CHAPITRE IX

Thé#rèiiie0 généraux aiir !«• ■ec(loii0 cosiiiiies*

999 — L^équatîon générale du second degré

Ax^+Bxy -hCy^ -hl^x -hEy + ¥ = 0,

contient six coefficients; mais^ comme on peut diviser tous les termes par Tun des coefflcients, pourvu que ce coefficient soit différent de zéro, on voit que Téquation ne renferme que cinq paramètres arbitraires^ savoir les rapports de cinq coefficients au sixième. Pour déterminer une courbe du second degré, il faut donner les valeurs des cinq paramètres, ou bien cinq relations entre ces cinq paramètres; mais, dans ce cas, il est nécessaire d'examiner si les cinq équations de condition admettent un système de solutions réelles, et si, en outre. Téquation du second degré correspondante représente bien une courbe ; autant les cinq équations de condition admettront de systèmes de solutions réelles jouissant de cette propriété, autant il y aura de courbes du second degré satisfaisant aux conditions proposées.

En général, les relations entre les paramètres proviennent de conditions géométriques auxquelles doit satisfaire la courbe. Ainsi on peut assujettir la courbe à passer par des points donnés^ à être tangente à des droites données^ etc. On exprimera que la courbe passe par un point donnée en écrivant que les coordonnées du point vérifient Téquation de la courbe^ ce qui donne une relation entre les coefficients. On exprimera que la courbe est tangente à une droite donnée, en écrivant que l'équation qui fournit les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite a deux racines égales, ce qui donne aussi une relation entre les coefficients. Une condition géométrique qui se traduit par une relation entre les coefficients est regardée comme une condition simple. Une condition géométrique qui se traduirait par deux relations serait regardée comme double; si, par exemple, on assujettissait la courbe à toucher une droite donnée en un point donné, l'équation qui donnerait les abscisses des points d'intersection devant admettre une racine double donnée, il en résulterait deux relations entre les coefficients; la condition géométrique énoncée devrait donc compter comme deux conditions simples. D'après cela, on dira qu'il faut cinq conditions géométriques pour déterminer ime courbe du second degré. Hais, comme nous Pavons déjà fait observer, il sera nécessaire d'examiner si les cinq équations admettent une solution réelle.

Si Ton veut que la courbe soit une parabole, les coefficients doivent vérifier la relation B* — 4 AC = o; l'équation ne contenant plus que quatre paramètres arbitraires, la parabole sera définie par quatre conditions.

De même, si l'on veut que la courbe soit une hyperbole équilatère, il faudra que les deux droites représentées par l'équation Ax*-i-Bipy + Cy'=o, droites parallèles aux asymptotes (n"* i3o), . soient perpendiculaires entre elles; ce qui donne une relation entre les coefficients; lorsque les axes des coordonnées sont rectangulaires, cette relation est A + C = o. Quatre conditions suffisent donc pour déterminer une hyperbole équilatère.

Avant d'aller plus loin, il est bon de généraliser les défini-

prolongeons le rayon F'M d'une longueur MH égale à MF, et de même FM' d'une longueur M' II' égale à M' F'; les tangentes

étant perpendiculaires sur les milieux de FH et de F'H', on a

PH = PF et PH' = PF',

et les deux triangles F'PH, H'PF sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : FH=FH'= 2a, PH = PF, Fig.u9. PF' = PH'; on en conclut que les

angles PHM, PFM' sont égaux ; mais l'angle PHM est égal à PFM; donc les angles PFM, PFM' sont égaux et la droite FP est bissectrice de Tangle MFM'.

La même chose a lieu dans Thyperbole, quand les deux tangentes touchent une même branche; mais quand les tangentes touchent deux branches diflerentes, la droite FP est bissectrice de Tangle formé par l'un des rayons vecteurs FM, et le prolongement de Tautre.

Examinons maintenant le cas où la courbe est une parabole (flg. i5o). Des points de contact abaissons des perpendiculaires

MH, M'H' sur la directrice; les tangentes étant perpendiculaires sur les milieux des droites FH, FH', les angles PFM, PFM' sont égaux respectivement aux angles PHM, PH'M'. Les droites PH et PH', égales à la droite PF, sont égales entre elles, et le triangle HPH' est isocèle. Les angles PHM, PH'M', complémentaires des an- Fig. lôo. gles égaux du triangle isocèle, sont

égaux entre eux; donc les angles PFM, PFM' sont égaux. C'est ce que Ton peut d'ailleurs conclure immédiatement en regardant la parabole comme la limite d'une ellipse.

THEOREME IX.

856— Les tangentes menées d'un point extérieur P a une

THÉORÈMES SfIR LES SECTIONS CONIQUES. 238

kt réeUe. Soient, en effet, a/=o+ 6i, y'=ç+ dt, xf=a—bi, f= c — di; réquation de la droite se réduit à

x—a y—c Le point qjji a poi^r coordonnées

sera dit le miliau 4e la d|!oite qui joint les deux points donnés; si les deux points sont imaginaires cenjugués, le milieu sera un ppin| réel.

Une équation algébrique f(x, y) = o à coefficients réels est vérifiée en général par les coordonnées d'une infinité de points réels formant une courbe; die est vérifiée ^ussi par les coordranéiss d^tifie infinité de points imaginair^s^ conjugués de^if i deux. S« les coefflciiints sont imaginaires^ l'équation adm/»t toujours une infinité de solutions imaginaires, mais seulement un nombre limité de solutions réelles.

Deux isqyatious. Tune du premier degré, l'autre du seeoçi4 degré en x et y, admettent deux systèmes de solutions. On dira donc qu'une droite rencontre une courb3 du secondi degré en deux points» réete ou imaginaires. Une drdte réelle rencontre une courbe du second degré réelle en deux points, qui sont ou réels, ou imaginaires conjugués. Ceci permet d'expliquer un fait qui s'est présenté déjà plusieurs fois; quand on cherche, par exemple, le lieu des milieux d'une série de cordes liarallèles dansTellipse, on trouve par le calcul une droite indéfinie, et cependant le lieu, tel qu'il est défini géométriquement^ ne se compose que de la partie du diamètre intérieure à Tellipse; les sécantes extérieures rencontrent l'ellipse en deux points imaginaires conjugués, le milieu de la corde est encore un point réel, et le diamètre se prolonge ainsi en dehors de la courbe.

THÉORÈME I

9WM, — Deux coufi^es du second degré ont, en général^ quatre points cûfnmunf.

Nous remarquerons d'abord que si les deux courbes coïnci-

dent, c'est-à-dire si les deux équations sont vérifiées par les mêmes systèmes de valeurs des variables x et y y les coefficients sont proportionnels. En effet, les équations ordonnées par rapport à y y

(i) Cy*-f-(Ba?+E)y-+-(Aa?*-+-Da?+F) = o, (2) C'y«-f-(B'x-+-EOy-+-(A'x*-f-iyaî-+-FO = o

admettant les mêmes racines pour une même valeur de Xy

on a

C Ba? + E Aa?«4-Da? + F ,

C^"'B'aî4-E'""A'a;«+D'aî + F' et, comme ceci doit avoir lieu quelle que soit a?, on en conclut

La réciproque est vraie : lorsque les coefficients sont proportionnels, les deux équations sont évidemment identiques et les deux courbes coïncident.

Nous supposerons dans ce qui suit les courbes différentes, c'est-à-dire les coefficients non proportionnels. Considérons d'abord le cas où les coefficients C et CJ sont différents de zéro; si Ton retranche les équations membre à membre après les avoir multipliées respectivement par CJ et C, on élimine y* et Ton obtient une équation de la forme

(3) (B,a;4-EJy4-(Ajir*-hD,a;-f-Fj = o,

qui, avec Féquation (i), forme un système équivalent au système des deux équations proposées (i) et (2). Les cinq coefficients Bi, El, A„ Di, Fj ne peuvent être nuls à la fois; car si cela avait lieu, les coefficients des deux équations (i) et (2) seraient proportionnels. Si les deux coefficients B^ et E^ étaient nuls, réquation (3) deviendrait AiX*+Diic + Fi=o; elle donnerait pour X deux valeurs; à chacune d'elles, d'après Téquation (i), correspondraient deux valeurs dey; en tout quatre solutions. Supposons que les deux coefficients B^ et E^ ne soient

E pas nuls à la fois; en général, la valeur a;= — ^ qui annule

le coefficient de y dans l'équation (3) n'annule pas le polynôme

FOYERS ET DIRECTRICES. 2i9

Si la courbe est une ellipse^ en menant la tangente parallèle au grand axe^ on voit que le produit constant est égal à b*. Quand la courbe est une hyperbole^ si Ton considère l'asymptote comme limite d'une tangente^ on voit aussi que le produit est égal à 6*.

PROBLÈME XIII

900 — Construire une courbe du second degré, connaissant le foyer F, et trois points A, B, C.

Supposons le problème résolu et les trois points appartenant à une même branche; le point D où la sécante AB est coupée par la bissectrice de Tangle extérieur au triangle AFB appartient à la directrice (n° 257); la sécante BC donnera de même un second point ly de la directrice. Le foyer F, la directrice

Diy et le point A définissent une ^] courbe du second degré et une seule ; ce sera une ellipse^ une parabole ou une hyperbole, suivant que la dis- * tance AF sera inférieure, égale ou supérieure à la distance AE du point A ^g. 154. à la directrice. Il est facile de voir

que cette courbe passera par les deux points B et C; en effet, à cause de la bissectrice FD, on a

AF ADAE BP — BD^BE''