REPRÉSENTATION DES LIGNES PLANES PAR DES ÉQUATIONS

• — Soit une ligne plane quelconque AB (fig. 7). Traçons

dans le plan deux axes OX et OY^ et désignons par œety les deux coordonnées OP et MP d'un point H quelconque de la ligne ; quand le point M se meut sur la ligne, les deux coordonnées varient simultanément; si Ton donne àTabscisse Fig. 7. une valeur arbitraire OP, la grandeur

de Tordonnée correspondante MP est parfaitement déterminée et la variation de Tabscisse entraîne celle de l'ordonnée. Ainsi l'ordonnée HP est une fonction de Tabscisse OP; la nature de cette fonction dépend de celle de la ligne. Quand la ligne est déQnie géométriquement, on conçoit que Ton puisse, de la déOnition géométrique de la ligne, déduire une équation entr^ X et y, servant à définir analjtiquement la fonction y. L'équation enxeiy que Ton trouve de cette manière s'appelle l'équation de la ligne.

7 — ^Supposons, réciproquement, que l'on donne une équation

entre deux variables x et y; chaque couple de valeurs réelles de 0? et y satisfaisant à cette équation détermine un point du plan. Soient x^ et y^^ des valeurs réelles de a; et y vérifiant l'équation; si l'on fait varier x d'une manière continue à partir de x„ Tune des valeurs de y variera aussi d'une manière continue à partir de y^, et sera, en général, réelle tant que x res-

tera comprise entre certaines limites; le point, dont les coor* données sont x et y, décrira dans le plan une ligne continue. Ainsi ^ l'ensemble des solutions réelles d'une équation à deux variables est, en général, figuré par une ligne plane.

8— Ce que nous venons de dire des coordonnées rectilignes a lieu évidemment dans tout autre système de cordonnées. Dans le système polaire, quand le point M se meut sur la ligne^ le rayon vecteur p varie avec Tangle w; c'est une fonction de fù, et la ligne est représentée par une certaine équation entre p et to.

9 — La représentation des figures par des équations est la base de la Géométrie analytique; elle permet d'appliquer à Tétude des figures les procédés du calcul algébrique. On s'occupe, en Géométrie analytique, de trois questions fondamentales : Quand une figure est définie géométriquement, on cherche son équation; réciproquement^ on apprend à construire la figure que représente une équation donnée; enfin, on étudie les relations qui existent entre les propriétés géométriques des figures et les propriétés analytiques des équations.

Les exemples que nous donnons dans le chapitre suivant feront bien comprendre comment on représente les lignes par des équations.