FOYER ET DIRECTRICE DE LA PARABOLE

248— Soit

(6) y* — 2px = o

l'équation d'une parabole donnée rapportée à son axe et à la tangente au sommet. Cette équation ne contenant pas le terme en xy ni le terme x^, on doit avoir mn = o, i — m*= o, d'où

Fig. 139.

n = o, m = I . Le coefficient du terme en y et le terme conp, ^ stant devant être aussi nuls, on a P = o,

a*— A»= G. D'ailleurs les équations (3) se réduisent à ' I = ; on en déduit a-f-ft =p.

L'équation a* — h*=o ou (a+A)(a — h) = o devient p (a — A)=o, c'est-à-dire a— A=o;

il en résulte a = A = -• On n'a ici qu'une so-

Fig. 140. lution. Ainsi la parabole admet un seul foyer F situé sur son axe à une distance du sommet A égale à la moitié du paramètre (fig. i4o). La distance FM ayant pour

expression x-h-f à ce foyer correspond une directrice DE,

représentée par l'équation a?=— -; cette directrice est perpendiculaire à l'axe et à une distance AD du sommet égale à AF.

Le rapport constant t==:ym*-f-n' se réduit ici à l'unité; ainsi chacun des points de la parabole est également distant du foyer et de la directrice.

PROBLÈME V

944 — Tout point intérieur à la parabole est plus rapproché du foyer que de la directrice ; tout point extérieur est, au contraire, plus rapproché de la directrice que du foyer.

Considérons d'abord un point N situé à l'intérieur de la parabole ; joignons-le au foyer et abaissons de ce point une perpendiculaire NE sur la directrice. Cette perpendiculaire rencontre la courbe en un point M que nous joignons au foyer. Le point H appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales. Mais la ligne droite NF est plus courte que la ligne brisée NM-+-MF; si l'on remplace MF par son égale ME, on Toit que la distance NF est plus petite que NE. Ainsi le point intérieur N est plus près du foyer que de la directrice.

Considérons maintenant un point extérieur P situé entre la courbe et la directrice. Joignons-le au foyer et abaissons sur la directrice une perpendiculaire PE que nous prolongerons

208 LIVRE m, CHAPITRE VIL

jusqu'à sa rencontre en M avec la courbe. Le point M appartenant à la parabole^ les distances MF et ME sont égales ; la ligne droite MF ou son égale ME est plus courte que la ligne brisée MP -h- PF, si Ton retranche MP de part et d'autre, on voit que PE est plus courte que PF. Ainsi le point extérieur P est plus près de la directrice que du foyer. Lorsque le point P est situé à gauche de la directrice, il est évidemment plus près de la directrice que du foyer.

Il résulte de là que la parabole peut être considérée comme le lieu des points également distants du foyer et delà directrice. C'est ainsi qu'on déflnil la parabole en Géométrie élémentaire, et c'est sur cette propriété que repose la construction de la parabole par points ou d'un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n®* 24 et 25).

THÉORÈME YI.

945 — La tangente à la parabole fait des angles égaux avec la parallèle à Vaxe et le rayon vecteur menés par le point de contact.

Prenons sur la parabole deux points voisins M et M^ (flg. 141), que nous joindrons au foyer et desquels nous abaisserons des perpendiculaires ME, M'E' sur la directrice. Du foyer F comme

centre, avec FM^ pour rayon, décrivons un arc de cercle M'C, et parle point M' menons une parallèle M^C à la directrice. La longueur MC est la différence des deux rayons vecteurs FM et FM' ; c'est la diminution qu'éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du point M au point M'. De même la longueur MO est la différence des deux perpendiculaires ME et M'E'; c'est la diminution qu'éprouve la perpendiculaire ME quand on passe du point M au point M'. Comme le rayon vecteur FM reste constamment égal à la perpendiculaire ME, il en résulte que les deux variations MC et MC' sont égales entre elles.

Menons la sécante MS par les deux points M et M', et traçons la corde M'C dans le cercle décrit du foyer comme centre. Sur

Fig. 141.

k sécante portons une longueur arbitraire MG, et^ par le point G; menons GH parallèle à H^C et GK parallèle à H^C^ A cause