques et font entre eux l'angle 6,

Texpression de la distance est un peu plus compliquée. Cherchons d'abord la distance de l'origine 0 à un point quelconque M du plan.

Dans le triangle OPM (flg. 36), quelle que soit la position du point M,

Flg. 36.

on a

ÔÂr=OP'-[-PM*— 2.OP.PM.COSOPM.

Quand le point M est silué dans l'angle YOX, les coordonnées a? et y de ce point sont égales à -h OP et à 4- PM, et Tangle OPM est le supplément de l'angle 9; on a donc

(12) / = ya;*-hy*H-2a;ycosÔ.

Si le point M est situé dans l'angle Y^ OX', les coordonnées xeiy étant égales à — OP et à — PM, et l'angle OPM le supplément de 6, on obtient la même formule (12). Quand le point M est situé dans Tun des angles YOX', Y'OX, Tângle OPM est égal à 6, mais Tune des coordonnées est positive, l'autre négative, ce qui reproduit encore la formule (12). Cette formule est donc générale.

Pour avoir la distance de deux points M et M^ on imaginera comme précédemment par le point M des axes parallèles aux premiers, et on obtiendra la formule

(i3) / = V(a?' — x)î4- (y^ — y)«-f- 2 (a:' — x) [y^ — y) cosG.

57~0n a souvent besoin des coordonnées du point qui Y/ / partage dans un rapport donné la droite

'^t qui joint deux points donnés. Appelons M. 00 et y, a^ et y' les coordonnées des deux

points donnés M et M' (flg. 37), et désignons par x^ et t/^ les coordonnées du point Mj qui pariage la droite MM' en

Fig. 37.

TRANSFORMATION DES COORDONNEES. 49

L MM tn/

leux segments tels que Ton ait ^rprp = — • Si Ton transporte

les axes parallèlement à eux*mêmes au point H^ les coordonnées Douyelles du point M' et du point M^ seront ocZ—'X, yf — y et «j— a?, y^ — y. Les différences x^^x et xZ—x, ou y^ — y

et y' — y, ont le même signe; leur rapport est égal à ^^^

m — ; — -, ; on a donc ^ = ^ — ^ = — ---si

j, , mx -f- %nl X* mu -h m/ w'

d'où X, = -V — 7—» y, = -^ — ; — r"

Ou peut se proposer plus généralement de chercher sur une droite MM' un point tel que le rapport de ses distances aux deax points H et M' soit égal au rapport de m' et m. Envisagée de ce point de Yue^ la question présente deux solutions; les formales précédentes se rapportent au cas où le point Mj est placé entre les deux points M et IF ; mais il y a une seconde solution ; supposons^ par exemple^ m' plus grand que m; on peut trouver sur le prolongement de la droite MH^ au delà du point H^ un

point M, tel que Ton ait tt-sûF^ — • Appelons x^ et y, les coordonnées de ce point; on aura, comme précédemment,

a?,— a?,y,— y__M,M mf , xf — x y' — y MM' mf—tn^

on déduit ces formules des précédentes en changeant le signe de Fune des quantités m et m'. On aura donc

m'j/ — mx m'y/ — my

■ m! — m *• ml — m

Quand les deux quantités met m! sont égales^ le point M^ devient le point milieu de MU' et a pour coordonnées

Le point H, s'éloigne à Tinfini.