MP MC

DQM, donnent j5q = 5î5' ou

Fig. los. Le lieu décrit par le point M est donc

une ellipse dont les axes 2a et 26 sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires données.

11 n'est pas nécessaire que le point M soit situé sur la droite mobile entre les points C et D ; il peut être situé sur le prolongement. Considérons la droite C'D^ dont les deux points C^ et ly glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY, et diercboDS le lieu décrit par le point M. Si Ton appelle a et 6

les distances Hiy et HC, les triangles semblables HPC^ HVOil donnent^ comme précédemment,

BIP MC b

Miy

Va*— x'

C'est sur cette propriété que reposel a construction d'un petit instrument appelé compas elliptique. Deux pointes sont fixées en deux points C^ etiy^ pris à volonté sur une droite C^iy^ et un crayon au point H ; les deux pointes glissent dans des rainures rectangulaires tracées sur une plaque de bois; le crayon placé en M décrit Tellipse d^m mouyement continu.

^77 — Il est à remarquer que la normale à Tellipse au point M passe par le point d'intersection K des perpendiculaires élevées par les points C et D sur les deux droites fixes. En effets si Ton appelle x^ et y^ les coordonnées du point K, les triangles semblables MPC, DQM^ donnent

iC/j ^"^ X

d'où

Xs'—^X

Ainsi le coefficient angulaire de la droite KM est égal à celui de la normale à Tellipse du point M.

47 8— On peut généraliser ce théorème et l'énoncer ainsi : Quand deux points E, F, d'un plan mobile glissent sur deux droites OA, OB, situées dans un plan fixe, un point quelconque du plan mobile décrit une ellipse (fig. io3). Considérons une

position particulière du plan mobile; aux points E et F élevons des perpendiculaires sur les droites OA et OB^ et soit K le point de concours de ces perpendiculaires; le cercle décrit sur OK comme diamètre passe par les points E et F. La droite ËF étant constante^ ^ ainsi que l'angle EOF, le diamètre du Fig. 103. cercle est constant. Supposons le cercle

lié à la droite EF d'une manière invariable, et emporté avec elle dans son mouvement; le cercle passera constamment par

le point 0; tout point D du cercle décrira une ligne droite OY, puisque, Parc FD ayant une longueur constante, l'angle FOD est constant.

Considérons maintenant un point quelconque H du plan mobile. Joignons ce point au centre I du cercle, et marquons les deux extrémités C et D de ce diamètre. En vertu de ce qui précède, les deux points C et D glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY; on en conclut que le point M décrit une ellipse dont les axes, égaux au double des distances MC et MD, sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires OY et OX. En particulier le point I décrit un cercle.

Les perpendiculaires élevées par les points C et D sur les droites OX et OY se coupent au point R; il en résulte que la droite MK est normale à Tellipse au point H. Si Ton considère les ellipses décrites par différents points du plan mobile, on voit que les normales à toutes ces ellipses aux points correspondants passent par le même point K.

Le diamètre OK du cercle mobile ayant une longueur constante, le lieu du point K dans le plan fixe est le cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à OK(fig. 104.) Le

J^' cercle mobile reste constamment tan-

gent à ce cercle fixe. Soit OK^ une nouvelle position du cercle mobile ; le diamètre OK' rencontre en K^ le cercle dans sa première position; ce point K^ du cercle mobile décrit, comme nous l'avons vu, le diamètre K'K"; dans la FigTîôé. seconde position du cercle mobile, il est

donc venu en K^ Dans le cercle fixe, l'angle au centre, KOK' a pour mesure le rapport de l'arc KK' au rayon OK; dans le petit cercle, l'angle inscrit KOK^ a pour mesure le rapport de l'arc KKi au diamètre OK; on en conclut l'égalité des deux arcs KK' elKKj. Il résulte de là que l'on peut obtenir le mouvement du plan mobile dans le plan fixe en faisant rouler le cercle mobile surle cercle fixe, sans glissement, c'est-à-dire de telle sorte que les arcs KK' et KK^ des deux cercles compris entre les points de contact, dans deux positions quelconques, soient égaux. BR. ^l

EXERCICES

4» Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes conslruits sur les diamètres conjugués d'une ellipse.

2^ Trouver le lieu du milieu des cordes menées par un même poiot

dans une ellipse.

3" Une corde d'un cercle se meut parallèlement à elle-même; par les extrémités on mène des droites parallèles à deux directions données; trouver le lieu du point de rencontre des parallèles.

4^ Parmi tous les parallélogrammes circonscrits à une même ellipse, les parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués ont une aire minimum.

5® Parmi tous les parallélogrammes inscrits à une même ellipse, ceux dont les diagonales forment un système de diamètres conjugués ont une aire maximum.

6® De toutes les ellipses inscrites à un même parallélogramme, quelle est la plus grande?

7<* De toutes les ellipses circonscrites dans un même parallélogramme, quelle est la plus petite?

8^ Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de Tellipse, les axes forment une somme minimum et les diamètres conjugués égaux une somme maximum.

9^ Inscrire dans Tellipse une corde telle que la somme de sa longueur et la distance de son point milieu au centre soient maximum.

4 0" Une droite se meut parallèlement à elle-même dans le plan de deux autres ; on prend sur elle un point tel que la somme des carrés de ses distances aux intersections avec les droites fixes soit constante : quel est le lieu décrit par le point?

^^^ Étant données deux ellipses quelconques, on peut déterminer deux directions parallèles h la fois à deux diamètres conjugués de Tune et de Tautre ellipse; par les points communs aux deux courbes passe une troisième ellipse dans laquelle les diamètres conjugués égaux seront parallèles à ces deux directions.

42® Une ellipse tourne autour de son centre, aux points où elle coupe une droite fixe on mène des tangentes à la courbe; trouver le lieu du point d'intersection de ces tangentes.

43® On donne un cercle et une droite fixe passant par son centre; une droite mobile égaie au rayon s'appuie par une de ses extrémités sur le cercle, par l'autre sur la droite ; trouver le lieu décrit par un point de la droite mobile.

DE L'ELLIPSE. i63

H* Un plan mobile se meut sur un plan fixe, de manière que deux droites du plan mobile restent tangentes respectivement à deux cercles du plan âxe; trouver le lieu tracé par un point du plan ûxe sur le plan mobile.

45* Trouver Taire de F ellipse définie par Téquaiion

46* Un triangle étant inscrit dans une ellipse, si on appelle R le rayon du cercle circouscrit, et d, d', d" les demi-diamètres parallèles aux côtés

T> dd'd!'

OD a K = — ■ — .

17* Un rectangle quelconque étant circonscrit à une ellipse, le parallélogramme qui a pour sommets les points de contact a un périmètre constant, et deux côtés consécutifs font avec la tangente des angles égaux.

18* A partir d'un point quelconque d'une ellipse on porte sur la normale

une longueur égale à — 9 /: étant une constante et p la perpendiculaire

abaissée du centre sur la tangente ; trouver le lieu de l'extrémité de cette droite.