II
et soient
9i(a, 6, c,..., A)=:o, ç,(o, b, c,..-, ft)=o,
(12) F (X, y, a, b, e,.. ., ft) =0, (i3) Fj(x, y, a, b, c,,.., A)==o,
les équations des deux lignes mobiles A et B^ dont Tinta^section donne chaque point du lieu. Quand on fait varier le paramètre a, les autres paramètres varient simultanément, et le point M décrit le lieu. On obtient Téquation de ce lieu eh éliminant les n paramètres entre les n-4- 1 équations (n), (12), (i3).
Ittft — Nous avons dit que la construction dQ U figure ne dépend que d'un seul paramètre arbitraire a. Si la figure dépendait de deux paramètres arbitraires a et 6^ les deux coordonnées jr et y du point M seraient des fonctions de ces deux paramètres
88 LIVRE n, CHAPITRE m.
Oa pourrait attribuer à ces paramètres des valeurs telles que le point M coïncidât avec un point quelconque du plan ayant pour coordonnées œ^ et y^; il suffirait, pour cela, de déterminer a et b à l'aide des deux équations
Le point M décrirait ainsi tout le plan et non une ligne déler* minée dans le plan.
On comprend bien par là comment il est nécessaire, lorsqu'on emploie n paramètres variables, que ces n paramètres soient liés par n — i équations de condition distinctes; car si on pouvait réduire ces équations de condition à un nombre moindre, deux paramètres au moins seraient arbitraires.
Il peut arriver que les deux lignes variables A et B se coupent en plusieurs points; le calcul précédent donne le lieu décrit par l'ensemble de ces points.
PROBLÈME I
103— f^anl donnés un angle XOY et un point fixe P dans
le plan (fig. 62), par le point P on mène une sécante fixe PB A
et une sécante mobile PDG, on mène les droites AD, BC; trouver
le lieu de leur point de rencontre M.
Prenons les droites OX et OY pour axes des coordonnées, et
désignons par x^ et y^tles coordonnées du point P. La sécante fixe PBA aura une équation de la forme
dans laquelle le paramètre a a une c T valeur constante. De même la sé- (Fig. 63.) cante mobile PDG sera représentée
par l'équation
dans laquelle m désigne un paramètre variable. Si, dans chacune de ces équations, on fait successivement y = o, a; = o, on obtient lés coordonnées des points où ceB droites rencon-
rent les axes des coordonnées,
A, y=o, a»=aa;t— ^S
B, Xi!=o, y — Vi—aXi,
Ea appliquant la formule du n*' 67, on a les équations des iroites ÂD^ CB,
(I) -^ + iL = ,,
Les valeurs de x et y, qui vérifient les deux équations simultanées (i) et (2)^ sont les coordonnées du point d'intersec^ lion H des deux droites AD et BC ; ces coordonnées varient avec le paramètre arbitraire m. Si l'on retranche les deux équations membre à membre, on obtient l'équation
* Wi — »wPi ^ Vi — aocj "^ ^ XVi — fnx~ y,—aorJ "~ ^' ou plus simplement
qui^ jointe à Téquation (1)^ forme un système équivalent au système des deux équations (i) et (2). Tant que le paramètre m a une valeur différente de a, le premier facteur étant différent kiéro, les coordonnées a; et y du point H doivent annuler le second facteur. Ainsi^ les coordonnées de chacun des points du lieu vérifient Téquation
•yiX + a?iy = o, (4) ^--«^-
^^' X x^ Ce lieu est une droite OL passant par Torigine. " * *
90 LIVRE 11, CHAnTBS III.
Quand m=a, le système des deux équations (i) et (2) se réduit à réquation (1); les deux droites AD et BC coïncident et leur point d'intersection est un point quelconque de la sécante fixe P A .
Si Ton avait fait Télimination d'une autre manière; si Von ayait^ par exemple, tiré la valeur de m de l'équation (i) pour la porter dans Téquation (2), on durait obtenu une équation du second degré, dont le premier membre serait décomposable en deux facteurs du premier degré et qui, par conséquent, représenterait deux droites, le lieu OL et la droite PA. Cette équation serait
On voit que l'équation (4) ne contient pas le paramètre constant a; il en résuite que le lieu est indépendant de la position particulière attribuée à la sécante fixe PA. On en conclut le théorème suivant : Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans son plan, si par le point P on mène deux sécantes quelconques PA, PC, le point de rencontre U des deux droitôs AD et BC est toujours situé sur une même droite OL^
Nous remarquerons encore que l'équ^ion (4) ne dépend que
du rapport ^> c'est-à-dire du coefficient angulaire de la droite
0P« Ainsi le lieu OL restera le même, si l^on déplace le point P sur la droite OP passant à l'origine.
fl03 — On peut traiter cette question d*unô manière plus rapide. Supposons que l'on ait tracé dans le plan deux axes quelconques. Représentons, pour abréger, par a = o, p = o les équations des droites données OA et OB, et par y=ro celle de la sécante fixe PA. On déterminera le point donné P, non plus par ses coordonnées, mais par l'intersection des deux droites données PA et OP ; cette dernière, passant par le point d'Intersection 0 des droites OA et OB, a une équation de la forme p + aa = o. La sécante mobile PC, menée par le point d'intersection P des deux drQÎtes p-f-ô5c = o, y=o, est représentée par une équation de la forme
(i) P-l-ïiotH-tnYs=o,
dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point C^ où
cette sécante coupe la droite OA^ est donné par les deux équations simultanées a = o, p-|-aa4-my = o, ou plus simplement a=:o, PH-tnY = o; celle dernière équation représente une droite passant par le point C^ et aussi par le point d^intersedion B des droites P = o, y = o; c'est donc Téquation de la droite BC. De même, le point D, où la sécante mobile coupe la droite OB, est donné par les deut équations simultanées ^=0^ ^-f a(x-4-my = o, ou plus simplement P = o, aa4-my = o; la droite représentée par cette dernière équation, passant aussi par le point d'intersection A des droites a — o, y = o, n'est autre chose que la droite AD. Les deux droites mobiles BC et AD, dont Tintersection détermine un point M du lieu, ont donc
pour équations
(2) p + my = o,
(3) aa + my = o.
On obtiendra Téquation du lieu en éliminant le paramètre m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on obtient Téquation
(4) p — aa = o.
On en conclut que le lieu est une droite passant par le point 0. Cette droite est indépendante de y, c'est-à-dire de la sécantq fixe PA, et elle est la même quelle que soit la position du point P sur la droite OP.
Nous ayons supposé que le paramètre m a une valeur finie,
si Ton remplace m par -• et, qu'après avoir multiplié par q, on
fasse (j[ = o, les équations (i), (2), (3) se réduisent à y=o; la Géante mobile coïncide avec .la sécante fixe PA, ainsi que les deux droites BC et AD.
PROBLÈME II
Mê^Les côtés d'un triangle variable ABC tournent autour de trois pointe fixes P, F, P", situés en ligne droite, tandis que dmx des sommets ketB glissent sur deux droites fixes ID et lE * iTouver le lieu décrit par le troisième sommet C (flg. 63).
Traçons dans le plan deux axes quelconques, et, pour abré-
ger, représenlons, comme précédemment, par ar=o, p==o
les équations des droites données ID, lE, et par y = o celle de la droite PP'P"; chacun des points fixes P, P', P'' peut être défini par Tintersection de cette droite et d'une droite passant par le point I; le point I étant le point d'intersection des droites a=o, P=o, (Fig/es.) l^s droites IP, IF, IP'^ ont des
équations de la forme
dans lesquelles a, a', a" désignent des coefficients constants. Pour construire une position particulière de la figure variable, on mènera par le point P une droite arbitraire PA, puis on tracera les droites AP' et BP" dont Tintersection donnera un point C du lieu. Le point P étant l'intersection des deux droites y = o, p + aa = o, la droite PA, menée par ce point, aura une équation de la forme
(i) P-f-aa-|-iny = o,
dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point A, où la droite PA coupe la droite lA, est donné par les deux équations simultanées a = o, p-j- aa -f- my = o, ou plus simplement a = o, j3-f-my = o. La droite AP', passant par ce point, a une équation de la forme P-r-my-|-m'a = o; il faut déterminer le coefficient m' de manière que la droite passe aussi par le point P', défini par les deux équations y = o, P -4- a'a = o; si dans l'équation de cette droite on fait y = o et |â= — a' en, on a {ml — à')a = o; et, comme a n'est pas nulle, puisque le point P' n'est pas sur la droite a = o, on a ml — a' = o\ on prendra donc m'=^a'. Ainsi, la droite AP'
est représentée par l'équation
(2) P-l-a^a-hmy = o.
De même, le point B, où la droite PB coupe la droite IB, est donné par les deux équations P = o, p4-aaH-my = o, ou
plus simplement p = o, aa-}-mY = o; ladroite BP", passant par ce points a une équation de la forme aa-hmY-f-m''P = o; on déterminera le coefficient m'^de manière que cette droite passe par le point P", intersection des droites y = o, p-f-a''a=o; si^ dans cette équation^ on fait Y=ro et ^=— a'^a^ on a
(a — m''a'^ a = o; on prendra donc m''= -7,; ainsi, la droite W est représentée par Téquation
(3) ^,(P4-a"«)H-mY=o.
Les équations (2) et (3) sont les équations des deux droites mobiles AP' et BV, dont Tintersection donne un point quelconque C du lieu ; on obtiendra l'équation du lieu en éliminant le paramètre arbitraire m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on a Péquation
(4) {a^—a)a'oL + (a"—a)^ = o.
Oo en conclut que le lieu cherché est une droite passant par le point I.
flO& — Corollaire I. On déduit de ce qui précède la solution de ce problème : Inscrire dam un triangle IDE un second triangle dont les colis passent respectivement par trois points donnés P, P', F en ligne droite. Si l'on conçoit un triangle variable dont les côtés soient assujettis à passer par les points P^ P', P'^^ tandis que deux des sommets A et B glissent sur les àroites ID^ lE^ le lieu du troisième sommet G est une droite IG. Le point de rencontre G^ des droites IG et DE est donc Tun des sommets du triangle cherché; lés droites CJ^, G^P" donnent les deux autres sommets A^ et B^. Il est à remarquer que cette solution n'exige aucun autre instrument que la règle.
Corollaire IL On peut aisément généraliser le problème précédent. Considérons un quadrilatère dont les quatre côtés pivotent autour de quatre points fixes P, F, F', P'^' situés en ligne droite, tandis que trois sommets A^ B^ G glissent sur trois droites fixes R, S, T; et proposons de chercher le lieu décrit par le quatrième sommet D (fig. 64).
Les trois côtés du triangle BCE pivotent autour des trois
Fig. 64.
U LiVllÊ U, CHAPITRE III.
paints fixes P, P', F'', tandis que deux sommets B et C glissen^
sur les droites fixes S et T; le sommet E déi crit donc une droite EF^ D*après cela^ les troi$ côtés du triangle Âp pivotent autour des trois points fixes P, F, F, tandis que deux sommets A et E glissent sut les deux droites R et EF; le sommet D décrit donc une ligne droite.
Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagone. Ainsi, quand les n côtés d'un polygone pivotent autour des n points fixes situés en ligne droite, tandis que n — i sommets glissent surn — i droites fixes, le !*"•• sommet décrit une ligne droite.
On en déduit le moyen d'inscrire dans un polygone de n côtés un autre polygone de n côtés passant respectivement par n points fixes en ligne droite.
PROBLÈME UI
HOÛ— Etant donné un triangle ARA', par un point fixe 0 pris sur un côté AA' on mène une sécante mobile OCC, on fait passer un premier cercle par les trois points 0, A, C et un second cercle par les trois points 0, M, G; trouver le lieu du point d'intersection M de ces deux cercles (fig. 65).
Prenons la droite OA^ pour axe des X et une perpendiculaire OY menée par le point 0 pour axe des y. Si Ton appelle a et a^ les abscisses des points A et A^, les deux droites fixes AB, A'B seront représentées par les équations
Fis. 65. (2) y = c^(x — a'),
A la sécante mobile OC par Téquation
(3) y = mx,
lans laquelle m désigne un paramètre variable. On obtient les coordonnées du point C en résolyant les deux équations simultanées (i) et (3), ce qui donne
ca mca 0?= » y = .
c — iw c — iw
Tout cercle passant par les deux points 0 et A a une équation de la forme
dans laquelle le paramètre b est arbitraire. On détermine ce paramètre en exprimant que le cercle passe par le point C^ ce
qui donne
^^a(cm 4-0, c — m *
le cercle qui passe par les trois points 0^ Â^ C a donc pour
équation
//x • . « a(cm-f-i)
(4) x^-hy^—ax ^^ 'y=o.
Si, dans cette équation^ on remplace a et c par a^ et &, ou obtiendra évidemment Téquation du cercle qui passe par les trois points 0, A', C,
t^our avoir Téquation du lieu du point d'intersection M des deux cercles^ il faut éliminer le paramètre variable m entre les deux équations (4) et (5). En égalant les valeurs de m tirées des équations (4) et (5)^ on obtient Téquation
c {x^-hy^ —ax) — fiy __d (x*+ y* — o!x) — dy (pi^-\-y^ — ax) -h cay "" (a?«-f- y« — a'x)'\-cla'y^
qui, mise sous forme entière, s'écrit
(c — d) [(a?' H- y' — 00?) (a?* H- y' — dx) -h ad y*) •+- (i -f- cd) y [d {a;' -H y' — ax) — a [x'^-^-y^ — dx)] = o
ou
(€ — &)[ (x* H- y*)* — (a -h a') x (x^ -t- y*) -h aa' [x^ -h y*) ] -h (i -h cd) (a' ^a)y (ic*-h y') = o;
en mettant a?* h- y' en facteur commun, et divisant par c — d, on a réquation
(6) (a:*+y«) [a:»+y«-(a-haOa;- (i-HcaO(a-aOy^^^,
Cette équation se décompose en deux; Tune,
ic«-l-y« = o,
donne le point 0 où se coupent toujours les deux cercles mobiles; l'autre
(7) (aj'-hy*) — (a-haOaî
(i + ccQ (g— gp c — d
y^aa =o
est réquation du lieu du point H. Ce lieu est un cercle.
Ou reconnaît à priori que les trois points B, A, A' appartiennent au lieu. Car, si la sécante mobile passe par le point B, les deux cercles se coupent en B; ce point fait partie du lieu. Supposons que la sécante devienne parallèle à la droite A^B, le point C^ s'éloignant à Pinfini, le second cercle coïncide avec la droite OA', qui coupe en A le premier cercle; on obtient de même le point A^ quand la sécante devient parallèle à AB. II est d'ailleurs facile de vérifier sur Téquation (7) que le lieu passe par trois points B, A, A^ Ainsi le lieu demandé est le cercle circonscrit au triangle ABA^
PROBLÈME IV
1L07 — Étant donnés un cercle et un point fixe P à l'intérieur du cercle, autour du point P on fait tourner un angle droit APB; on joint par une droite les deux points A et B, où les côtés de l'angle droit rencontrent le cercle, et on abaisse du point P une perpendiculaire PM sur la droite AB; trouver le lieu du pied M de la perpendiculaire (fig. 66).
Fig. 66. Prenons pour axe des x le diamètre
lie;ux géométriques. 97
OP^ pour axe des y un diamètre perpendiculaire; le cercle
donné est représenté par Téquation
(i) x^'{-y^=r\ Soit (2) y = a.T-h6
réquation de la sécante AB. Si Ton élimine y entre les deux équations (i) et (2), on obtient une équation du second degré
dont les racines sont les abscisses oc^ et x" des points A et U; les ordonnées y^ et y" auront pour valeurs ax'-hb, aa;"-|-6. Si Ton appelle c la longueur constante OP, les deux droites PA, PB ont pour coefficients angulaires
yf y" ^ ax'-hb ax''-\-b
•zr — ' -ïT — ♦ ou » „ ;
xf — c x' — c X — c . x—c
l'angle APB étant droit, on a la condition
(aa^-h6)(aj''+6)
qai s'écrit
(I -h a«) 0/0?"+ {ah — c)(a:'-l- a:') -1- 6«-h c* = o;
si Ton remplace xf + x*" et x'x" par leurs valeurs tirées de Véquation (3), on obtient la relation
(4) (H-a*)(c' — r«)4-26(ac-h6) = o,
qui lie les deux paramètres variables a et 6.
La perpendiculaire PM, abaissée du point P sur la droite AB, a pour équation
Le point M est défini par les équations (2) et (5), dans lesquelles les paramètres variables a et 6 satisfont à Téquation (4); on obtient Tcquation du lieu du point M en éliminant ces deux paramètres entre les trois équations (2), (4), (5). De l'équation
5) on tire a= ; de l'équation {2) on déduit ensuite
1 = ^—-^ ^— En portant ces valeurs dans l'équation (4),
on oblient l'équation
(6) [y^ -h[x — ay] (x* -hy^—cx-h ^' ~ ^ j = o,
qui se décompose en deux; Tune, y^-h{x — c)'=o, donne le point P; Tau Ire,
(7) x^-hy^ — cx-ï = 0
représente le lieu cherché.
Il est évident que le point P n'appartient pas au lieu géométrique tel qu'on Ta défini ; mais il est facile de comprendre comment l'analyse l'introduit dans le résultat. Les coordonnées jj = c, t/ = o du point P vérifient l'équation (5), quels que soient les paramètres; on pourra donc déduire des deux équations (2) et (4) des valeurs correspondantes des deux paramètres a et 6; on trouve ainsi a=dzt, 6= — ac. C'est une application de la remarque faite au n"* 98.
L'équation (7) montre que le lieu est un cercle ayant son centre sur la droite OP. Pour le construire, il suffit de déterminer les deux extrémités du diamètre CD; si Ton mène des droites AB', BA' faisant des angles de 45® avec le diamètre OP, les cordes AA', BB^ étant perpendiculaires sur ce diamètre, donneront les deux points C et D.
On obtient le même cercle en cherchant le lieu du milieu M' de la corde AB. En efifet, ce point milieu est déterminé par l'intersection de la corde AB et de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette corde. Ces deux droites ayant pour équations
y = ax-^hy y =—-07,
on obtiendra l'équation du lieu en éliminant les deux paramètres variables a et 6 entre ces deux équations et Téquation (4), ce qui conduit à Féquation
^*-f-y* — caîH 1 = 0,
qui se décompose en aéux, donnant Tune le point 0 étranger au lieu géométrique, l*autre le cercle.
ftOS — ^Remarque. La circonstance que nous venons de signaler se présentera toutes les fois que Tune des deux courbes variables A et B^ dont l'intersection donne un point H du lieu (qo 98), passera par un point fixe P. En effet, supposons que les équations des deux lignes contiennent n paramètres variables liés entre eux par n — i relations; si les coordonnées x^ et y^ d'un point fixe P satisfont à l'équation de la ligne A, quelles que soient les valeurs des paramètres, en remplaçant xei y par Xi et j^^ dans l'équation de la ligne B, on aura une équation qui, jointe aux n — i équations de condition entre les paramètres, formera un système de n équations pour déterminer les valeurs de ces paramètres. Ce point P sera étranger au lieu géométrique proprement dit, si aux valeurs trouvées ne correspondent pas de lignes réelles.
Dans ce cas, il arrive quelquefois que le point P entre dans l'équation par un facteur particulier que Ton peut supprimer; après la suppression de ce facteur, Téquation représente le lieu géométrique lui-même. Hais souvent il est impossible de décomposer en deux facteurs le premier membre de Féquation, et le point P doit être considéré comme un point isolé lié à la courbe.
PROBLÈME V
ion — Trouver le lieu des points tels que les pieds desper* pendiciUaires abaissées de chacun d'eux sur les trois côtés d'un triangle ABC soient en ligne droite.
Soient
Ia? cosa + y sino — Pj = o, xcosb-hysinb — p,=o, a?cosc -f-y sine — p, = o.
les équations des trois côtés du triangle rapportées à deux axes rectangulaires quelconques, et, pour abréger, désignons par a^ ^, Y les premiers membres de ces équations. Appelons x et y les coordonnées d'un point H du lieu, Xi et y^, x^ et y,, ^t 6^ Vz celles des pieds des perpendiculaires abaissées du point H sur les côtés du triangle, on a (n"" 83),
x^ — j? = a Gosa, a?, — rc = P cos6, x^ — a? = y ^^^^f y, — y = asina, y, — y = psin6, y,— y =y sine.
Nous obtiendrons Téquation du lieu en exprimant que ces trois points sont en ligne droite. Il faut pour cela égaler les
deux rapports ^^ — ^> ^ — ^» que Ton peut mettre sous la
*X^m ' '" •A'i wj ^~~ wj
forme
(y, — y) — (.Vi — y) __ (y> - v) — {y, — y)
(x^—x) — (a?j — x) {x^—x) — (Xj— a?)* On a ainsi Téquation
fisinfr — gsina y ^^" ^ — * sin a
P cos6 — a cosa y cosc — a cosa* ou
(2) ap sin {b — a)-h- Py sin (c ■— 6) -f- ya sin (a — c) = o.
Les lettres a, p, y désignant des polynômes du premier degré en x et ^, on voit que Téquation (2) est du second degré. Le coefQcient du terme en xy est
sin (a -h b) sin (6 — a) -h sin (6 -h c) sin [c — 6) -h sin (c -h a) sin (a — 1
si Ton transforme les produits de sinus en différences de cosinus, ce coefficient devient
(C0S2a — C0S2fc) H- (COS26 — C0S2C) -f- (C0S2C — C0S2a)
il est égal à zéro. Les coefficients des termes en x* et en y* sont
A = cosa cos6 sin (6 — a) -f- cos6 cosc sin {c — b)-h cosc cosa sin (a — B = sin a sin 6 sin (6 — a) -h sin b sin c sin (c — 6) 4- sine sin a sin [a —
Si on calcule leur somme et leur différence, on a
A — B = cos(a+6)sin(6— •a)-i-cos(&-f-c)sin(c— &)-hcos(c + a)sin(a sin 26 — sin2a + sin2C — sin26-l-sin2a — sin 2c
A + B = cos(a— 6) sin{6— a)-f-cos(6— c)sin(c— 6)-|-cos(c— a) sin(a
si n 2 (6 — g) -t- sin 2 (c — 6) + sin 2 (a — c)
r= — 2 sin (6 — a) sin [c—b) sin.fa — c);
on en déduit
A = B=— sin (6 — a) sin (c — 6) sin (a — c). Ainsi, le lieu est une circonférence de cercle. L'équation {2]
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. iOl
étant vérifiée quand on y fait (î=:o, y = o, le point A appartient au lieu; il en est de mënne des points B et G; le lieu est donc le cercle circonscrit au triangle ABC. IIO — Il faut remarquer celte forme de Téqualion du cercle
circonscrit à un triangle. Le premier membre a une signification géométrique très-simple. Pour préciser, supposons que Torigine des coordonnées soit placée à rinlérieur du triangle ABC (flg. 67) et que les angles a, b, c, compris entre o et 217, soient rangés par ordre de gran- Fig. 67. (leur croissante. Considérons un point M
ayant pour coordonnées x eiy et situé aussi à Tinlérieur du triangle; de ce point abaissons des perpendiculaires sur les côtés et joignons les pieds de ces perpendiculaires pour former le triangle DEF. Les lettres a, p, y désignent les longueurs de ces perpendiculaires affectées ici du signe — ; ces perpendiculaires sont d'ailleurs dirigées dans le même sens que celles qui ont été menées de l'origine et qui ont servi à déterminer les angles a, b, c. Le terme apsin(6 — a) étant égal à MD X ME X sinDME représente le double de l'aire du triangle DME ; les deux autres termes représentent de même les doubles des triangles EMF, FMD; ainsi, le premier membre de Téqualion (2) représente le double de Taire du triangle DEF.
Considérons maintenant un point M' situé à l'extérieur du triangle ABC. On a, dans ce cas, a=— M'IV, p=— M'E^ Y =-l- M' F'; le premier membre de l'équation représente le double de la différence qui existe entre le triangle D'MŒ' et la somme des deux triangles E'M'F', F'M'D'; c'est encore le double de Taire du triangle IVE'F^ affectée du signe -h ou du signe -^. Ainsi, quelle que soit la position du point M dans le plan, le premier membre de Téquation représente le double de Taire du triangle DEF affectée du signe -+- ou du signe — . L'équation (2) exprime donc que Taire du triangle DEF est nulle; c'est-à-dire que les trois points D, E, F sont en ligne droite.
Si Ton appelle r le rayon du cercle circonscrit au triangle
ABC, et d la distance d'un point ayant pour coordonnées a; et g au centre de ce cercle, le premier membre de l'équation (2J pouvant être mis sous la forme
A(aî*-hy'-f- )
est égal à A (d* — r*). Cette expression conserve le même signe^ tant que la distance d est moindre que r, c'est-à-dire tant que le point M reste à l'intérieur du cercle, et elle prend un signe contraire quand le point M passe à Textérieur.
Il résulte de ce qui précède que le lieu des points tels que Taire du triangle ayant pour sommets les pieds des trois perpendiculaires soit égale à une quantité donnée A* se compose de deux cercles représentés parles équations
ap sin [b — a) -h py sin [c—b)-h ya sin (a — c) =± 2&*,
Ces deux cercles sont concentriques au cercle circonscrit au triangle ABC; Tun est extérieur et toujours réel, quelle que soit Taire donnée; l'autre est intérieur et n'est réel que si
Ar^ Taire donnée est moindre que la valeur absolue de
EXERCICES
<• Exprimer Taire d'un triangle et d*un polygone quelconque en fonction des coordonnées des sommets.
2o Trouver Taire d'un triangle formé par trois droites dont on donne les équations.
30 Éiant donnés dans un plan n points A, B, G,. ..et n quantités m'y m"f m'",, . . qui correspondent à ces n points; sur la droite AB on prend un point Nj, tel que les distances de ce point aux deux premiers points soient dans le rapport de m' à m" ; puis sur la droite NiC qui joint Ni au troisième point on prend un point N, tel que ses dislances aux points Ni et C soient dans le rapport de m'" à m' -{-m"; puis sur la droite NjD quj joint le point Na au quatrième point D un point N3, tel que ses distances aux points N^ et D soient dans le rapport de m'^ à m'+m" + m"'^ et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit arrivé au dernier point donné; trouver les coordonnées du dernier point de division que Ton appelle centre des distances proportionnelles.
Lorsque les multiplicateurs m', m", m'", , , . sont égaux entre eux, le dernier point de division s'appelle centre des moyennes distances.
Comme application, trouver le centre des distances proportionnelles des
trois sommets d*un triangle, en déduire le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le point de rencontre des trois hauteurs, et le centre du cercle circonscrit.
4o Trouver le lieu des points tels que la somme des produits des carrés des distances de chacun d*eux à n points donnés par des quantités constantes m', m", m"^. . . soit égale à une quantité donnée.
0° Lieu des centres des cercles qtii sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.
60 Lieu des centres des cercles qui rencontrent, en des points diamétralement opposés, deux cercles donnés.
70 Lieu des points tels que la somme des distances de chacun dVux à deux droites et en général à plusieurs droites données soit constante.
8° Sur deux droites rectangulaires OX, OY on construit un rectangle variable 0A6C ayant un périmètre donne 2a, la perpendiculaire menée su sommet C sur la diagonale ÂB passe par un point fixe.
9<> Ayant fait la figure qui sert à démontrer le théorème du carré de riiypoténuse d*un triangle rectangle, démontrer que les deux droites qui joignent les extrémités de Thypolénuse aux sommets des carrés construits sur les côiés opposés se coupent sur la perpendiculaire abaissée du sommet de Tangle droit sur Thypoténuse.
40o D*un point fixe P on mène des tangentes aux cercles qui passent par deux points donnés; trouver le lieu du point où la corde des contacts rencontre le diamètre qui passe au point P.
4Io Étant donné un hexagone régulier ABCDEF, on joint AG et AE; par le centre on mène une sécante quelconque qui coupe les deux droites AC et AE aux points G et H; on joint BG et FH; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.
42° Les circonférences décrites sur les trois diagonales d*un quadrilatère complet, comme diamètres, ont même axe radical.
43^ Étant données cinq droites, on en prend quatre qui forment un quadrilatère complet, dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite; les cinq droites ainsi obtenues se coupent au même point.
l4o Étant donnés trois points A, B^ C, et deux droites X, Y; sur AB comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à X et Y; on opère de même avec B, C et C, A; les secondes diagonales des trois parallélogrammes passent au même point.
io* Étant données quatre droites A, B, C, D, on en prend trois pour former un triangle, dont on détermine le point de concours des hauteurs ; les quatre points ainsi obtenus sont en ligne droite.
46« Étant donnés deux cercles fixes, deux cercles variables sont tangents
entre eux et aux précédents ; trouver le lieu du point de contact des cercles \ariabies.
47o On prend quatre points arbitraiiement sur une circonférence, les bissectrices des trois couples de droites qui passent par ces quatre points sont parallèles deux à deux,
4 80 Lieu du point tel que les cordes de contact des tangentes menées de ce point à trois cercles donnés se coupent en un même point.
490 On donne un angle ÂOA' et un point C sur la bissectrice. Uo angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé en C, on joint les points de rencontre B et B' des côtés de Tangle mobile avec les cotés de TaDgle fixe, du point G on abaisse une perpendiculaire sur BB'; trouver le lieu du pied de la perpendiculaire.
20^ Od donne quatre droites A, B, C, D, qui, prises trois à trois, forment quatre triangles. La droite A appartient à trois de ces triangles, on joint le centre du cercle circonscrit à chacun deux au sommet non situé sur A ; les trois droites ainsi obtenues se coupent en un même point I ; les quatre points analogues à I et les centres des quatre cercles sont sur une même circonférence.
21* Étant donnés divers cercles qui, pris deux à deux, admettent le même axe radical ; si un cercle variable coupe deux de ces cercles sous des angles constants, il coupera également chacun des autres cercles sous un angle constant.
