ÉQUATION DES COURBES DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES

POLAIRES

SOS — Nous prendrons pour pôle un foyer F, et pour axe

polaire la droite qui va de ce îoyer au sommet voisin A de la courbe.

Considérons d'abord Tellipse; pre- - nons pour pôle le foyer F et pour axe polaire la direction FA (Gg. i56). Nous avons trouvé (n** 219) pour expression Fig. 156. de la distance du foyer à un point

quelconque M de la courbe

la courbe étant rapportée à ses axes; si l'on projette la ligne brisée OFM sur le grand axe, il vient a: = c -h p cosco; en remplaçant X par cette valeur dans l'équation précédente, et dési-

désignant des polynômes du premier degré en x et y, Téquation est du second degré; les coordonnées du point a, intersection des droites àb et €id, annulent les deux polynômes a et B, et, par conséquent, Térifient l'équation (5) ; il en est de même des trois autres points b, Cy d. Ainsi la courbe représentée par réquation (5) passe par les quatre points a, 6, c, d. On peut déterminer le paramètre k de manière que la Fig. 163. courbe passe par le cinquième point e.

Appelons a', Ç/, y' S^ les valeurs des polynômes a, p, y, S, quand on y remplace xely par les coordonnées a/ et j/' du point e: on

devraayoir a'P'— A:Y^y=:o; d'où k=-j^* En attribuant à ^

cette yaleur, on obtient une courbe du second degré passant par les cinq points donnés.

Nous avons trouvé une courbe du second degré passant par les cinq points donnés. Il n'en existe pas d'autre; en effet, des cinq points donnés, trois n'étant pas en ligne droite, une ligne du second degré passant par ces cinq points, ne pourra se réduire à deux droites; mais nous avons vu que deux courbes du second degré non formées de lignes droites ont au plus quatre points communs.

Supposons que, parmi les cinq points donnés, trois c, d, e soient en ligne droite ; la droite ede, ayant trois points communs avec le lieu, appartiendra au lieu qui se composera alors de la droite cde et d'une seconde droite passant par les deux autres points a et 6. L'équation du lieu sera ap = o; on l'obtient en faisant A: = o dans l'équation précédente.

Lorsque, parmi les cinq points donnés, quatre sont situés sur une même droite, il y a indétermination. Le lieu se composera de cette droite, et d'une droite quelconque passant par le cinquième point.

ÏÏ'S— CoROLLAUŒ I. L'équation a^ — ftyS = o, dans laquelle k désigne un paramètre arbitraire, représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points

THÉORÈMES SDR LES SECTIONS CONIQUES. 2il

a, bi Cy d; car un cinquième point déterminerait la courbe et on peut toujours donner au paramètre Te une valeur telle que la courbe passe par ce cinquième point.

Comme on peut supposer que les lettres ol, % y, B désignent tes distances d'un point quelconque ayant pour coordonnées x

aS et y aux côtés du quadrilatère, réquation-j = * signifie que le

produit des distances d'un point quelconque d'une section conique à deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit est au produit des distances de ce même point aux deux autres côtés dans un rapport constant.

En général, si Ton désigne par S = o et Si=:o les équations de deux courbes du second degré, Téqualion S — AS^ = o, dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représentera toutes les courbes du second degré passant par les quatre points communs aux deux premières.

!S7ll~CoROLLAiRE II. Proposous-nous maintenant de déterminer une parabole passant par quatre points donnés a, b, c, d. Si Ton joint ces points deux à deux par deux droites ab, cd qui se coupent et que Ton prenne ces droites pour axes des coordonnées, réquation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points est

a et 6 étant les abscisses des points a et 6, c et d les ordonnées des points c et d. Pour que le lieu soit une parabole, il faut que le paramètre A: satisfasse à la condition

/ft JL J.V.

\ ad bcj

abcd

Lorsque le produit abcd est négatif, on trouve pour k deux valeurs imaginaires, et il est impossible de faire passer une parabole réelle par les quatre points. Lorsque le produit est positif, ce qui revient à dire que Ton peut former un quadrilatère conTexe ayant pour sommets les quatre points, on obtient pour k deux valeurs réelles différentes, et, par conséquent, deux lignes réelles du genre parabole passant par les quatre

BR. ifJ

Ml UVaS m, CHAPITRE IXi

points. Si l'oQ pouvait réunir les points dem à deux par des droites parallèles, cltaque couple de droites parallèles eonstituerait une solution. Quand ceci n'a pas lieU) il 7 a effectivement deux paraboles passant par les quatre points*

9}" 9" --Corollaire IIL 11 est facile de former Téquatiôti générale des courbes du second degré qui passent par trois points donnés a, b, ô. Si l'on désigne par a = o, P = o, y = o les équations des trois droites ic, ûa, ab, on toit que l'équation

(6) a^y'hhyùL'^cu^ = o

représente une courbe du second degré passant par les trois points donnés. Cette équation renferme deux paramètres arbitraires^ les rapports de deux de^ coefficients a, b, ç au troisième, et on pourra disposer de ces deux paramètres de manière à faire passe^ la courbe par deux autres points pris à volonté dans le plan.

THÉORËIIK m*

%fH — On peut fnefier une tourbe du second degré tangente â deux droites données eri deux points donnés et passant par fin autre point donné.

Soient 6c = 0, p==o les équations des deux tangentes pa, pb, y = o celle de la droite qui passe par les deux points de contact a et 6 (Qg. 164). Considérons Téquation

(7) ap — *y»— o,

dàtis laquelle le paramètre k est arbitraire. Si Ton y fait a = o,

on a y*=o, d'où Ton conclut que la droite pa rencontre la courbe en deux points qui coïncident, et, par conséquent, est tangente en a. De même, la droite pb est tangente en b* On déterminera ensuite le paramètre k de manière que la courbe Fig. 164. passe -par un autre point donné. Il

n'existe qu'une courbe du second degré satisfaisant à ces conditions; car, si deux courbes du second degré ont les mêmes tangentes en deux points a et &, l'équation (4)^ qui donne les

THÉORÈMES SUh LÉS SECTIONS CONIQUES. 243

abscisses des points commuils, aura deux racines doubles; les deux courbes ne peuvent donc avoir un autre point commun. 279— On peut déterhiiilei* le paramètre k par la condition que la oMfbe soit une parabole. En prenant les dsiix tidfttites pour aies des coordonnées^ Téquation (7) dattont

Pour que la courbe sdt une parabole, il faut que la condition [fe-- ^y ni — 0 soit vérifiée} Ce qui donne les deux solutions i = o, * = -^ I à la premièrf correspond la droite ab, à la seconde une parabole dont Féquâtion peut être mise sous

la forme y f-*-y | — i = o-

f SO— CoROLLAUiB. L'équation (7) est Téqualion générale des courbes du second degré tangentes à deux droites donfiées en deux points donnés; elle signifie que le produit des distances d'un point quelconque d'une iection conique à deux tangentes est au carré de la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant.

En général, si Ton désigne par S = o l'équation d'une «Jttrbe du second degré, Véquatlon S — *Y*=^ représentera twtes les courbes du second degré tangentes à la première eu deux points situés sur la droite y^io.

Il résulte de ce qui précède que toute équatioti dii second degré peut être mise sous la forme a^ •— Ay'= o, y ia= o désignant une droite quelconque, as=o et ps^o les tangentes aux points où cette droite rencontre la couthéi Si la droite réelle ab est extérieure à la cotirbe, c'esl-à-dire la rencontre en deux points imaginaires conjugués^ les tangentes en ces deux points sont des droites imaginaires conjuguées, dont le point de concours p reste réel, et est situé à Tintérieur de la courbe. Réciproquement, d'un point intérieur p m peut inener à la courbe deux tangentes imaginaires conjuguées, et la droite

244 LIVRE in, CHAPITRE IX.

de contact ah, passant par deux points imaginaires conjugués^ reste réelle.

THÉORÈME lY.

SSII — Lorsque deux sections coniques sont doublement tangentes à une même section coniqiÂe, deux sécantes communes passent par le point de rencontre des cordes de contact. Soit S = o réqualion d'une section conique; deux sections

coniques S, et S, (fig. i65) doublement tangentes à la première seront représentées par des équations de la forme

S — ty» — G, S — A/'/»=o.

En retranchant ces deux dernières équations membre à membre, on obtient deux droites réelles ou imaginaires

Fig. 166.

A Y* — A:Y' = o, ou y=d:yt/jr-

auxquellés appartiennent les quatre points communs aux deux coniques S^ et S,. Ces deux sécantes communes ab, cd passent parle point de rencontre des cordes de contact mn, m'n', dont les équations sont y = o, y = o.

THÉORÈME Y

2^2-^Lorsque trois sections coniques ont deux points corn-muns, les trois droites qui joignent les autres points dintersection des courbes deux à deux passent par un même point.

Soit S = G réquation de l'une des sections coniques, a = g réquation de la droite qui passe par les deux points communs, les équations des deux autres sections coniques seront de la forme S — A:aP = o, S — A/ay = G. Les trois droites qui passent par les deux autres points d'intersection des courbes considérées deux à deux, sont ^ = 0, y = 0) *P — kffrz=o; on Yoit que la troisième passe par le point d'intersection des deux premières.

THÉORÈME YI.

38S — Un hexagone étant inscrit dans une section conique,

es points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite.

Ce théorème^ que l'on doit à Pascal^ est une conséquence du

béorème précédent. Soit abcdef(fig. i66) un hexagone inscrit

dans une section conique; la courbe et les deux couples de droites ab et cd, af et de, peuvent être regardées comme trois sections coniques ayant deux points communs a et d. La droite bc joint les deux autres points d'intersection 6 et c de la courbe et des deux ^»«- ^^« droites ab et cd; la droite ef

joint les deux autres points d'intersection e et / de la courbe et des deux droites af et de; d'ailleurs les deux couples de droites se coupent en m et p; les trois droites bc, ef, mp passent par un même point n; donc les trois points d'intersection m, n, p des côtés opposés de Tbexagone inscrit sont en ligne droite.

Ce théorème ne s'applique pas seulement à un hexagone

convexe, mais encore à un hexagone fermé quelconque. On forme un hexagone inscrit en traçant six cordes consécutives dans un sens ou dans l'autre^ de manière à revenir finalement au point de départ. Si l'on numérote les côtés dans Tordre suivant lequel on les a obtenus, les trois points d'intersection des côtés (i, 4)* (2, 5), (3, 6) Fig. ler, sont en ligne droite (fig. 167).

Sgl — ^CoROLLAiRE L Lorsqu'ou définit une section conique par cinq points a, b, c, d, e, le théorème précédent permet de construire autant de points de la courbe que l'on veut. Par le point a traçons une droite quelconque afei cherchons le point f où cette droite coupe la courbe (fig. 166); on marquera le point d'intersection m des droites ab et de, le point d'intersection p des droites cd et af: la droite bc ira rencontrer la

m uvRE ïiï. gpapithï; ïx,

droite ntp en un point n; le point f, où la droite ne rencontre

afy appartient à la courbe.

Oa peut aussi construire la tangente en Tun des points.

Quand deux sommets de Thexagone inscrit, par exemple a et f, se confondent, le côté intermédiaire devient la tangente à la courbe au point a; si Ton applique le théorème de l'hexagone inscrit^ en comptant cette tangente comme un côté^ on a encore trois points en ligne droite. On marquera donc le Pt«- ^^- point d'intersection m des côtés

ah et de (flg. i68), le point d'intersection n des côtés 6c et ae; la

droite ed rencontrera la droite mn en un point p; la droite ap

est la tangente en a.

;9$$— CpRoi^uiRE II. Un quadrilatère abcd étant inscrit dan$ une section coniqw» les points de rencontra des côtés opposés, et les points de rencontre des tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite. Si^ avec les tangentes en a et c, on

complète Thexagone inscrit, on aura trois points m, n, p en ligne droite (fig. 169). En complétant Thexagone avec les tangentes en b et d, ^^8- 169. on aura de même

troifli points m, n, q en ligne droite. Donc les quatre points ^3 ^9 Py 9 Sûnt en ligne droite.

CoROiXAiRE III. Un triangle étant inscrit dans une section conique^ les points d'intersection des côtés et des tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite. Car les trois tangentes complètent Thexagone inscrit. ^

THÉORÈMES SUR LÉS SËCTItOKS CONIQUES. 317

9SII'— Nous avons tu {n^ 274) qtie par eioq points a, b, c, dy e, tels que trois d'entre eux ne soient pas en ligne droitOi passe une section conique et une seule. On peut obtenir les éléments de cette courbe de }a manière suivante : on commence par déterminer les tangentes A> B, C en trois des points donnés a, hy c. Dans toute courbe du second degré les tangentes aux extrémités d'une corde se eoupent sur le diamètre conjugué à cette corde; par conséquent, la ligne qui joint le point de rencontre p des drpites A et B au point milieu g de la droite ah est le diamètre de^ cordes parallèles à a(; 4â même la ligne qui joint le point de rencontre q des droites B et C au milieu h de ic c^t le diamètre des cordes parallèles à &c. Supposons d'abord que les deux diamètres pg,, qh se cou*; pent en un point 0; dans ce cas^ la courbe est une cpurbe à centre et le centre est le point 0. La droite op et la droite qIç parallèles à ab forment un système de diamètres conjugué^* Si Ton appelle a' la longueur du demi-diamètre dirigé suivant

op, on a a^ = yJop,og] on obtient de même la longueur V du demi-diamètre dirigé suivant ok. Nous avons expliqué (n*** 174 et 175) comment on détermine les axes, quand op connaît ^^ système de diamètres conjugués a' et V,

987— Si les deux diamètres sont parallèles, la courbe est une parabole. Dans ce cas, on ipène les diamètres qui passent en a 6t by puis de^ droites faisant avec les tangentes les mêmes angles que les diamètres; ces deux droites se coupent au foyer de la parabole. En abaissant du foyer des perpendiculaires sur les tangentes A et B, et prolongeant chacune des perpendicU" laires d'une longueur égale à elle-mêmei on a deux points de la directrice.

Lorsqup Ton donne troiç points et les tangentes en deux de ces points, on détermine la tangente au troisième point àPaide de la propriété du triangle inscrit (n^ 28S), puis on opère comme précédemment, La constructjpn relative à M parabole peut évidemment être employée quand on eonuait ieux tangentes à la courbe et les points de contact.

Supposons enfin que l'on veuille trouver les élémeqts d*une

a48 UVRE III, CHAPITRE IX.

parabole déterminée par quatre points a, b, e, d. Si Fon prend pour axes des coordonnées les deux droites abj cd, les équations des paraboles passant par les points donnés sont

^ yjabcd ^^

/cd Les coefficients angulaires des axes des paraboles étant dzi/ -v>

on en conclut que ces axes sont parallèles aux diagonales d'un parallélogramme formé sur les axes des coordonnées et dont les côtés auraient pour longueurs les moyennes proportionnelles entre a et 6, c et d. Connaissant la direction de Taxe, le théorème sur le pentagone inscrit (n^ 284) donnera, en supposant que le point e s'éloigne indéQniment, c'est-à-dire que les droites ae et de, par exemple^ deviennent parallèles à Taxe, la tangente en l'un des points. Lorsque Ton aura déterminé deux tangentes, on sera ramené au cas précédent.