CHAPITRE V

De l'hyperbole*

179 — Construisons maintenant le lieu défini parFéquation

dans laquelle M et N ont des signes contraires. Nous supposerons M positif, N négatif et égal à — N'. Si F^ est égal à zéro,

l'équation

Ma;»— N'y* = G,

résolue par rapport à y, donne

elle représente deux droites passant à Torigine. Le cas où F^ est positif se ramène au cas où F^ est négatif par la permutation des axes, ce qui revient à remplacer dans l'équation y para? et x par y; nous poserons donc ¥^= — H; Téquation

prend la forme

Ma?»— N'y* = H

dans laquelle M, N' et H sont des nombres positifs.

A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires; Taxe des x est donc un axe de symétrie de la courbe ; il en est de même de Taxe des y. On en conclut que l'origine est centre de la courbe; on peut démontrer cette dernière propriété en observant que si Téquation est vérifiée par les coordonnées xtiy d'un point, elle est vérifiée également par les coordonnées — x et — j/ du point symétrique.

En résolvant Téquation par rapport à j/, on obtient

, /Ma;» — H

Pour que y soit réelle, il faut que la valeur numérique de x soit supérieure à i/ g- Portons donc sur Taxe X'X, à partir de

rorigrne, deux longueurs OA, OA' égales à i/g» et, parles

points A et A^ menons des parallèles à OY (fig. io5); la courbe n'a aucun point entre ces deux parallèles. Quand iC=OA, l'ordonnée y est nulle, ce qui donne le point A ; si Ton fait croître x indéfiniment à partir de OA, la valeur numérique de y croît aussi indéfiniment à partir de zéro; on a ainsi deux arcs infinis AD et AD'. En faisant varier x depuis —OA^ à — oo , on obtient deux autres arcs infinis A'E» A'E', symétriques des précédents par rapport à OY. Ces quatre arcs constituent les deux branches de rhyperbole, qui admettent pour axes de symétrie les deux droites X'X, Y' Y. Le premier de ces axes rencontre seul la courbe, on l'appelle axe transvene; le second est Taxe non transverse ou imaginaire; les points A et A' sont les deux

sommets de la courbe. Si Ton pose, pour abréger, a = y^^ h = t/~ » l'équation se met sous la forme

Fig. 105.

Les dimensioas de Fbyperbole dépendent uniquement des deux lignes a et 6; on dit que ces deux paramètres sont les longueurs des demi-axes de la courbe^ le premier est le demia^e réel^ le second le demi-axe imaginaire.

ISO — Les carrés des ordonnées perpendiculaires à Vaxe transverse sont proportionnels aux produits des segments correspondants formés sur cet axe.

En effets de Téquation (i) on déduit

2 = — ou := — »

J5" — a' a» (x-ha)(x — a) a*

ISft — Asymptotes, — Nous avons yxx (n* i3o) que, quand l'origine des coordonnées coïncide avec le centre de l'hyperbole, on obtient Téquafion des asymptotes en supprimant le terme constant dans Téquation de la courbe. Les deux asymptotes RR', SS' auront ici pour équation

On peut vérifier aisément que la différence MN des ordonnées de la droite OR et de Tare AD a pour limite zéro; car cette différence a pour expression

L'arc AD est compris dans Tangle ROX et se rapproche indé- Uniment de la droite OR, qui est son asymptote. Les droites OR', OS, OS^ sont de même les asymptotes des arcs A'E^, A'E, Aiy. D'après Téquation (2), on voit que les asymptotes R'R, S' S sont les diagonales du rectangle construit sur les axes.

ISS — Hyperboles conjuguées. — Deux hyperboles sont dites conjuguées lorsque, ayant même centre et mêmes axes. Taxe réel de Tune est axe imaginaire de Tautre. Ainsi Thyperbole proposée a pour conjuguée une autre hyperbole ayant pour axe transverse 6 et pour axe imaginaire a (ûg. 106). L'équation de

166 LIVRE m, CHAPITRE V.

cette seconde hyperbole est évidemment

Fig. lOG.

autres angles ROS, R^OS'.

Deux hyperboles conjuguées ont les mêmes asymptotes^ puisque le rectangle construit sur les axes est le même pour les deujt courbes. L'une des courbes est comprise dans les deux angles ROS^, R^OS opposés par le sommet^ la seconde dans les deux

fl83 — Hyperbole eçttî/af^re.— On dit qu'une hyperbole est équilatère lorsque les axes a et 6 ont même longueur. Dans ce cas, le rectangle des axes devient un carrée et les asymptotes sont perpendiculaires entre elles; l'hyperbole conjuguée est égale à la première; on l'obtient en faisant tourner celie-ci d'un angle droit autour de son centre.

L'hyperbole dont les axes sont a et 6 peut être construite au moyen de Thyperbole équilatère dont l'axe est a, comme on a construit l'ellipse ayant pour axes a et (au moyen du cercle de rayon a, c'est-à-dire que la première hyperbole peut être regardée comme la projection orthogonale de la seconde. Mais celte considération n'est d'aucune utilité dans les constructions graphiques relatives à l'hyperbole, parce que le tracé d'une hyperbole équilatère n'est pas plus simple que celui d'une hyperbole quelconque.

fl84 — Soient a? et y les coordonnées d'un point quelconque

R. du plan; considérons le polynôme

^ Pour un point M appartenant à la

courbe, ce polynôme est égal à

zéro; si l'on fait marcher un point

Fig. 107. P à partir de M sur une parallèle à

Taxe transTerse AA^ (flg. 107), le terme ^ conserve une va-

leur inyariable^ tandis que le terma -^ diminue ou augmente

suivant que le point P se rapproche ou s'éloigne de l'axe des y. Il en résulte que le polynôme a une valeur négative pour tous les points situés entre les deux branches de l'hyperbole^ et positive pour tous les autres points du plan.

TANGENTE

ISS — L'équation de la tangente au point M, dont les coordonnées sonix et y, est •

,5, xX vY

Pour construire cette droite, on peut déterminer le point T (flg. 107), où elle coupe l'axe OX. Si, dans l'équation (3), on

fait Y = o, il vient X = OT = — ; on obtient cette longueur

se

OT par une troisième proportionnelle.

1§II — Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur

Supposons que le point M décrive l'arc AD; en A le coefficient angulaire est infini et la tangente perpendiculaire à Taxe transverse; x augmentant, le coefficient angulaire diminue

constamment et tend vers la limite -* coefficient angulaire

de Tasymptote OR; l'angle MTX diminue donc de ~ à ROX;

en même temps la valeur de OT diminue de a à o; il en résulte que l'asymptote est la position limite de la tangente quand le point de contact s'éloigne indéfiniment.

tsy — Mener une tangente par un point extérieur P.— Si l'on appelle x^ et y^ les coordonnées du point P, les points de

contact sont déterminés par l'équation de la corde des contacts

jointe à Téqualion (i) de Thyperbole.

En éliminant y, on obtient Téquation du second degré

dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M^ des deux tangentes menées du point P. La condition de réalité

des racines est —^ — ^ — i < o, c'est-à-dire que le point P

doit être placé entre les deux branches de la courbe. Si le point P est placé dans les angles des asymptotes qui compren-

nent la courbe, le coefficient — ^ — -^ est positif, le produit

des deux racines est positif; par suite les deux racines sont de même signe et les deux points de contact sur une même branche de la courbe. Au contraire, si le point P est dans Tun des angles ROS, R'OS', il y a un point de contact sur chacune des branches.

488— Janjenfe parallèle à une droite donnée.— En appelant m le coefficient angulaire de la droite donnée, on trouve par un calcul analogue à celui du n° i55, que Téquation de la tangente est

(5) y=zmx± yja^m* — 6*.

Pour que le problème soit possible, il faut que la valeur de m^

soit plus grande que -^> c'est-à-dire que, si la droite donnée

passe à l'origine, elle doit être comprise dans Tangle ROS. Nous avons vu déjà (n** 186) que la valeur numérique du coefficient

angulaire d'une tangente est plus grande que —

480— On ne peut mener à une hyperbole deux tangentes rectangulaires que lorsque l'angle ROS' est moindre qu'un angle droit, c^est-à-dire lorsque a est plus grand que b; quand cette condition est satisfaite, le lieu du sommet d'un angle droit

Hrconscrit à Thyerbole a pour équalion

i'est un cercle concenlriqne à la courbe.

DIAMÈTRES

fl0O— Lorsque Tliyperbole est rapportée à ses axes^ le diamètre qui divise en deux parties égales les cordes dont le coefficient angulaire est m a pour équation

ou

Si Ton désigne par m/ le coeffl- Fig. 108. cient angulaire du diamètre, on

a^ entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation

(6) mm'= ,

Cette relation montre que si Ton prend m/ pour coefficient angulaire des cordes, on trouvera m pour coefficient angulaire du diamètre; c'est-à-dire que si la droite DIV divise en deux parties égales les cordes parallèles à EE^ (fig. io8), réciproquement la droite EE' divise en parties égales les cordes parallèles à DD'. Ainsi les deux diamètres DIV, EE' sont tels que chacun divise en "parties égales les cardes parallèles à Tautre: ce sont deux diamètres conjugués.

L^hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisque l'on peut prendre à volonté Tun des diamètres. La relation (6) exige que m et mf aient le même signe; si on

les suppose positifs, m variant de o à -» m' variera de oo à -;

le diamètre DIV tourne de OA vers Tasymptote OR, et le diamètre EE' de OB' vers la même asymptote. On voit ainsi que, des deux diamètres, Tun rencontre toujours la courbe, et que

t70 LIVRE III, CHAPITRE V.

Tautre ne la rencontre pas. Les axes forment le seul systèn^ de diamètres conjugués rectangulaires, et l'angle aigu de det^

diamètres conjugués varie de - à o.

On démontre comme pour Tellipse que la tangente FH ei un point D de Thyperbole est parallèle au diamètre EE' cop jugué du diamètre DIV qui passe au point de contact.

fl91 — ^Deux hyperboles conjuguées et le système de leur asymptotes admettent le même diamètre pour la même sévh de cordes; car les équations des trois lieux

ne diffèrent que par le terme constant qui n'entre pas dan^ réqualion du diamètre /'i-f-»n/'J=o. Les trois lieux admets tent aussi les mêmes systèmes de diamètres conjugués.

SiThyperbole est équilatère, la relation mm^ = — devient

mfn/=i, ce qui signifie que les angles DOX, EOX sont complémentaires, et, par suite, que les asymptotes sont bissectrices des angles des diamètres conjugués.

iV^-^Eyperbole rapportée à deux diamètres conjugués. — Si Ton prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués d'une hyperbole, nous ayons vu que Téquation de la courbe conserve la forme

Ma/«-i-Ny'«=H.

Prenons pour axe des x le diamètre qui rencontre la courbe; on peut supposer H positive, alors M sera positive et N négative. La longueur du premier demi-diamètre est la distance OD du point 0 au point de rencontre du diamètre avec la

courbe ; cette longueur a pour expression a' = yri' On appelle longueur du second diamètre la quantité 6^ = i/ — ir-

Il n

Si l'on remplace H par -7; et N par -^> Téquation précédente devient

DE L'HYPERBOLE. i7t

On peut arriver à ce même résultat par une transformation de

coordonnées; si Ton remplace dans l'équation 1 — fi — 1=0 les variables a? et y par les valeurs

x=^œf cosa -H y' cos^, y = a/ sina -Hy^ sin p, comme le terme constant ne change pas, et qu'on doit arriver

à réquation (7), on en conclut que le polynôme -5 — j^ devient

identiquement— — —• La même transformation appliquée

à rhyperbole conjuguée donnera -^ — ^4-1 = 0. Le demidiamètre imaginaire V de Fhyperbole proposée dirigé suivant OY^ a donc pour longueur la distance OE du point 0 au point E où la droite OY' rencontre l'hyperbole conjuguée. L'équation des asymptotes deviendra par la même raison

-77 — T7Î = 0> OU y'=±—.x.

On en conclut que les diagonales du parallélogramme FHGK construit sur deux diamètres conjugués quelconques coïncident avec les asymptotes de l'hyperbole.

On peut vérifier directement, comme au n** 181, que les

droites y^=±: —j ocf sont les asymptotes.

Les côtés FH, GK du parallélogramme sont tangents à la première hyperbobe, et les côtés FK, et GH à l'hyperbole conjuguée, de sorte que le parallélogramme est circonscrit au système des deux courbes.

103 — Si Ton appelle a et p les angles que font avec Taxe tranverse OXles deux demi-diamètres, conjugués OD, OE, a' et V leurs longueurs, on a entre ces quatre quantités variables les trois relations

a'^cosa* a'* sin a'

t/'cosp

6'»sin'S • 6' = ''

cosa ces p

sin a sin ^

172 LIVRE m, CHAPITRE V.

les deux premières se déduisent des équations des deux hyperboles conjuguées en coordonnées polaires^ la troisième exprime que les deux diamètres sont conjugués.

Ces relations sont analogues à celles que nous avons trouvées pour l'ellipse (a*» i6i); on pourra leur faire subir les mêmes transformations. La troisième relation se mettra sous la forme

fl^cosoc g^sina Ha! cosa\« /a^sina\*

en continuant de la même manière^ on trouvera

a'*cos«a — 6^*cos'p = a«, a'*sin«a — 5'»sin'P=— 6*;

Ainsi la différence des carrés des projections de deux diamètres conjugués quelconques sur chacun des axes est constante.

En ajoutant ces deux relations membre à membre, on obtient

la différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la différence des carrés des axes. On trouve aussi la relation

a'6'sin(P — a) = a6;

d'où Ton conclut que Vaire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à l'aire du rectangle des axes.

De la relation a'* — V* = a« — b\ il résulte que si a est différent de 6, on ne peut avoir a^ = V; Thyperbole n'a pas de diamètres conjugués égaux. Si, au contraire, l'hyperbole est équilatère, on a toujours a^ = V; tous les systèmes de diamètres conjugéssont égaux; ce qui s'accorde avec la remarque du n*» 191, puisqu'alors les deux diamètres font avec Tasymptote des angles égaux.

194— L'hyperbole et ses deux asymptotes ayant le même diamètre pour une même série de cordes, le milieu I de la corde MM' est aussi le milieu de la corde NN' (fig. 108). Donc

I^s portions HN, M^N' d'une sécante comprise entre l'hyperbo/e et ses asymptotes sont égales*

Si la sécante devient tangente^ on a DF = DH; les portions A* une tangente comprises entre le point de contact et les asymptotes sont égales.

ms — Supposons rbyperbole rapportée à deux diamètres conjugués Diy^ EE^ dont Tun EE' est parallèle à une sécante donnée MN; la courbe aura pour équation

et les asymptotes y'*=j— ,^*.

Dans la figure io8, la sécante HM^ coupe la même branche en deux points^ le diamètre parallèle EE' ne rencontre pas la courbe; on a

Sn=^.(Ôi*-a-),

et, par suite^

W—MP=V\ ou (NI — MI) {NI H- MI) = ft'*; mais NI — MI = MN et NH-MI = MN';

donc MNxMN' = 6'«.

Lorsque la sécante coupe les deux branches de Thyperbole^ le diamètre parallèle rencontre la courbe, et Ton arrive à un résultat analogue. Ainsi le produit des segments d'une sécante, compris entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamétre parallèle à la sécante. IflO — Connaissant les asymptotes RR'^ SS' et un point M

de rhyperbole, on peut obtenir autant de points de la courbe qu^on le veut (fig. 109). Menons, en effet, par le point M une droite quelconque NMN'; cette droite coupe les asymptotes en N et N'; si Ton prend sur cette droite une longueur N'M' égale à NM, Fig. 109. on aura un second point M' de l'hy-

perbole. On peut également déterminer les directions et les

grandeurs des axes. La courbe étant comprise dans les angles ROS, R'OS', la bissectrice OA de ces deux angles sera Taxe transverse, et la perpendiculaire OB Taxe imaginaire. Menons QMQ' perpendiculaire à OA, Taxe imaginaire b sera moyen proportionnel entre MQ et H(y. En portant sur OB une longueur OB égale à 6, et en menant BC parallèle à OA, BC sera Taxe réel a.

On peut aussi construire la tangente en un point M' de la courbe. On mènera par ce point M'P parallèle à une asymptote, on prendra 0G = 20P; la droite M' G sera la tangente demandée.

1L97 — Lorsqu'on connaît les positions et les grandeurs de

deux diamètres conjugués, on obtient aisément les axes. Soient, en effet, DIX, EE' (fig. iio) les deux diamètres, dont le premier est réel; les diagonales du E' \ parallélogramme construit sur les deux

Fig. 110. diamètres sont les asymptotes; con-

naissant les asymptotes et un point D, on est ramené à la construction précédente.

flOS — Cordes supplémentaires. — On appelle cordes supplémentaires deux cordes MC, MC qui, partant d'un même point de la courbe, aboutissent aux extrémités d'un même diamètre CC^ (fig. m). On démontrera comme nous Tavons fait au n* i68, pour Fig. 111. l'ellipse, que deux cordes supplé-

mentaires sont parallèles à un système de diamètres conjugués; et que, réciproquement, si par les extrémités d'un diamètre on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués, ces droites se coupent sur l'hyperbole et forment un système de cordes supplémentaires.