GN AG AK DP""AD"AA

Ainsi les distances de chacun des points de Vellipse au foyer F et à la droite DE sont entre elles comme la distance des foyers au grand axe. Cette droite DE est une directrice de Tellipse; la droite D^E' est la seconde directrice.

s^ uvBfi m, exAstmE viii.

;^ iiomqw 1a ib-BÏte AA' MBsartve leë Jeux ^énrtriees 6G et SU de put et d'uUre du «WHaet {flg. i6i), oh a MP-MF = ML' — Mf. = LL' = GG'.

Ladifférence des distances de chacua detgciiptede Uieout^aui deux fWjiils F et P est cop^taote; cette courtie est uae (lyperfifile <juî a pQi^r foyers les deux ^ints ^ et F. Les droites dïatejxectioa du plap sécant et ^ plaas de contact sont de aièoiâ |es direp- Irices de j'tiyperbole.

3" Supposons enfin que la droite AA/ «ûit parallèlB à l'arrête SH ^ûg. 162); décrivcHis une spb^ tangente au cane suivant le cerde GH et au plau sécant en F. Soit DE l'intersectioD du plan sécant ^'''- "^^- awc le f^aa du eecde de contact

GH. (*-ar le point H de la section, menons la droite ME perpendinilaire â DE, et la génératrice SH, <jui rencontre en L la courbe de contact; la droite HE sera parallèle à A A' et à SB; donc les trois droites HE, SH, SU sont dans un \ mêmeplan, elles trois points H,L, Ësuc la droite d'intersection du plan de contact et du plan précédent. Les deux Iriangles HLE, USL sont semblables, et puisque SL = Sfl on a aussi ML = HË; mais HL^MF, comme tangefites (f)enées du point M à la sphère ; par conséquent, MF = ME. Ainsi la courbe est une parabole dont le point F est le foyer et DE la directrice.

Cette méthode si élégante, pour trouver les prapriétés des foyers pi des directrices dans les courbes du second degré, est duc à Dandelin.

SECHONS C(»Î!QCES. «1

— Placer une courbe du second degré sur «n cône donné. •— i^ La courbe est une ellipse. Dans le triangle AA'K (flg. i6oi)^ on connaît deux côtés ÂA'^ AK^ qui sont le grand axe et la distance des foyers^ ainsi que l'angle opposé à AA' qui est le complément de la mortié de l'angle au sommet du cône. Comme le grand axe surpasse la distance focale^ on peut toujours construire ce triangle; la perpendiculaire sur le milieu de A^K détermine le point S^ et par suite^ tout ce qui fixe la position du plan sécant.

2^ La courbe est une byperbde. Dans le triangle AA^K (fig. i6i), on connaît également deux côtés, ainsi que Tangle opposé à l'un d'eux; mais comme le côté opposé à l^ngle donné est le plus petite la construction du triangle n'est pas toujours possible. II faut que l'on ait a > ccosy (2 a étant f axe transverse^ 2c la distance des foyers de l'byperbole^ 2 y l'angle

au sommet du cône); d'où cosy < -» et, par suite, cosy <cos6,

en appelant 0 l'angle de l'asymptote a\ec le grand axe; donc l'angle des asymptotes doit être plus petit que l'angle du cône.

3® La courbe donnée est une parabole. En joignant le centre Ode la sphère au point G, 00 forme un triang^i^ |[^ectangi# OGA (fîg. 162), dans lequel on coupait le côté AG qui est le demiparamètre de la parabole, et l'angle OAG complémentaire de y. Après avoir construit ce triangle, on élèvera OS perpendiculaire sur OA jusqu'à la rencontre de AG; une fois connue la distance SA^ le problème est résolu.

En résumé, sur un cône donné on peut placer toutes les dlipses^ toutes les paraboles et toutes les hyperboles dans lesquelles l'angle des asymptotes est plus petit que l'angle du cône.

999 — Revabque. Supposons que les spbères employées précédemment soient toujours inscrites dans le cône, mais coupent le plan sécant; il suffit pour cela que les cercles générateurs soient tangents aux deux lignes SA, SA' et coupent AA'; les intersections des spbères par le plan sécant sont d6d cercles, et l'on verra, dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole, que la somme ou la différence des tangentes menées à ces

m LIVRE III, CHAPITRE IX.

cercles d'un poipt quelconque de la courbe est constante; dans le cas de la parabole, la tangente menée au cercle d'un point quelconque de la courbe est égale à la distance de ce point à une certaine droite.

Les géomètres grecs connaissaient les courbes du second degré comme sections d'un cône à base circulaire par un plan. Apouoniis (247 ans avant J. C.) a fait sur les sections coniques un traité en huit livres^ dans lequel il rapporte ce qui a été trouvé avant lui, et expose ses propres découvertes sur cette matière. Le traité d' Apollonius contient les principales propriétés des sections coniques; nous citerons les deux théorèmes sur les diamètres conjugués (n^* 162, i63 et 193), les propriétés des asymptotes de Thyperbole, les propriétés élémentaires des foyers.