ÉQUATION DU CERCXE EN COORDONNÉES POLAIRES

•f — Soit 0 le pôle et OX Taxe polaire (fig. 60); appelons a

et 0c les coordonnées du centre C^ r le rayon^ p et a> les coordonnées d'un point quelconque H de la circonférence. Dans le triangle OCM^ on a

X (17) p*— 2apcos(<d — a)H-a' — r*=o.

Fig. 60. Lorsque le pôle 0 est situé sur la

circonférence^ on a a = r^ et Téquation se réduit à

(18) p = 2rcos((o — a).

Pour montrer une application de cette équation, considérons deux cercles qui se coupent; par Tun des points dMntersection 0^ menons une sécante quelconque; cette sécante rencontré les cercles en deux autres points H etM^; cherchons le lieu du point milieu de la droite MH^ Si Ton prend le point 0 pour pôle^ les deux cercles sont représentés par les équations

p = 2r cos (w — a), p = 2r'cos (to — tx!),

et Ton obtient immédiatement Téquation du lieu

p = rcos(cû— a)-+-f'cos((o — oJ);

cette équation pouyant être mise sous la forme

le lieu est un cercle passant par le point d^ntersection 0 des deux cercles donnés.

9S — On définit les lieux géométriques de plusieurs m^nières : tantôt on donne une propriété commune à chacun des points du lieu ; et c'est en traduisant cette propriétéi à Taide

84 LIVRE II, CHAPITRE lll.

des signes algébriques, /)ue Ton obtient Féquation du lieu. C'est ainsi que nous avons défini la circonférence du cercle, le lieu des points distants d'un point donné d'une quantité donnée; en exprimant cette propriété commune à tous les points du lieu, nous avons obtenu Véquàtion de la circonférence (n** 84). TVous avons trouvé de la même manière le lieu des points dont les distances à deux points donnés sont entre elles dans un rapport donné (n' gS); l'expression de cette propriété donne réquatipn du lieu. Nous avons aussi obtenu par le même procédé l'équation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint deux points donnés (n° 80), et celles des bissectrices des angles formés par deux droites données (n'' 81 ). Mais on définit ordinairement une ligne PQ (fig. 61) par le mouvement d'un point dans le plan. Chacune des positions du poin t mobile H est donnée par la construction d'une figure dont les diverses parties ne dépendent que d'un paramètre arbitraire a. D'après cela, les deux coordonnées a; et j^ du point H sont des fondions de ce paramètre variable a; soient

ces deux fonctions; on obtiendra l'équation du lieu décrit par le point M, en éliminant le paramètre a entre ces deux équations.

En général, la construction géométrique détermine chacun des points du lieu par la rencontre de deux lignes mobiles qui dépendent par conséquent du paramètre a; soient

(i) F (x,y, a)==:ô (2) ¥^{x,yja) = o

les équations de ces deux lignes. Si l'on attribue à ce paramètre

une valeur particulière, on obtien t dçux lignes A et B qui se coupent en un point M, dont les coordonnées x et y vérifient les deux équations simultanées j(i) et (2). Si l'on attribue au paramètre une autre valeur a\ les deux lignes occuperont les positions A' et B' et le Fig. 61. point d'intersection viendra en M^ une

troisième valeur a!* attribuée au pwamètre donnera les deux lignes A^' et B" et le point d'intersection M''^ et ainsi de suite. Concevons que Ton fasse varier le paramètre a d'une manière continue^ les deux lignes A et B se déplaceront dans le plau d'une manière continue et le point d'intersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l'équation de la ligne PQ^ lieu du point H^ en éliminant le paramètre a entre les deux équations (i) et (2). En effets éliminer a entre les deux équations (i) et (2]^ c'est trouver un système de deux équations

(3)f F,(a?,y, a)==o, (4) f{x,y) = Oy

équivalent au système des deux équations (i) et (2)^ et tel que Time d'elles ne renferme plus la lettre a. On dit que deux systèmes d'équations sont équivalents, lorsqu'ils sont vérifiés par les mêmes valeurs attribuées aux variables. Quand ou attribue à a une valeur particulière, les coordonnées a; et j/ du point M, jointes à cette valeur de a, forment un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant à la fois les deux équations (i) et (2); puisque le système des équations (3) et (4) est équivalente au précédent, ces valeurs vérifient aussi les équations (3) et (4); l'équation (4), ne renfermant pas a, est donc vérifiée par les coordonnées de l'un quelconque des points du lieu. Ainsi, l'équation (4) représente la ligne que décrit le point M, quand on fait varier le paramètre a.

Réciproquement^ tout point M, dont les coordonnées x ei y vérifient l'équation (4), appartient au lieu. Car, si l'on détermine la valeur de a qui vérifie l'équation (3), dans laquelle on attribue kxeiy les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant le système des équations (3) et (4). Les équations (i) et (2), formant un système équivalent à celui-là, seront vérifiées par les mêmes valeurs; on obtiendra ainsi deux lignes A et B passant par le point M.

11 peut arriver cependant qu'à un système de valeurs réelles de X et de 2/ vérifiant l'équation (4) corresponde une valeur

86 LIVRE ir, CHAPITRE III.

de a, poiit laquelle les équations (i) et (2) ne représentent pas de lignes; c'est ce qui aurait lieu^ par exemple^ si la valeur de a était imaginaire. Mais^ dans tous les cas^ les valeurs de x, y a satisferont aux deux équations (1) et (2).

•9— Quoique la construction de chacune des positions de la figure qui donne les divers points du lieu ne dépende que de la valeur attribuée à un paramètre arbitraire^ il est souvent plus commode d'introduire dans le calcul plusieurs paramètres variables a^b^c,...; mais alors ces paramètres sont liés entre eux de telle sorte que la valeur d'un seul soit arbitraire et que la variation de ce paramètre détermine^ par conséquent^ celle de tous les autres. Si ces paramètres sont au nombre de n, ils seront liés par n — i équations de condition.

Supposons d'abord que Ton n'emploie que deux paramètres variables a et b liés par l'équation de condition

(5) 9 (a, 6) = G, et soient

(7) Fi(^> y> ^> b)=o,

les équations des deux lignes mobiles A et B dont Tintersection donne cbaquç point du lieu. Si l'on fait varier le paramètre a d'une manière continue^ le paramètre b, qui dépend de a d'après la relation [S), variera aussi d'une manière continue; les deux lignes A et B^ dont les équations contiennent ces deux paramètres^ varieront aussi d'une manière continue, et leur poipt d'intersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l'équation de celte ligne en éliminant les deux paraRiètres a et 6 entre les trois équations (5), (6), (7). En effet, éliminer a et b entre ces trois équations, c'est trouver un système d§ tiroir équations

(10) f{x,y) — Oy

équivalent au système proposé et tel que l'une d'elles ne contienne plus a et 6. Quand on attribue à a et 6 des valeurs vérifiant l'équation (5), les coordonnées ^r et y du point M, jointes

à ces val^irs de a et de 6, forment un système de râleurs des quatre quantités x, y, a, b, vériflant à la fois les trois équations (5)^ (6), (7). Les trois équations (8), (9)^ (10); formant un système équivalent au système précédent^ seront aussi vérifiéesl par les mêmes valeurs; l'équation (10)^ étant indépendante de a et de 6^ sera donc vérifiée par les coordonnées a: et y de chacun des points du lieu. Réciproquement^ tout point H dont les coor^ données j? et j^ vérifient Téquaiion (10)^ appartient au lieu; car^ si Ton détermine les valeurs de a et de 6 qui vérifient les deux équations (8) et (9), dans lesquelles on attribue à « et à y les valeurs précédentes , on obtient un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b vériflant le système des trois équations (8)^ (9)^ (10). Les trois équations (5), (6), (7)^ formant un système équivalent à celui-là^ seront aussi vérifiées^ et Ton aura deux lignes A et B passant par le point H.

100 — Supposons^ en général^ que Ton emploie n paramë^très variables a, b, c,...,h, liés entre eux par n — t équa^ tioDs de condition