CHAPITRE I

lilgne droite.

CONSTRUCTION DE l'ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ.

60'— L'équation générale du premier degré entre les deux variables xety est de la forme

(i) Aa? + ByH-C = o.

Nous avons déjà fait remarquer que la ligne représentée par cette équation^ ne pouvant être coupée par une droite en plus d'un point, est nécessairement droite. Nous démontrerons directement que cette équation représente une ligne droite.

Il est impossible que les deux coefficients A et B des variables soient nuls à la fois; car alors il faudrait que Ton eût

C = o^ et réquation se réduirait à une identité. Mais il peut arriver que Tun des

(>' «/ M G coefficients soit nul; si, par exemple, le

coefficient A est nul^ Téquation se réduit ~x à la forme By-f-C = o ou y = 6. Cette Fig. 38. équation représente le lieu d'un point H

dont Tordonnée AiP est constante et égale à b, quelle que soit l'abscisse OP; c'est une droite G'G parallèle à Taxe OX (fig. 38); on l'obtient en portant sur l'axe OY^ à partir de l'origine, une longueur OB égale à la valeur absolue de 6, dans un sens ou dans l'autre, suivant le signe de b, et menant par le point B une parallèle G' G à l'axe OX. En particulier, l'équation y=o représente l'axe OX lui-même.

Lorsque le coefficient B est nul, l'équation se réduit à

KX'hQ = o, ou x = a. Cette équation représente le lieu du

point M dont Tabscisse MQ est constante et égale à a, quelle que soit l'ordonnée OQ; c'est une droite H^H parallèle à Taxe OY (fig. 39); on l'obtient en portant sur Taxe OX, à partir de Torigine, une longueur OA égale à la valeur absolue de a, dans un sens ou dans TauUre^ suivant le signe de a, et menant par le point A une parallèle H^H à Taxe OY. En particulier, réquation a; = o représente Taxe OY.

Lorsque le coefficient B n'est pas nul^ on peut diviser par B et mettre l'équation sous la forme

(2) y = ax-i-b, A

en posant^ pour abréger^ a=— g» 6=— -.

Considérons d'abord le cas particulier où 6 = 0, ce qui réduit l'équation à la forme

ou - = a.

Si a est un nombre positif^ tous les points du lieu, ayant

B leurs coordonnées de même signe^ se trouvent dans Tangle YOX, ou dans son opposé par le sommet Y'OX^ (flg. 40). Prenons une abscisse quelconque OP, et par le point P menons une parallèle à l'axe des y; on pourra, sur cette parallèle, trouver un point M tel que

MP l'on ait gp=a, le point M

sera un point du lieu. Soient M, M^ M", ... divers points du lieu construits de cette façon ; des rapports égaux