PF — PH<FH

et^ par suite^

PF^ — PF<2a;

donc le point P est situé entre les deux branches de l'hyperbole. Une branche de l'hyperbole, étant située d'un même côté de chacune de ses tangentes, est une courbe convexe.

La tangente étant perpendiculaire sur le milieu I de FH, le point I est la projection du foyer F sur la tangente. La droite 01^ étant parallèle à F'H et égale à la moitié de F^H^ est constante; il en résulte que le lieu des projections des foyers sur les tangentes est le cercle décrit sur l'axe transverse comme diamètre.

PROBLÈME YI.

!t40 — Mener une tangente à rhyperbole par un point donné P situé entre les deux branches de Vhyperbole. Soit PHune tangente passant par le point P (fig. i38); si du

rayon vecteur MF' on retranche MH = MF, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FH. La question revient à déterminer le point H ; ce point se trouve à Tintersection du cercle décrit du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2a, et Fig. 138. du cercle décrit du point

P comme centre avec un rayon égal à PF. On obtiendra la tangente en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FH, et on déterminera le point de contact M par le rayon vecteur F'H. Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant

du point P une perpendiculaire sur FH^ on aura une seconde tangente PM^, dont on déterminera le point de contact à Taide de la droite FH'.

Lorsque le point P est situé sur Tune des asymptotes, l'une des tangentes menées par le point P coïncide avec cette asymptote, et le point de contact s'éloigne à Tinfini.

PROBLÈME vu.

2^%— Mener à Vhyperbole une tangente parallèle à une droite donnée OL.

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2 a, on

décrira le cercle directeur; du foyer F, on mènera une droite perpendiculaire à OL (ûg. iSg); cette droite coupera le cercle en deux points H et H^; par les milieux des [droites FH et FU^, on mènera des parallèles à OL; ces parallèles seront les tangentes demandées. Les droites F' H, ,F'H^ détermineront les points de contact M etM^

Pour que le problème soit possible, il faut que la droite donnée OL, que Ton peut supposer menée par le centre, ne rencontre pas l'hyperbole; alors la perpendiculaire FH' menée par le foyer F coupera le cercle directeur en deux points.

PROBLÈME YIII.

2é2 — Trouver les points de rencontre d'une droite et d^une hyperbole définie par ses foyers et son axe transverse. La construction est exactement la même que pour l'ellipse.