CORDES SUPPLÉMENTAIRES
1.08 — On appelle cordes supplémentaires dans Tellipse ^eux cordes MC, MC, qui, partant d'un même point de Tel-
lîpse, aboutissent aux extrémités d'un diamèfre CG (fig^ 97).
Deux cordes supplémentaires sont parallèles à deux diamètres conjugués.
Menons, en effet, les diamètres OD et OE parallèles aux cordes supplémentaires MC, MC. Dans le triangle CMC, la droite OD parallèle à CM diyise en parties proportionnelles les deux côtés CG et CM; le centre 0 étant le milieu de CC^ il en résulte que le diamètre OD divise en deux parties égales la corde CAf , et, par suite, toutes les cordes parallèles au diamètre OE. De même, le diamètre OE divise en deux parties égales la corde G M, et, par suite, toutes les cordes parallèles à OD. Donc les deux diamètres OD et OE, parallèles aux cordes supplémentaires MC, MC, sont conjugués.
Réciproquement, si par les extrémités d'un diamètre CC^ on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués OD et OE, ces droites se couperont sur Tellipse. En effet, soit M le point où la corde CM, parallèle à OE, rencontre Tellipse; joignons C^M; les cordes supplémentaires MC, MC^ étant parallèles à deux diamètres conjugués, la seconde corde C^M sera parallèle à OD.
M09 — L'étude de la variation de Tangle de deux diamètres conjugués est ainsi ramenée à Fétude de la variation de Tangle de deux cordes supplémentaires, c'est-à-dire de l'angle inscrit dans une demi-ellipse. Pour simplifier le calcul, on supposera
les deux cordes supplémentaires menées par les extrémités du grand axe (ûg. 98). L'angle ÂMA^ que nous appellerons 6, est égal à la différence des deux angles MAX, MA^ X; les deux droites AM et A'M ayant pour coeffi-
cients angulaires
et
DE L'ELUPSE. 155
on a
. . X — a x-i-a aatf
tangO = — ^^i = a,^^y.^a.^
ei, en remplaçant x'^ par sa valeur tirée de l'équation de Tel- Hpse^
tango =-^^^^.
Si le point H décrit la moitié supérieure AHA^ de rellipse^ la tangente étant négative, Tangle 0 est obtus; quand le point M est au point A^ c'est-à-dire quand y = o, Tangle 6 est droit; le point M marchant de A vers B, y augmente ; la valeur absolue de tang6 diminuant^ l'angle obtus 6 augmente aussi et acquiert sa valeur maximum au point B; alors on a y = b et
\ang9=: ^ ', quand le point M dépasse le point B et
parcourt le quart d'ellipse BA^, Tangle 6 diminue de sa valeur maximum jusqu'à un angle droit.
Il résulte de là que l'angle des demi-diamètres conjugués OD et OE, situés d'un même côté du grand axe, est obtus et varie depuis un angle droit jusqu'à la valeur maximum ABA'; les diamètres conjugués^ qui comprennent Fangle maximum^ étant respectivement parallèles aux cordes supplémentaires A^B et AB^ et^ par suite, également inclinés de part et d'autre du petit axe OB^ sont égaux.
Nous avons étudié la variation de l'angle obtus DOE de deux diamètres conjugués^ l'angle aigu DOE^ varie en sens inverse. On obtient directement cet angle en menant les cordes supplémentaires par les extrémités du petit axe BB'; quand le point H décrit le quart d'ellipse BA^ l'angle inscrit diminue depuis on angle droit jusqu'au minimum BAB^^ supplémentaire du maximum obtus ABA^
ft 70— Lorsqu'une ellipse est tracée, on peut déterminer graphiquement le centre et les axes. Pour trouver le centre^ on mènera deux cordes parallèles suffisamment écartées l'une de l'autre; on joindra les milieux de ces cordes^ ce qui don-
nera un diamètre dont le milieu sera le centre. Sî^ sur ce diamètre, on décrit un demi-cercle, et que Ton joigne aux deux extrémités du diamètre le point où ce demi-cercle coupe la demi-ellipse, on aura deux cordes supplémentaires perpendiculaires entre elles; les diamètres parallèles, formant un système de diamètres conjugués rectangulaires, seront les axes de Tellipse.
On pourrait obtenir de la même manière les deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné compris entre le minimum et le maximum; il suffirait de décrire sur un diamètre un segment capable de Tangle donné.
117 M, — Construire une ellipse, étant donnés deux diamètres conjugués. Soient DD', EE^ (fig. 99) les deux diamètres conjugués donnés, dont nous désignerons les longueurs par aa' et
26^ L'équation de Tellipse, rapportée à ces deux dianiètres conjugués, est
Par le centre menons la droite E^EJ perpendiculaire ^^8 ^^' à DD' et prenons OE, = OE ;
Tellipse qui a pour axes DD', E1E4, rapportée à ces axes, est représentée par la même équation. Il en résulte que les ordonnées MP, MjP, qui correspondent à une même abscisse OP^ sont égales entre elles. Imaginons que, par le procédé indiqué au n° 147, on ait construit différents points de Tellipse DE^IV, dont on connaît les axes; soit M^ l'un de ces points, M^P son ordonnée; si, par le point P, on mène PM parallèle à OE et égale à PM^, on aura un point M de Tellipse demandée. Chaque point de la première ellipse donnera un point correspondant de la seconde. Ceci revient à déformer la première ellipse en faisant tourner chaque ordonnée PM^ autour de son pied P d'un angle constant.
Le même mode de transformation s'applique à la tangente.
La tangente au point M est représentée par Téquation
en coordonnées obliques; cette équation représente aussi la tangente au point H^ en coordonnées rectangulaires. Ces deux tangentes coupent le prolongement du diamètre DD' au même point T^ dont on obtient F^bscisse en faisant Y = o.
Au lieu de construire l'ellipse par points, comme nous Tarons expliqué, on pourrait déterminer d'abord les axes de Tellipse, et construire ensuite cette ellipse au moyen de ses axes. La détermination des axes dépend du théorème suiyant.
ft78 — Deux diamètres conjugués quelconques déterminent sur une tangente fixe PQ deux segments DP, DQ dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamètre OE parallèle à la tangente (fig. loo).
Si Ton prend pour axes des coordonnées le diamètre OD^ qui passe par le point de contact et le diamètre conjugué OE, et si Ton appelle o' et V les longueurs de ces demi* diamètres, Féquation de Tellipse est
-Tt-+-^ = I.
Soient y=:mx, y = m^x
les équations de deux diamètres conjugués OÂ, OB; d'après la
remarque faite au n® i6o, les coefficients angulaires seront liés
par la relation mm^= 7^- Si, dans ces équations, on fait
x=a'y on trouve DP== — ma', DQ = m'a', d'où
DP X DQ =— mm^a^ = 6".
173 — On démontre facilement ce théorème quand on considère l'ellipse comme la projection d'un cercle. Soient OAj, OBj (fig. ici) deux diamètres rectangulaires du cercle, P^Q, la tangente en un point quelconque M^; menons le rayon OMj et
158 LIVRE m, CHAPITRE lY.
le rayon ON^ parallèle à la tangente; dans le triangle rectangle PiOQi, on a
M,P,xM,Qi = OMÎ=:ONÎ.
Quand on projette la figure^ les diamètres 0Ai9 OBi donnent deux dia* mètres conjugués de Fellipse, la tangente P^Qi une tangente à Pellipse et la droite ON^ une parallèle à cette Fig. 101. tangente; les droites MiP^ M^Q^, ONj
étant parallèles ont des projections MP^ MQ^ ON qui leur sont proportionnelles, on a donc aussi entré ces projections la relation
MP.AiQ = ON*.
^74 — Supposons que les deux diamètres conjugués OA et OB soient les axes de Tellipse (fig. loo). Le cercle décrit sur PQ comme diamètre passe par le point 0^ et l'ordonnée DH^ perpendiculaire à PQ^ est égale à OE. 11 en résulte un moyen facile de construire les directions des axes, quand on connaît deux diamètres conjugués OD et OE. Par le point D on mènera une parallèle à OE; cette parallèle sera tangente au point D; on élèyera sur cette droite une perpendiculaire DH égale à OE^ et on décrira un cercle ayant son centre sur PQ et passant par les points 0 et H; les droites OP et OQ qui vont du centre aux deux points P et Q, où le cercle coupe la tangente, donneront les directions des axes.
ft75-— II reste à déterminer les grandeurs des axes. Des
relations ^
a» -f- 6» = a'* 4- 6'% a6 = a'6'sin0,
démontrées aux nos 162 et i63, on déduit
(a — 6)*= a"-h 6'*— 2a'6^sin9 = a'*-f- 6'*— 2a^6'cos (^^— eV
(a -f- 6)*= a'*-h 6''-f-2a^6'sine = a'»-h 6'*— 2a'6^cos (^^-f-eV
Comme on peut supposer que 6 désigne Tangle aigu des diamètres conjugués, on voit par ces formules que la longueur a — 6 est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres
DE L'ELLIPSE. 18» côtés sont égaux à a' et à 6^ et dont l'angle compris est 6.
Ce triangle est le triangle ODH; car Tangle ODH est égal à - — 6,
et les deux côtés DO et DH sont égaux à d et 6',- ainsi le troisième côté OH donnera a — 6. De même o -f- 6 est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres côtés sont égaux à d t\kV et Tangle compris supplémentaire du précédent; ce triangle est le triangle ODK^ que Ton obtient en prolongeant la perpendiculaire DH d'une longueur égale à elle-même; le troisième côté OK donnera a -4- 6. Si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit un cercle, la longueur Kl sera égale au grand axe 2a^ la longueur KL au petit axe 26.
On peut remarquer que le grand axe OA est la bissectrice de Tangle HOK, le petit axe la bissectrice de Tangle supplémentaire.
