OU
(a — ic) (a -h x) a*
Mais les deux segments AP, A'P de Taxe AA^ sont égaux respectivement à a — X et à a 4- a?,- on a donc
MP' 5* APXA'P a**
Ainsi, le carré de l'ordonnée est au produit des segments formés sur Taxe dans un rapport constant.
148 — Les ordonnées perpendiculaires au grand axe de V ellipse sont aux ordonnées correspondantes du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du petit axe au grand axe.
DE L^ELUPSE. 139
Soit AA^ le grand axe de Tellipse (fig. 83); sur ce grand axe comme diamètre décrivons un cercle; à TordonnéeMP de Tel-
lipse correspond l'ordonnée M^P du cercle. L'équation (2) s'écrit
yja*
mais Va* — a* représente Fordonnée M|P du cercle; on a donc
Fig. 83. M,P a
Le petit axe jouit de la même propriété; Tordonnée MQ, perpendiculaire au petit axe^ est à l'ordonnée correspondante M,Q du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du grand axe au petit axe.
L'ellipse est la projection orthogonale d'un cercle. Imaginons que Ton fasse tourner le cercle AB^A^ autour de Taxe
AA^ d'un angle <f, tel que Ton ait cos(p = -* l'ordonnée PM^
du cercle tournera autour du point P, tout en restant perpendiculaire à Taxe AA^; dans cette position^ elle se projettera sur la droite PM; pour avoir la longueur de la projection^ il
suffît de multiplier la longueur PH^ par cos(p ou par -f ce qui
donne Tordonnée PM de l'ellipse. Ainsi le point M| du cercle a
pour projection le point M de l'ellipse; chacun des points du
cercle se projetant ainsi au point correspondant de l'ellipse, il s'ensuit que l'ellipse est la projection du cercle.
On peut aussi considérer le cercle comme la projection orthogonale d'une ellipse. Imaginons que l'on fasse tourner
Mlipse autour de Taxe BB' d'un angle ç ayant pour cosinus -;
l'ordonnée QM de l'ellipse aura pour projection l'ordonnée QM, du cercle décrit sur BB^ comme diamètre^ et le petit cercle sera la projection de l'ellipse.
149 — Construction de Vellipse par points. On déduit de ce qui précède un moyen très-simple de construire l'ellipse
par points. Sur chacun des deux axes de Tellipse comme diamètre on décrit un cercle (âg. 83); du centre on trace un rayon quelconque qui coupe ]es deux cercles en M^ et H,; par le point H^ on mène une parallèle au petit axe^ par le point H, une parallèle au grand axe; le point d'intersection M de ces deux droites appartient à Tellipse. Après avoir déterminé de la sorte un nombre suffisant de points, on fait passer un trait continu par tous ces points, etTellipse est ainsi construite.
USO — Cof^struire les points dHntersection d'une ellipse et d'une droite. 11 est utile de savoir déterminer les points où une
droite donnée MM' coupe une ellipse définie par ses deux axes AA^ BB' (fig. 84), sans que l'ellipse soit tracée. Comme nous l'avons dit, Tellipse peut être considérée comme la projection orthogonale du cercle Fig. 84. AB^Af décrit sur le grand axe
AA' comme diamètre, et que Ton fait tourner autour de AA'
d'un angle <p ayant pour cosinus —
Cherchons dans lé plan du cercle la droite M^M/ qui a pour projection MM' dans le plan de Tellipse; soit N un point quelconque de la droite MM', le point correspondant N^ est placé sur l'ordonnée NQ à une distance telle que Ton ait
NQ b
N^=cosî = -;
pour le déterminer on mènera la droite BN jusqu'à sa rencontre en H avec Taxe AA'; la droite B^H, se projetant suivant BH, coupe Tordonnée QN au point N^. On obtiendrait de même un autre point quelconque de la droite M1H4 ; mais il est plus simple de se servir du point S où la droite MM' rencontre Taxe; la droite SN^ a pour projection la droite donnée sur le plan de Tellipse. Cette droite SN^ coupe le cercle en deux points H^, M/; les ordonnées M^P, M^P' détermineront sur la droite don-
aée les deux points M^ M' où cette droite rencontre Tellipse.
TANGENTE
fl&H — Nous avons trouvé (n* laS) Téquation de la tangente k une courbe du second degré; quand l'équation de Tellipse est mise sous la forme simple
réquation de la tangente au point M, ayant pour coordonnées X et y, devient
Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur ^*
On voit qu'en A et A' la tangente est perpendiculaire sur Taxe A' A, qu'en B et B' elle lui est parallèle, et que, quand le point de contact se meut sur Tellipse de A en B, la tangente
lait avec A^ A un angle obtus qui croit de - à r.
La normale, étant perpendiculaire à la tangente, a pour équation
fl5!S — ConstriAclion de la tangente en un point de l'ellipse. i\, dans réquation de la tangente, on fait Y = o, on obtient
Tabscisse X= — du point T où la tangente rencontre le pro-
longement du grand axe (ûg. 85).
Comme cette valeur de OT est indépendante du petit axe 26 et de l'ordonnée y du point de contact, il en résulte que, si sur Taxe A^A on construit plusieurs ellipses, les tangentes aux points qui ont même abscisse passent Fig. 85. par un même point T situé sur
le prolongement de Taxe A' A. Or, parmi ces ellipses, se trouve
142 LIVRE m, CHAPITRE IV.
le cercle ÂB^Â'; pour construire la tangente à Fellipse au point M^ on mènera une tangente au cercle au point M^^ situé sur La même ordonnée^ on joindra le point M au point T^ où la tanigente au cercle rencontre le prolongement de Taxe Â^ Â ; la droite MT^ ainsi obtenue, est la tangente à Tellipse.
Cette construction revient à considérer la tangente à Tellipse au point M comme la projection de la tangente au cercle au point correspondant M^. En effet, quand on fait tourner le plan du cercle autour de Taxe AA' de Tangle ç, le point T où la tangente M^T rencontre Taxe reste immobile; le point H^ se projetant en M, la droite M^T a pour projection HT; c'est la tangente à l'ellipse.
flS3 — Mener une tangente par un point extérieur P. Désignons par œ^ et Pi les coordonnées du point P (ûg. 86). Nous avons trouvé (n^ 126) l'équation de la corde des contacts
MW. La détermination des points de contact revient donc à la résolution des deux équations simultanées
Fig. 86. or 0
En éliminant y^, on obtient Téquation du second degré
dont les racines sont les abscisses des points de contact H et H^
des deux tangentes menées du point P. Cette équation^ dans
se laquelle on peut regarder - comme Pinconnue^ aura ses ra-
cines réelles si la condition -tH--??— -i>o est satisfaite,
c'est-à-dire si le point P est en dehors de Tellipse.
Il est facile de construire géométriquement les tangentes menées du point P, en considérant Tellipse comme la projection du cercle AB^ A (fig. 87). Cherchons dans le plan du cercle le point Pi qui a pour projection le point P dans le plan de Tel-
Fig. 87.
ÎHE L'ELLIPSE. 143
lipse. Traçons dans le plan de l'ellipse la droite PB que nous prolongerons jusqu'à sa rencontre avec Taxe en H; la droite
HBi, ayant pour pro- Pi jection HB, passera
par le point P^ et déterminera ce point.
Du point P^ menons au cercle les tangentes Pi Ml, Pi m; que nous prolongerons jusqu'à leur rencontre avec Taxe en T et T'jles droites PT,PT^ projections des tangentes au cercle^ seront tangentes à Tellipse^ et les points de contact M et M^ seront situés sur les ordonnées des points Mj, M{. Pour que Ton puisse effectuer ces constructions, il n'est pas nécessaire que Tellipse soit tracée.
Ilft4 — Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Soit y = mx Féquation de la droite donnée OL, que Ton peut supposer menée par le centre (fig. 88). Appelons x et y les coordonnées du point de contact M; ce point étant sur Tel-
lipse, on a Téquation
le coefficient angulaire de la tangente devant être égal à m^ on a la seconde équation
Fig, 88. o*y "~ *
Ces deux équations simultanées déterminent les deux inconnues X et y; la première représente Fellipse proposée; la seconde une droite MH^ passant par le centre; les points où cette droite rencontre Tellipse sont les points de contact.
Il est facile de construire ces tangentes géométriquement. Cherchons d'abord dans le plan du cercle le diamètre OL^ qui a
144 LIVRE m, CHAPITRE IV.
pour projection OL sur le plan de l'ellipse; il suffit de joindre le point B à un point quelconque L de la droite OL et de prolonger la droite BL jusqu'à sa rencontre avec Taxe en H; puis de tracer BjH et de prendre le point d'intersection L^ de cette droite avec Tordonnée du point L; le point L étant la projection du point Li9 la droite OL est la projection de OL^. On mène au cercle des tangentes M^T, lAlV, parallèles à OL^^ et par les points T et T^ où ces tangentes rencontrent l'axe^ des parallèles TM^ T^M^ à la droite OL. On a les tangentes demandées; car les projections OL, TM des droites parallèles OL^, TM^ sont elles-mêmes parallèles. Les points de contact H et M' son déterminés par les ordonnées des points M^ et M^ .
fl5& — On peut obtenir l'équation de la tangente à l'ellipse sous une autre forme qu'il est bon de connaître. Cherchons
les points d'intersection de l'ellipse — + j- = i et de la droite
y = mx -H k. L'élimination de y conduit à l'équation du second degré
dont les racines sont les abscisses des points d'intersection. Quand cette équation a ses racines réelles et inégales^ la droite rencontre l'ellipse en deux points; c'est une sécante. Quand les racines deviennent égales entre elles, ce qui a lieu lorsque la condition fc*=:a'm*-f-62 est remplie, les deux points d'intersection se confondent, et la droite devient tangente. Si Ton remplace la constante k par sa valeur, l'équation de la tangente se présente sous la forme
(6) y = mx± Va* m^ -h 6*.
Cette équation, dans laquelle le paramètre m est arbitraire, représente toutes les tangentes à l'ellipse. Si l'on donne le coefficient angulaire m ou la direction de la tangente, l'équation est entièrement déterminée, et, à cause du double signe, on a deux tangentes parallèles et à égale distance du centre.
!*•— Celte forme donnée à Téq^alion de la tangente est
utile dans un grand nombre de ^ questions. Pour en montrer un
exemple, proposons-nous le problème suivant : Trouver le lieu du sommet d'un angle droit cir- ^ conscrit à Tellipse. Supposons que Ton veuille mener par un point extérieur (fig. 89), ayant pour coordonnées x et y, des ï*»»- 89. tangentes à Tellipse; si Ton re-
présente la tangente par l'équation
la tangente devant passer par le point P^ on aura l'équation de condition
, y = mx dz yja^m^ -h 6%
dans laquelle le coefficient angulaire m est l'inconnue. Cette
équation, mise sous forme entière, »
w* (a^ — x^) 4- 2xym 4- {b^ — î/*) = o
est du second degré; ses deux racines donnent les directions des deux tangentes menées du point P à l'ellipse^ et, par conséquent; déterminent ces tangentes. Les deux tangentes menées par le point P seront rectangulaires, si le produit des deux valeurs de m est égal à — i, ce qui exige que les coordonnées du point P vérifient la relation
ou x^-^y^=a'-^b^
Ainsi le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'ellipse est le cercle circonscrit au rectangle construit sur les axes.
DIAMETRES.
157— Nous avons trouvé (n® i3i) l'équation générale des diamètres dans les courbes du second degré. En représentant
BR. iO
par f{x, y) = o réquation de la courbe, et par m te coefficient angulaire des cordes parallèles MM' (fig. 90), nous ayons vu que réquation du diamètre Diy se met sous la forme
L'ellipse étant rapportée à ses axes, réquation du diamètre se réduit à
2my
ou y=—
or m
Si Ton désigne par mf le coefficient angulaire du diamètre DD', on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation
Nous avons vu aussi que si Ton mène des cordes MM'' parallèles au diamètre DD', le diamètre EE' qui divise ces cordes en deux parties égales a pour coefficient angulaire m; les deux diamètres DD', EE' forment un système de diamètres conjugués, et leurs coefficients angulaires m' et m sont liés par la relation (7).
Cette relation fait voir que les deux coefficients angulaires m et mf sont de signes contraires, et, par conséquent, que les deux demi-diamètres conjugués CD et OE, situés d'un même côté du grand axe, sont placés de part et d'autre du petit axe; si le premier part de la position OA et tourne de OA vers OB^ le second part de la position OB et tourne de OB vers OA' .
flSS — La tangente en un point quelconque D de Fellipso est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre DD' qui passe au point de contact. En effet, si Ton appelle œ ei y les coordonnées du point D, le diamètre OD a pour coefficient
angulaire m = -; le coefficient angulaire de la tangente au
point D est m'= r-;
on voit que ces deux coefficients
vérifient la relation mm^= --
Fig. 91.
On se rend bien compte de celte propriété en imaginant que la sécante HH^ se meut parallèlement au diamètre EE^ et s'éloigne du centre; les deux points d'intersection M et M' ce rapprochent de plus en plus du milieu de la corde^ et finissent par se confondre en D; alors la sécante devient tangente au point D.
159 — Les propriétés des diamètres conjugués se montrent
immédiatement^ quand on considère Tellipse comme la projection d'un cercle. Deux diamètres rectangulaires ODi, OEi ( fig. 91 ) , dans le plan du cercle, forment un système de diamètres conjugués; car chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre ; les cordes parallèles se projettent sur le plan de Tellipse suivant des cordes parallèles; le milieu d'une corde a pour projection le milieu de la projection de la corde; chacun des diamètres OD et OE» projections des premiers^ divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre; ce sont deux diamètres codjugués de l'ellipse.
On en déduit facileiqent la relation qui existe entre les coefficients angulaires m et tn! de deux diamètres conjugués. Si Ton appelle m^ et ml les coefficients angulaires des deux diamètres conjugués ODj, OEi du cercle, on a m^=-m^y m^=i-m(;
d'où mm' = -^ w^ m J ; puisque les diamètres conjugués du
cercle sont rectangulaires, on a m^m[=—i; il en résulte
mm= 1-
Quand on donne un diamètre OD, on peut trouver le conjugué OE, sans que l'ellipse soit tracée. On construira le diamètre ODi qui a pour projection OD; on mènera le diamètre OEj perpendiculaire à OD^, et on projettera OE^; la projection OE sera le diamètre demandé.
100 — Ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Nous
avons vu (n° i38) que, lorsqu'on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués Diy, EE' (fig. 92) "i, d'une ellipse, Téqualionde la courbe se simplifie et prend la forme
Désignons par 2 a^ et 2 V les
longueurs de ces diamè-
Fig.92. très conjugués; si, dans
réquation précédente, on fait successivement y = o et ic = o,
on a a'*=jrî» ^'*=ïv' ^^ ^"^ permet d'écrire l'équation de
la courbe de la manière suivante
Ainsi l'équation de l'ellipse conserve la même forme, que la courbe soit rapportée à ses axes, ou à un système de diamètres conjugués.
Les calculs qui ont été effectués pour démontrer les propriétés de l'ellipse, au moyen de l'équation de la courbe rapportée à ses axes, et dans lesquels on n'a pas supposé les coordonnées orthogonales, pourront être répétés avec l'équation de la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Ainsi, Tellipse étant rapportée au sytème des diamètres conjugués OD et OE, la tangente aura pour équation
cô^X^
it
Mais l'équation de la normale ne conserverait pas la forme qui correspond aux axes de coordonnées OA et 08.
ft61 — Si l'on appelle a et ^ les angles que font les deux demi-diamètres OD, OE avec le grand axe OA, a' et V leurs longueurs, on a, d'après l'équation (3) du n** i44,
, , a'^cos'a a"sin*a
(9) ^— -i rr— =1
(10) Z7-^H rT^=i.
Les deux diamètres étant conjugués, on a, en outre, la relation
U„g.t.„gp=-|.
, , cosacosB . sinasinB ou (II) -^ + — ^ = o.
Des deux angles a et ^^ l'un est aign^ Tautre obtus; nous supposerons a aigu^ ^ obtus. Les quatre quantités variables a^ ^, qI ^ y , dont uae seule est arbitraire, sont liées par trois relations; en combinant ces relations^ on en déduit divers tbéorèmes.
lOï — Si Ton multiplie par a'V les deux membres de la relation (ii), on peut l'écrire sous la forme suivante
a'cosa a^sina
il» •
y sin p — b/ co^^ 5 a
chacune de ces fractions est égale à une fraction ayant pour numérateur la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs^ et pour dénominateur la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs; en vertu des relations (9) et (10), ces deux sommes sont égales à Tunité; on a donc
a'cosa a'sina
d'où
V sinp""--fe^cosp ' b a
a'cosa V sin p g^sina fe^cosp
Si, dans la relation (9), on remplace — r — par la quantité
ft^cosB ., . .
Ï-» il vient
égale
(12) a'* cos* a -h 6'* cos* p = a*.
a'cosa
Si, dans la même relation, on remplace par la quan-
,.,. , , 6^sin&
lile égale — r-- ^» on a aussi
{i3) a^*sin«a-f-6'«sin«p = 6^
i50 LIVRE m, CHAPITRE IV.
Les deux relations (12) et (i3) signifient que la somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués quelconques sur chacun des axes est constante et égale au carré de cet cuve. En ajoutant les deux relations (12) et (i3) membre à membre^ on obtient
ainsi, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la somme des carrés des cures. ft03 — En décomposant chacun des termes de la relation (9) en deux facteurs, on peut la mettre sous la forme
a'cosa a'cosa a^sîna a'sino^
a'cosa a'sma
si Ton remplace les seconds fadeurs » — r — par les
...r r , ft^sinS 6'cos3 ., . . quantités égales — r— ^» -$ u vient
a^V (sin pcosa — sinoccosP)
ou (i5) a'6'sin(P — a) = a6.
Le produit a^V sin (P — a) est la mesure de Taire du parallélogramme ODKE (fig. 92); en multipliant par 4> ^^ obtient Taire du parallélogramme circonscrit FGHK. Ainsi, l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale au rectangle construit sur les a^es.
Le parallélogramme inscrit DEIVE', qu'on obtient en joignant les extrémités des diamètres conjugués, est la moitié du précédent, et a aussi une aire constante.
164 — On peut démontrer facilement ces théorèmes en considérant Tellipse comme la projection d*un cercle.
Deux diamètres conjugués OD et OE de Tellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires OD^ et OE^ du cercle (flg. 91). Les angles D^OP, E^OQ étant complémentaires, les triangles rectangles D^OP, E^OQ sont égaux^ et Ton a
OQ = D,P; mais 0P'4-D;P*=ÔD;' = a*j il en résulte
DE L'ELLIPSE. ISl
oes longueurs OP el OQ sont les projections des deux demiliamètres conjugués OD et OE sur le grand axe de Tellipse, on roit que la somme des carrés de ces deux projectM»s est x>nstaiite9 et Ton a
a'* cosa -h ft^'cos^p = o*.
11 en est de même pour l'autre axe; les projections des deux demi-diamètres conjugués sur le petit axe sont égales aux
ordonnées DP et EQ; mais DP = - D^P, EQ= - E,Q, et, par suite, DP* -i-EQ*=~(D^VE;Q*); les longueurs E^Q et OP
Cl'
étant égales; on a D^ P' -h E^ Q = D^ F 4- OP = a\ et, par suite ,
DP'+EQ'=6%
ou a/* sin*a •+- V* sin* p = 6*.
En ajoutant membre à membre les deux relations précé* dentés, on obtient la relation
flCS — Pour démontrer la propriété relative à Taire du parallélogramme, nous nous servirons du théorème suivant :
La projection d'une aire plane sur un plan quelconque est égale à Vaire projetée multipliée par le cosinus de l'angle des deux plans.
Considérons d'abord un triangle ÂBG (flg. 93) ayant un côté AB parallèle au plan de projection ; nous pouvons supposer que
le plan de projection passe par ce côté ÂB; du sommet G abaissons sur ce plan une perpendiculaire CC^ et, dans ce plan, menons C^D perpendiculaire à ÂB; la droite CD sera aussi perpendiculaire à ÂB et l'angle CDC^ mesurera l'angle dièdre <p des deux plans. Cela posé, on a
C'D = CDcos(p, ABxC'D ABxCD
Fig. 93.
et, par suite^
d'où
AC'B = ACBxcos(p.
COSÇj
152 UVRE m, CHAPITRE IV.
Ainsi^ Taire du triangle AC^B est égale à celle du triangle ACE
multipliée par cos(p.
Supposons maintenant que le triangle ABC (fig. 94) n'aif
aucun de ses côtés parallèle au plan de projection; nous pou^
vous faire passer ce plan par le sommet A, de telle sorte que les deux autres sommets soient d^m même côlé; le plan du triangle prolongé coupe le plan de projection suivant une droite AI, et la droite CB perce ce plan au point I; les triangles AIC, AIB se projettent suivant AIC^, AIB', et Ton a, d'après ce qui a été dit,
AIC'=:AICxcos<p, ^'^'^^' AlB' = Affixcosç;
d'où, par soustraction,
AB'C' = ABCxcos?.
Le théorème, étant démontré pour un triangle, s'étend à un polygone plan quelconque, que l'on peut toujours décomposer en triangles, et même à une aire plane limitée par une courbe fermée quelconque; car on peut regarder cette aire plane comme la limite de Taire d'un polygone inscrit, dont on augmente indéfiniment le nombre des côtés de manière que chacun tende vers zéro.
Quand on considère Tellipse comme la projection d'un cercle, le parallélogramme construit sur deux diamètres conugués est la projection d'un carré circonscrit au cercle; le carré ayant une aire constante égale à 4^*, celle du parallélogramme est aussi constante et égale à 4û'cos(p, c'est-à-dire à4a&.
AIRE DE l'ellipse.
flOO — Le même théorème nous donne immédiatement Taire de Tellipse. L'ellipse étant la projection d'un cercle, son aire est égale à celle du cercle ira% multipliée par cos? m
par ^t ce qui donne iraè.
>yi
Fig. 95.
DIAMETRES CONJUGUES EGAUX.
16y — Nous avons vu (n** 157) que les deux demi-diamèlres conjugués OD et OE sont situés de part et d'autre du petit axe
OB (flg. gS). On sait que le rayon de l'ellipse est d'autant plus grand qu'il s'écarte davantage du petit axe; pour A que les deux diamètres conjugués deviennent égaux ^ il faut donc que ces deux diamètres fassent des angles égaux avec le petit axe OB, ce qui exige que les
angles a et p soient supplémentaires. On a donc tang'a = —
et, par suite, tanga=:-; ainsi, les diamètres conjugués égaux
OG et OH coïncident avec les diagonales du rectangle construit sur les axes.
De la relation d^-\-V-=^a^-\-y^, on déduit a^* = »
et l'équation de l'ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués
é^aux, devient
elle a même forme que l'équation du cercle, seulement les
coordonnées sont obliques.
Cette équation signifie que la somme des carrés des distances de chacun des points de l'ellipse aux deux diamètres conjugués égaux est constante. En effet, soient 6 l'angledes deux diamètres conjugués égaux, MP et MQ les coordonnées du point M, ME et MF les perpendiculaires abaissées du point M sur
ces diamètres, on a (fig. 96) ME = 2/sin6, MF = a;'sin9; d'où
meVmf
► / ,. ,.. . ^û (a' + 6'-)sin*6 20^
iU
Fig. 97.
