ÉQUATION DES COURBES DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES
POLAIRES
263 — Nous prendrons pour pôle un foyer F, et pour axe
polaire la droite qui va de ce (pyer au sommet voisin  de la courbe.
Considérons d'abord l'ellipse; prenons pour pôle le foyer F et pour axe polaire la direction FA (Qg. i56). Nous avons trouvé (n° 219) pour expression Fig. 156. de la distance du foyer à un point
quelconque M de la courbe
la courbe étant rapportée à ses axes; si Ton projette la ligne brisée OFM sur le grand axe, il vient a? = c -f- p cosco; en remplaçant a; par celte valeur dans Téquation précédente, et dési-
gnant par c Texcentricité -» on en déduit
Supposons maintenant que la courbe soit une hyperbole.
Prenons pour pôle le foyer F^ et pour axe polaire la direction F^A' de Taxe transverse (flg. 157). Nous avons tu (n" 233) que la distance du foyer F à un point quelconque de la courbe est exprimée par la formule
Fig. 157.
le signe — s^appliquant à la branche de gauche, le signe + à la branche de droite. Projetons sur Taxe transverse OXla ligne brisée OF^M, onaa?= — c-f-p cosw.
Il en résulte que la première branche de Fhyperbole est représentée par réq nation
la seconde par Téquation
ecoso)
I — ecosw
Mais si Ton convient de porter les rayons vecteurs négatifs en sens contraire de la direction indiquée par Tangle co, il est facile de voir que Téquation (1) représente à elle seule les deux branches de Thyperbole. Soit M^ un point quelconque de la seconde branche, co' l'angle correspondant A^F^M', p' le rayon vecteur F' M'; en vertu de Téquation (2), on a
0' = — ZZS. — -. Dans l'équation (i), donnons à Tangle w h ^ I — ecosco' ^ ^ '^ °
valeur w'-i-iu, il viendra
^ I — e cosc»/ ^ ^
on obtient ainsi pour p une valeur négative — (/; mais la valeur
+ t: attribuée à (o, indique la direction F'Mj opposée de F^H^ p avait une valeur positive^ il faudrait la porter dans la diction F' Mi ; p ayant une valeur négative — p', on convient de irter la valeur absolue p' en sens inverse, c'est-à-dire dans la rection F^M^^ ce qui donne le point M^ Il résulte de là que Iquation (i) suffit pour représenter les deux branches de lyperbole, la première par les valeurs positives de p, la conde par les valeurs négatives.
Considérons enfin le cas où la courbe est une parabole.
Prenons encore pour pôle le foyer F et pour axe polaire la droite FA dirigée vers le sommet (fig. i58). On a (n« 243)
^-hx.
En projetant sur Taxe ÂX la ligne brisée AFH, on a comme précédemment
Fig. 158.
foù Ton déduit
iC = - -h p COS (tc — (1)) = - — 2 ^ ^ 2
pcosco;
COSb>
Il résulte de ce qui précède que Téquation (i) représente les trois courbes du second degré ; la courbe est une ellipse, une parabole ou une hypierbole, suivant que l'excentricité e est inférieure, égale ou supérieure à Tunité.
EXERCICES
1<> M et M' étant deux points d'une parabole^ P le point de concours des
PM' PM'* UDgenies en ces deux poinU et F le foyer, démontrer que Ton a «« = m; •
3° Dans une courbe du second degré, la perpendiculaire abaissée du foyer sur une corde et le diamètre conjugué de la corde se coupent sur la
«lireclrice.
3« Un demi-diamètre d'une ellipse ou d'une hyperbole est moyen proporlionnel entre les droites qui joignent les foyers à Textrémiié du diamètre conjugué du premier.
4* Dans Phyperbole équilatère la distance d'un point quelconque de la
courbe au centre est moyenne proportionnelle entre les distances de ce point aux foyers.
5<> Trouver dans le plan d^une ellipse un cercle tel que la longueur de la tangente menée au cercle de chacun des points de Tellipse soit une fouction Rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées de ce point.
Démontrer que la somme ou la différence des tangentes menées de chacun des points de Tellipse à deux cercles jouissant de la propriété précédente est constante.
6^ Lieu du sommet d*un angle constant circonscrit à une parabole.
7® Par le foyer d'une parabole on mène une corde, et sur la corde comme diamètre on décrit un cercle, puis on mène au cercle des tangentes parallèles à une droite donnée; trouver le lieu des points de contact.
8^ Un angle constant tourne autour du foyer d'une courbe du second degré ; aux points où les côtés de Tangle rencontrent la courbe, on mène des tangentes à cette courbe ; trouver le lieu du point d'intersection de ces
tangentes.
9<* Étant donnée une ellipse; en un point quelconque M, on mène h tangente que l'on prolonge jusqu'aux points P et Q, où elle rencontre les tangentes aux extrémités du grand axe ; trouver le lieu du point de ren. contre N des droites F'P et FQ, et du point de rencontre N' des droites FP et F'Q. Démontrer que les deux points N et N' sont situés sur la normale au point M.
4 Oo Étant donnée une courbe du second degré, une sécante tourne autour d'un point fixe P ; on joint au foyer F les points M et M' où elle coupe
PFM PFM'
la courbe ; démontrer que le produit tang — - — tang — - — est constant.
14® L'angle sous lequel du foyer d'une courbe du second degré on voit la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est constant.
42** Un triangle étant circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice, et le cercle circonscrit au triangle passe par le foyer.
4 3<> Si, en un point quelconque M d'une ellipse, on mène une normale, la portion de celle normale comprise entre le point M et le petit axe a pour projection sur les rayons vecteurs menés du point M aux deux foyers une longueur égale au demi grand axe.
M^ La portion de la normale comprise entre le point M et le grand axe a pour projection sur les rayons vecteurs une longueur égale au paramètre de l'ellipse.
450 Deux courbes du second degré ont un foyer commun ; si l'on mène
Dans ce qui précède nous avons supposé que le paramètre de l'ellipse ou de Thyperbole conserve une valeur finie. On arrive à la ménie conclusion, en supposant que la distance AF du sommet A au foyer voisin F conserve une valeur finie. En effets en appelant a cette distance^ on a, dans Tellipse^ ^ = a — a et, par suite,
le paramètre p ayant pour limite la quantité finie 2a, l'équation de Tellipse se réduit à j/* = 4air. Il en est de même pour rhyperbole.
354— Remarque. Cette transformation de Fellipse en parabole a une grande importance. Elle permet de déduire des propriétés de Tellipse celles de la parabole comme cas particuliers. Ainsi nous avons vu que dans Tellipse le diamètre, ou le lieu des milieux d'une série de cordes parallèles, est une droite passant par le centre; si Ton suppose que le centre s'éloigne à l'infini, l'ellipse se change en parabole, et les diamètres deviennent parallèles à l'axe.
L'ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur décrit du foyer F' comme centre. Le foyer F^ s'éloignant à Tinfini, le cercle directeur devient la directrice de la parabole.
La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont du point de contact M aux deux foyers; le foyer F^ s'éloignant à l'infini, le rayon vecteur MF' devient parallèle à Taxe.
THÉORÈME Vni.
S55 — Si l'on mène deux tangentes à une courbe du second degré, la droite FP qui ra du foyer F au point de concours P des deux tangentes est bissectrice de Vangle des rayons vecteurs FM, ¥W, qui vont de ce foyer aux points de contact des deux tangentes, ou de Vangle extérieur , suivant que les deux tangentes touchent une même branche de courbe, ou deux branches différentes.
Considérons deux tangentes PM, PH' à une ellipse (fig. 149);
2IC LIVRE Iir, CHAPITRE VII.
prolongeons le rayon F'H d'ane longueur HH égale à HF, et de même FM' d'une longneur M' H' égale à M' F'; les tangentes „.^ étant perijcndiculaires sur les mi-
lieux de FH et de F'H', on a
PH = PF et PH' = PF', et les deux triangles F'PH, H'PF sont égaiis comme ayant les trois côiés égaux chacun à chacun, savoir : F'H =FH'= aa, PH = PF, Fig. U9. PF' = PH'; on en conclut que les
angles PHM, PFM' sont égiiux ; mais l'angle PHM est égal à PFM; donc les angles PFM, PFM' sont égaux et la droite FP est bissectrice de l'angle MFM'.
La même chose a lieu dans l'hyperbole, quand les deux tangentes touchent une même branche; mais quand les tangentes touchent deux branches différentes, la droite FP est bissectrice de l'angle formé par l'un des rayons vecteurs FM, et le prolongement de l'autre.
Examinons maintenant le cas où la courbe est une parabole (Rg. i5o). Des points de contact abaissons des perpendiculaires MH, M'H' sur la directrice; les tan- —y4 gentes étant perpendiculaires sur les
y^ milieux des droites FH, FH', les an-
/ , gles PFM, PFM' sont égaux respecti-
î 'Jl vement aux angles PHM, PH'M'. Les
/'* droites PH et PH', égales à la droite
PF, sont égales entre elles, et le triangle HPff est isocèle. Les angles PHM, PH'M'iComplémentaires desangles égaux du triangle isocèle, sont égaux entre eux; donc les anglts PFM, PFM' sont égaux. C'est ce que l'on peut d'ailleurs conclure immédiatement en regardant la parahole comme la limite d'une ellipse.
THÉORÈME IS
959— let tangenfes menées d'un point extéritur P a une
FOYERS ET DIRECTMŒS. 217
ellipse ou à une hyperbole font des angles égaux avec les droites qui joignent ces points aux deux foyers.
Dans les deux triangles égaux F^PH, H^PF (flg. 149), on a les angles égaux F'PH^ H'PF; en retranchant la partie commune FPF, on a FPH=FPH^ et, en prenant la moilié, FPM=FPJr.
La même propriété subsiste dans la parabole, limite d'une ellipse; ir suffit de remplacer le rayon vecteur PF' par une droite PI parallèle à Taxe (fig. i5o). Il est facile de démontrer directement cette propriété : si du point P comme centre, avec un rayon égal à PF, on décrit un cercle, ce cercle passera par les points H et H^; les angles MPI, FHH' sont égaux comme ayantleurs côtés respectivement perpendiculaires; mais l'angle inscrit FHH^ est moitié de l'angle au centre FPH' et, par conséquent, égal à Tangle FPM'; donc les angles MPI, M'PF sont
égaux.
THEOREME X.
%^7—La droite FK, qui joint le foyer d'une courbe du second degré au point où une sécante quelconque rencontre la directrice, est bissectrice de Vangle extérieur des rayons vecteurs allant du foyer aux points où la sécante coupe la courbe, ou bissectrice de Vangle même des rayons vecteurs, suivant que les deux points d'intersection M et W sont situés sur la même branche de la courbe ou sur deux branches différentes.
Des points M et M^ abaissons des perpendiculaires sur la p , directrice (fig. i5i); on a
