V(-M).PF.PP

Le produit variable PP'xPP" des deux segments de la droite P'P'' est égal au carré de l'ordonnée du cercle décrit sur P'P"

comme diamètre; quand le point P ya de P' au point I, milieu de PP", Fordonnée du cercle, et par suite la quantité Y qui lui est proportionnelle, va en augmentant; elle diminue au contraire quand le point P va de I en P". La quantité Y acquiert donc sa valeur maximum^ quand le point P est en I, c'est-àdire quand x = = — jt^; cette valeur maximum est

égale à , • A partir du point G, milieu du dia-

mètre A' A", portons sur Tordonnée^ et de part et d'autre, une

longueur égale à cette valeur maximum, nous aurons deux

points B^ et B" de la courbe, et en menant par ces points des

parallèles au diamètre, nous formerons un parallélogramme

FGKH, dans lequel sera comprise Tellipse.

Il est clair qu'à deux points P et Q également distants du milieu I correspondent des valeurs égales de Y; ces valeurs, portées de part et d'autre du diamètre DD', donnent les quatre points M, M', N, N^ Les deux triangles CRM, CSN', étant égaux, les trois points M, G, N' sont en ligne droite et le point G est le milieu de MN'; ainsi tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport au point G, milieu du diamètre A' A''; ce point G est donc le centre de l'ellipse. On voit également que les droites MN, M'N' sont parallèles au diamètre A' A" et partagées chacune en deux parties égales par la droite B'B"; cette droite est un second diamètre. Les deux diamètres A' A", B^B", qui partagent chacun en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, sont dits diamètres conjugués de l'ellipse.

143— -Remarque. Puisqu'on a

T. nf/ N\« MP — N^

Ma;'-i-2Na: + P = M(a;-}-jjj H ^ — »

l'équation (i) peut être mise sous la forme

(3) ^2Cy + Ba;-hEy-M(a?-h^y